Oppgåve

Interaktivt innhald

Eksponentiell vekst og eksponentialfunksjonar

Eksponentialfunksjonen er ein av dei mest brukte funksjonane i matematikken. Funksjonsuttrykket inneheld ein potens med x i eksponenten. Oppgåvene nedanfor viser kjende situasjonar der vi bruker eksponentialfunksjonar. Bruk eit hjelpemiddel, til dømes GeoGebra, når du skal løyse oppgåvene.

Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

I denne oppgåva skal du utforske eksponentialfunksjonar ved hjelp av GeoGebra.

a) Start i eit tomt GeoGebra-ark og skriv inn funksjonen $f (x) = a \cdot b^{x}$ .

Kommentarar til oppgåva

Skriv f(x)=a*b^x i algebrafeltet. Legg merke til at det automatisk blir oppretta to glidarar for a og b. Set $b = 2$ .

Dersom du ikkje får opp glidarane automatisk, kan du lage dei først ved å skrive a=1 og trykke linjeskift, deretter b=2 og linjeskift. Så kan du skrive f(x)=a*b^x.

b) Kva skjer når du endrar på a? Dra i glidaren for a og observer kva som skjer.

Tips til oppgåva

Skriv inn punktet $(0, f (0))$ i algebrafeltet og sjå korleis punktet flyttar seg når a blir endra.

Løysing

Når du endrar på a, blir punktet (sjå i tipsboksen) flytta opp og ned. Jo større a er, jo raskare stig grafen når $x > 0$ . Vi kan òg observere at grafen skjer y-aksen for $y = a$ .

c) Beskriv forma på grafen ved ulike verdiar av vekstfaktoren b.

Løysing

$b < 0$ : Grafen forsvinn. Kvifor?
$b = 0$ : Grafen ligg på den positive delen av x-aksen og er ikkje ein eksponentialfunksjon.
$0 < b < 1$ : Grafen er søkkande ned mot x-aksen når x aukar.
$b = 1$ : Grafen blir den vassrette linja $y = a$ .
$b > 1$ : Grafen er stigande. Grafen nærmar seg x-aksen når x går mot minus uendeleg.

Oppgåve 2

Bruk funksjonen og GeoGebra-arket i oppgåve 1.

a) Set $a = 1$ og $b = 1, 2$ . Kva blir vekstfaktoren for endringa i funksjonsverdien når x aukar frå $x = 0$ til $x = 1$ ?

Tips til oppgåva

Skriv inn punktet $(1, f (1))$ eller berre $f (1)$ for å finne funksjonsverdien når $x = 1$ .

Løysing

Vi får at funksjonsverdien aukar frå 1 til 1,2 når x aukar frå 0 til 1. Vekstfaktoren for denne auken er

$\frac{1, 2}{1} = 1, 2$

Vi får at vekstfaktoren for endringa i funksjonsverdi er det same som talet b.

b) Set $a = 2$ og $b = 1, 3$ . Kva blir vekstfaktoren for endringa i funksjonsverdien når x aukar frå $x = 0$ til $x = 1$ nå?

Løysing

Vi får at funksjonsverdien aukar frå 2 til 2,6 når x aukar frå 0 til 1. Vekstfaktoren for denne auken er

$\frac{2, 6}{2} = 1, 3$

Vi får igjen at vekstfaktoren for endringa i funksjonsverdi er det same som talet b.

c) Set $a = 2$ og $b = 0, 8$ . Kva blir vekstfaktoren for endringa i funksjonsverdien når x aukar frå $x = 0$ til $x = 1$ nå?

Løysing

Vi ser av grafen at funksjonsverdien fell frå 2 til 1,6.

Vekstfaktoren for denne reduksjonen er

$\frac{1, 6}{2} = 0, 8$

Vi får som før at vekstfaktoren er det same som talet b.

