Potensfunksjonar

Ein generell potensfunksjon har funksjonsuttrykket $a·x^b$ der a og b kan vere alle moglege tal. Det kan vere avgrensingar på kva x-verdiar funksjonen er definert for.

Eit døme på ein potensfunksjon er $f\left(x\right)=1,3x^{1,1}$. Denne funksjonen er ikkje definert for negative x-verdiar.

Når eksponenten i potensfunksjonen er større enn 0, er grafen til funksjonen stigande og startar i origo. Er han større enn 1, stig han raskare og raskare. Er han mellom 0 og 1, stig han mindre og mindre.

Når eksponenten i potensfunksjonen er mindre enn 0, er grafen søkkande.

For kvart år multipliserer vi det inneståande beløpet med vekstfaktoren x. Frå han er 14 år til han er 20, går det 6 år. Då skal vi multiplisere med vekstfaktoren 6 gonger, som er det same som å multiplisere dei 5 000 kronene med $x^6$. Funksjonsuttrykket blir

$f\left(x\right)=5 000·x^6=5 000x^6$

Ei rente på 0 % betyr at vekstfaktoren er 1. Då aukar ikkje sparebeløpet. Vi kan vise dette slik: Vekstfaktoren blir

$100 \%+0 \%=100 \%=1$

Ein prosentvis auke på 10 % betyr at vekstfaktoren er

$100 \%+10 \%=110 \%=1,1$

Dette gir at

$D_f=\left[1,1.1\right]$

Grafisk løysing:

Vi skriv inn funksjonsuttrykket ved hjelp av kommandoen "Funksjon":

f(x)=Funksjon(5000x^6,1,1.1)

Vi observerer at grafen er stigande. Det stemmer med at den største verdien sparebeløpet kan få, er når vekstfaktoren er 1,1. Vi skriv derfor (1.1,f(1.1)) i algebrafeltet og får teikna punktet A på grafen, sjå figuren.

Det maksimale Atle kan forvente at pengane kan vekse til, er 8 858 kroner.

Løysing med CAS:

Den største verdien sparebeløpet kan få, er når vekstfaktoren er 1,1. Vi skriv inn funksjonen i CAS og reknar ut $f\left(1,1\right)$.

Det maksimale Atle kan forvente at pengane kan vekse til, er 8 858 kroner.

Grafisk løysing:

Vi teiknar linja $y=7 500$ og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom linja og grafen til f. Vi får punktet B på figuren nedanfor.

B har x-koordinat lik 1,07, som betyr at renta må minst vere 7 % for at Atle skal ha minst 7 500 kroner etter dei 6 åra.

Løysing med CAS:

Vekstfaktoren er 1,07, som betyr at renta må minst vere 7 % for at Atle skal ha minst 7 500 kroner etter dei 6 åra.

Den same prosentvise nedgangen skal skje 7 gonger. Det betyr at vi skal multiplisere nybilprisen med ein ukjend vekstfaktor x 7 gonger for at resultatet skal bli verdien på bilen etter 7 år. Det betyr at

$V\left(x\right)=650 000·x^7$

Det minste verditapet er 0 %. Då er vekstfaktoren 1. (Sjå oppgåve 3 òg.) Vi reknar ikkje med at bilen kan stige i verdi.

Ein prosentvis reduksjon på 15 % betyr at vekstfaktoren er

$100 \%-15 \%=85 \%=0,85$

Dette gir at

$D_V=\left[0.85,1\right]$

Den lågaste verdien bilen kan ha, er når verditapet er så stort som mogleg. Då er vekstfaktoren så liten som mogleg, det vil seie at han er 0,85.

Den lågaste verdien på bilen etter 7 år blir omtrent 208 400 kroner.

Vi ønsker å finne ut for kva x-verdi funksjonen V har verdien 350 000 kroner. Det gir oss likninga

$V\left(x\right)=350 000$

Frå linje 5 får vi at det gjennomsnittlege årlege prosentvise tapet på bilen er 8,5 %.

Det kan lette arbeidet dersom du set inn ein ny tredje kolonne for talet på rundar i løpet av ein time.

Vi finn talet på rundar i løpet av ein time ved å multiplisere talet på rundar per minutt med 60. Frå første linje i tabellen får vi derfor at talet på rundar per time blir

$18 \mathrm{rundar}/\min ·60 \min /\mathrm{h}=1 080 \mathrm{rundar}/\mathrm{h}$

Lengde sprunge per time blir derfor talet på rundar per time multiplisert med 3,25 m, lengde per runde. For å få svaret i km per time må vi dele på 1 000. Frå første linje får vi

$\frac{1 080 \mathrm{rundar}/\mathrm{h}·3,25 \mathrm{m}/\mathrm{runde}}{1 000 \mathrm{m}/\mathrm{km}}=3,51 \mathrm{km}/\mathrm{h}$

Ved å gjere tilsvarande for dei andre tala i tabellen får vi tabellen nedanfor.

Vi skriv inn i reknearkdelen i GeoGebra tala i første kolonne og tala i fjerde kolonne. Så markerer vi tala og vel regresjonsanalyseverktøyet. Her vel vi lineær modell og får at den lineære funksjonen som passar best med tala, er

$f\left(x\right)=1,176x+0,793$

Dersom den verkelege farten alltid er lik farten vist i displayet, vil alle punkta i diagrammet ha same x- og y-koordinat. Då vil punkta ligge på linja $y=x$ slik at funksjonen $f\left(x\right)=x$.$$

Den lineære modellen passar ganske bra med punkta. Eitt problem er at når $x=0$, får vi at $f\left(0\right)=1,176·0+0,793=0,793$. Det betyr at når farten vist i displayet er 0, er den verkelege farten omtrent 0,8 km/h. Det må vi gå ut ifrå at ho ikkje er. Modellen passar derfor ikkje så godt for små verdiar av x.

Vi bruker regresjonsanalyseverktøyet igjen og vel "Potens" som regresjonsmodell.

Den potensfunksjonen som passar best, er

$g\left(x\right)=1,518x^{0,924}$

Vi observerer at punkta passar endå betre enn med den lineære modellen. I tillegg får vi no at

$g\left(0\right)=1,518·0^{0,924}=0$

som det bør vere.

Vi bruker modellen g og finn kva x må vere for at $g\left(x\right)=15$. Dette gir oss ei likning som vi løyser med CAS.

Henrik bør stille tredemølla på 12 km/h dersom han ønsker å springe i 15 km/h.

På plakaten kan det stå:

Undersøkingar har vist at farten som står i displayet, er lågare enn den verkelege farten. Grafen under viser samanhengen mellom farten vist i displayet og den verkelege farten.