Modellering og mønstergjenkjenning. Gyldigheita til modellar

Figurtal

Figurane ovanfor er bygde opp av 9, 12 og 15 små kvadrat. Tenk deg at vi held fram med å lage figurar etter same mønster.

Talet på små kvadrat i kvar av figurane dannar ein serie med tal, ei talfølge, som byrjar med tala 9, 12 og 15 og held fram etter same mønster i det uendelege. Vi skriv 9, 12, 15, ... Fordi tala er komne fram av mønsteret i figurer, kallar vi tala for figurtal. Figurar som dannar andre mønstre, vil ha andre figurtal.

Finst det ein enkel måte å finne ut kor mange kvadrat det er i figur nummer 1 000 på? Vi byrjar med å setje figurtalet $F_n$ lik talet på små kvadrat i figur nummer n slik at $F_1=9, F_2=12$ og$F_3=15$.

🤔 Tenk over: Kva gjer vi for å komme frå talet på kvadrat i éin figur til talet på kvadrat i den neste? Kva er mønsteret i det vi gjer?

🤔 Tenk over: Kor mange små kvadrat vil det vere i figur 4, figur 5 og figur 6, det vil seie kva blir dei neste tala $F_4, F_5$ og $F_6$ i talrekka?

Formel for talet på kvadrat i figur nummer n

No vil vi prøve å finne ein formel for talet på kvadrat i figur nummer n. Ein slik formel kallar vi gjerne ein modell. Formelen skal vere slik at dersom vi kjenner figurnummeret, kan vi rekne ut kor mange kvadrat det er i figuren. Vi kan tenke slik:

• Talet på kvadrat i figurane kan vi finne på same måte som når vi finn arealet: Vi multipliserer lengde og breidde. Til dømes er $F_1=3·3$ og $F_2=3·4$.

• Alle figurane har same breidde: 3.

• Dei tre første figurane har lengdene 3, 4 og 5. Det er 2 meir enn figurnummeret. Det betyr at $F_1=3(1+2), F_2=3(2+2)$, og så vidare. Det betyr vidare at lengdene er lik figurnummeret n pluss 2.

• I reknestykka over kan vi erstatte figurnummera med n. Vi får då formelen eller modellen $F_n=3(n+2)=3n+6$.

No kan vi bruke formelen til å finne ut kor mange kvadrat det er i figur nummer 1 000:

$F_{1 000}=3·1 000+6=3 000+6=3 006$

Formel med digitale hjelpemiddel

Vi kan bruke regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra til å finne formelen for talet på kvadrat i figur nummer n. Då skriv vi inn figurnummeret og talet på kvadrat i kvar sin kolonne i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel regresjonsanalyseverktøyet.

Punkta ser ut til å ligge på ei rett linje, og ved å velje regresjonsmodellen "Lineær", slik vi har gjort i figuren over, ser vi at det stemmer. Vi får modellen $y=3x+6$, som er det same vi kom fram til over.

🤔 Tenk over: Kva er gyldigheitsområdet for formelen $F_n$? Er formelen gyldig for alle n?

Matematiske modellar som grunnlag for avgjerder

Modellen vi kom fram til for talet på kvadrat i figurane over, er gyldig for alle $n>0$. Dette er fordi figurane følger eit matematisk mønster, og vi kan sjå på modellen som ein formel for å rekne ut talet på kvadrat. Når vi modellerer verkelege situasjonar, vil som regel modellane vere meir omtrentlege, og dei vil ikkje kunne brukast for å rekne ut nøyaktige resultat.

Kor fort er det mogleg å gå på skøyter?

Det blir stadig sett nye rekordar på skøyter. Kan farten til skøyteløparane i framtida bli så høg at banane bør byggast større slik at svingane blir mindre krappe? Skøytearenaer som blir bygde i dag, skal vere arenaer i mange år framover. Her kan vi lage ein matematisk modell som kanskje kan hjelpe oss å føreseie utviklinga i skøytesporten, slik at vi kan avgjere om vi bør gjere endringar.

I tabellen nedanfor ser vi korleis verdsrekorden for 500 meter på skøyter for herrar har endra seg i åra frå 1990 til 2007.

Vi lar x vere talet på år etter 1990 og y rekorden i sekund. Så framstiller vi opplysningane frå tabellen som punkt i eit koordinatsystem.

Punkta ligg tilsynelatande på ei rett linje.

Vi bruker regresjon og finn ein lineær funksjon som kan vere modell for samanhengen mellom rekorden og året han er sett:

$f\left(x\right)=-0,15x+36,38$

Grafen til funksjonen er teikna i det same koordinatsystemet.

Vi kan bruke modellen til å berekne kva verdsrekorden vil vere i år 2090 dersom modellen gjeld. Året 2090 betyr at $x=100$.

$f\left(100\right)=-0,15·100+36,38=21,38$

Rekorden i 2090 vil etter modellen vere 21,38 sekund. Nedanfor har vi teikna dette punktet saman med grafen til funksjonen.

Grafen til modellen viser at rekorden på 500 m skøyter vil bli null i år 2230. Vi veit at dette er heilt urealistisk, og det viser tydeleg kor varsame vi må vere med å stole på matematiske modellar.

Ein slik lineær modell vil ikkje vere eigna til å seie noko om korleis verdsrekorden vil endre seg i tida som kjem. Modellen er ubrukeleg som grunnlag for avgjerder om skøytearenaer bør endrast eller ikkje. Modellen eignar seg kanskje til å seie noko om utviklinga nokre få år fram i tid.

Vi prøver i staden ein potensfunksjon som modellfunksjon. Ein potensfunksjon er berre definert for positive tal. Derfor kan vi ikkje ha med eit punkt med x-verdi lik 0. Dette kan vi til dømes løyse ved å sjå på 1989 som år 0 i staden for 1990. Då må vi auke alle x-verdiane med 1 og så gjere regresjonen. Då får vi funksjonen

$g\left(x\right)=36,96·x^{-0,03}$

Nedanfor har vi teikna grafen til denne modellen saman med punktet på grafen der $x=100$.

Modellen gir ein rekord ned mot 32,7 sekund i år 2090 (legg merke til at her er det $x=101$ som betyr året 2090 fordi vi har justert på definisjonen av x). Kanskje dette ikkje er så urealistisk? Denne modellen er nok meir eigna som grunnlag for avgjerder om framtidige skøyteanlegg. Med denne modellen er det ingen stor grunn til å endre på skøytearenaene med det første sjølv om vi ikkje veit kva som vil skje med drakter, skøyter og iskvalitet i framtida.

20. november 2015 vart 34-grensa broten då Pavel Kulizjnikov frå Russland sette ny verdsrekord i Salt Lake City med tida 33,98 sekund. År 2015 er 25 år etter 1990 og 26 år etter 1989. Vi sjekkar med CAS kva for ein av dei to modellane som passar best med denne rekorden.

Resultatet viser at det er g som passar best.

🤔Står rekorden frå 2015 framleis? Finn eventuelle nyare rekordar og sjå om modellen g framleis passar best.