Det er derfor talet b blir kalla vekstfaktoren. Funksjonsuttrykket til ein eksponentialfunksjon er det same som vi får når vi set opp eit uttrykk for kva noko veks/søkk til når det blir endra med ein viss prosent over x like periodar.

Oppgåve 3

Eksponentialfunksjonane f, g og h er gitt ved

$f (x) = 3 \cdot 0, 6^{x}$

$g (x) = 3 \cdot 1, 2^{x}$

$h (x) = 3 \cdot 2, 1^{x}$

a) Teikn grafane til dei tre funksjonane i det same koordinatsystemet.

Løysing

Tre grafar teikna i det same koordinatsystemet med x-verdiar frå minus 5 til 6. Grafen f av x er lik 3 multiplisert med 0,6 opphøgd i x er teikna med blå farge. Grafen er søkkande. Grafen h av x er lik 3 multiplisert 2,1 opphøgd i x er teikna med grøn farge. Grafen er stigande. Grafen g av x er lik 3 multiplisert med 1,2 opphøgd i x er teikna med raud farge. Denne grafen er også stigande. Alle grafane skjer y-aksen for y er lik 3. Illustrasjon. — Grafane til f, g og h teikna i det same koordinatsystemet

b) Grafane skjer andreaksen i 3. Kva er grunnen til det?

Løysing

Når $x = 0$ , vil vekstfaktoren opphøgd i 0 bli 1, og funksjonsverdien blir lik talet a framfor potensen i funksjonane. Grafane vil derfor skjere andreaksen for $y = 3$ sidan talet a er 3 for alle funksjonane.

c) Kva betydning har vekstfaktoren for stigninga til grafen?

Løysing

Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige. (Hugs at vi alltid ser i den retninga der x aukar.)

Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen søkke.

Oppgåve 4

Beskriving av simuleringa

Simuleringa nedanfor viser kor raskt det tenkte radioaktive grunnstoffet lurium blir omdanna. Ved tidspunktet $t = 0$ dagar har vi 240 atom lurium, eller 100 %. For kvar gong du trykker på knappen, går det eitt døgn, og simuleringa viser kor mykje lurium som er igjen.

Last ned simuleringa her dersom ho ikkje blir vist(GGB)

Oppgåver til simuleringa

a) Kor lang tid er det omtrent til luriummengda er halvert (halveringstida)? Prøv å svare med éin desimal.

Tips til oppgåva

Køyr simuleringa til du har fått minst eitt punkt nedanfor linja som svarer til 50 %. Prøv å anslå omtrent kvar ein tenkt graf mellom punkta vil krysse denne linja. Du vil mest sannsynleg få ei halveringstid på ein stad mellom 4 og 5 døgn.

b) Omtrent kor mange prosent av luriumet er det igjen etter 12 døgn?

Tips til oppgåva

Køyr simuleringa i 12 dagar og bruk det siste punktet til å lese av kor mange prosent lurium det er igjen.

c) Kva blir den tilnærma, gjennomsnittlege prosentvise reduksjonen av lurium per døgn ut ifrå svaret på det førre spørsmålet?

Løysing

Vi går no ut frå at du fekk at det var igjen 13 % lurium etter 12 døgn. Det betyr at vekstfaktoren for den totale reduksjonen er 0,13. Dersom du fekk ein annan prosent, bruker du den.

Vi tenker oss at vi har den same prosentvise reduksjonen av lurium frå dag til dag, og vi set vekstfaktoren for endringa frå dag til dag lik x. For kvar dag som går, må vi derfor multiplisere restmengda av lurium med x. Etter 12 dagar skal produktet av alle vekstfaktorane for éin dag bli lik den totale vekstfaktoren etter 12 dagar, 0,13. Dette gir oss likninga

$x^{12} = 0, 13$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive x i tolvte er lik 0,13. Svaret med Løys er x er lik to rotuttrykk som vi finn eit tilnærma uttrykk for på neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 0,84 eller x er lik 0,84. Skjermutklipp.

Vekstfaktoren blir 0,84, eller 84 %, som betyr at luriummengda blir redusert med 16 % frå dag til dag i gjennomsnitt.

d) Bruk svaret i det førre spørsmålet til å lage ein eksponentialfunksjon som viser restmengda av lurium i prosent som funksjon av talet på døgn.

Løysing

Funksjonen for restmengda må vere lik den opphavlege luriummengda multiplisert med vekstfaktoren opphøgd i talet på døgn. Dersom vi kallar restmengda i prosent for r og talet på døgn for t, får vi med tala våre

$r (t) = 100 \cdot 0, 84^{t}$

e) Bruk funksjonen til å rekne ut halveringstida til lurium.

Løysing

Vi ønsker å finne ut når funksjonen r har blitt halvert, det vil seie når han har verdien 50. Dette gir oss likninga $r (t) = 50$ , som vi løyser med CAS.

På linje 3 i CAS-vindauget i GeoGebra er funksjonen r av t er lik 100 multiplisert med 0,84 opphøgd i t definert. På linje 4 er r av t sett lik 50. Svaret med Løys er t er lik eit uttrykk som vi reknar ut tilnærma verdi for på neste linje. På linje 5 er det skrive dollarteikn 4. Svaret med tilnærming er t er lik 3,98. Skjermutklipp.

Med tala våre tek det omtrent 4 døgn før luriummengda er halvert.

Oppgåve 5

Miriam kjøpte ein skuter for 10 000 kroner i byrjinga av 2020. Vi reknar med at verdien søkk med 15 % per år.

a) Lag eit funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser kor mykje skuteren er verd etter x år.

Løysing

Vekstfaktoren ved 15 % nedgang er

$100 % - 15 % = 85 % = 0, 85$

Funksjonsuttrykket blir

$S (x) = 10 000 \cdot 0, 85^{x}$

b) Teikn grafen til S. Vel $x$ mellom 0 og 8.

Løysing

Vi teiknar grafen ved å skrive S(x)=Funksjon(10000*0.85^x,0,8) i algebrafeltet i GeoGebra.

Grafen til funksjonen S av x er lik 10000 multiplisert med 0,85 opphøgd i x er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 8. Grafen er søkkande. Illustrasjon.

c) Finn grafisk verdien på skuteren når han er tre år gammal.

Løysing

Vi skriv inn punktet $(3, S (3))$ , sjå punkt A på grafen.

Verdien på skuteren etter tre år er 6 141 kroner.

d) Finn grafisk når verdien på skuteren er 3 000 kroner.

Løysing

Vi teiknar linja $y = 3 000$ . Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til S med verktøyet "Skjering mellom to objekt", sjå punkt B på grafen.

Grafen til funksjonen S av x er lik 10000 multiplisert med 0,85 opphøgd i x er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 8. Linja y er lik 3000 er også teikna, og skjeringspunktet B mellom linja og grafen til S er markert og har koordinatane 7,41 og 3000. Punktet A med koordinatane 3 og 6141,25 på grafen til S er også teikna. Illustrasjon. — Graf som viser korleis verdien på ein skuter fell

Det tek nesten 7,5 år før verdien på skuteren er 3 000 kroner.

e) 5 år etter at Miriam kjøpte skuteren, selde ho han for 4 000 kroner. Kva var det gjennomsnittlege årlege verditapet i prosent?

Løysing

Her kan vi ikkje bruke grafen til å løyse oppgåva fordi vi ikkje veit det årlege prosentvise verditapet, og vi kan derfor ikkje lage ein funksjon. Vi set den ukjende vekstfaktoren for det årlege prosentvise verditapet lik x. Eit uttrykk for verdien til skuteren etter 5 år er då

$10 000 \cdot x^{5}$

Verdien skal vere lik 4 000 kroner, som skuteren vart seld for. Dette gir oss ei likning som vi løyser med CAS.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er 10000 multiplisert med x i femte sett lik 4000. Svaret med NLøys er x er lik 0,833. På linje 2 er 1 minus p delt på 100 sett lik 0,833. Svaret med NLøys er p er lik 16,7. Skjermutklipp.

Det årlege prosentvise verditapet vart 16,7 %.

f) Kva måtte Miriam ha seld skuteren for dersom det årlege prosentvise verditapet skulle bli 15 %, som var det opphavlege utgangspunktet i oppgåva?

Løysing

No kan vi bruke den opphavlege funksjonen og rekne ut $S (5)$ . Vi kan gjere dette grafisk, men vi vel å gjere det med CAS.

På linje 3 i CAS-vindauget i GeoGebra er S av 5 rekna ut med tilnærming til 4437,053. Skjermutklipp.

Oppgåve 6

Temperaturen i eit kjøleskap dei første timane etter eit straumbrot er gitt ved

$T (x) = 3 \cdot 1, 15^{x}$

der x er talet på timar etter straumbrotet.

a) Kva var temperaturen i kjøleskapet ved straumbrotet?

Løysning

Når straumbrotet skjer, er $x = 0$ . Vi set inn i 0 uttrykket og får $T (0) = 3 \cdot 1, 15^{0} = 3 \cdot 1 = 3$ . Temperaturen i kjøleskapet ved straumbrotet var 3 gradar celsius.

b) Kva var temperaturen i kjøleskapet fem timar etter straumbrotet?

Løysing

Fem timar etter straumbrotet er $x = 5$ . Vi får $T (5) = 3 \cdot 1, 15^{5} \approx 6, 03$ . Fem timar etter straumbrotet er temperaturen i kjøleskapet 6 gradar celsius.

c) Teikn grafen til T. La x variere mellom 0 og 18.

Løysing

Grafen til T av x er lik 3 multiplisert med 1,15 opphøgd i x er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 18. Grafen stig, og stigninga er aukande. Langs x-aksen står det x, timar etter straumbrotet, og langs y-aksen står det y, temperatur i gradar celsius. Skjermutklipp.

d) Kor lang tid går det før temperaturen i kjøleskapet er 10 gradar etter modellen T?

Løysing

Vi teiknar linja $y = 10$ . Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til T med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Det tek omtrent 8,6 timar før det er 10 gradar i kjøleskapet.

e) Kva betyr talet 1,15 i funksjonen $T (x)$ ?

Løysing

Sidan $T (x)$ er ein eksponentialfunksjon, kan vi sjå på talet 1,15 som ein vekstfaktor. 1,15 er vekstfaktoren ved 15 % stigning, så etter modellen stig temperaturen med 15 % for kvar time.

f) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom straumen er borte over ein lengre periode (i meir enn eitt døgn)? Grunngi svaret ditt.

Løysing

Vi kan setje x lik til dømes 24 og 30 timar, og vi finn temperaturen i kjøleskapet:

$T (24) = 31, 63$

$T (30) = 69, 21$

Ut frå denne modellen vil temperaturen stige sterkt etter eitt døgn, noko som er lite sannsynleg. Modellen viser at det etter 30 timar vil vere nesten 70 gradar i kjøleskapet. Vi forventar at temperaturen i kjøleskapet tilpassar seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk dersom straumbrotet varer over ein lengre periode.

g) Lag ei meir truverdig skisse på papir av korleis du trur temperaturen i kjøleskapet vil utvikle seg.

Løysing

Det er mest sannsynleg at temperaturen stig mest i starten. Når temperaturen nærmar seg romtemperatur, vil stigninga minke. Ein mogleg graf for temperaturutviklinga er teikna nedanfor.

Grafen til ein ukjend funksjon er teikna for x-verdiar mellom 0 og 13. Grafen er stigande heile vegen, men han stig mindre og mindre etter kvart som x blir større og større. Illustrasjon. — Grafen til T(x)

Oppgåve 7

Covid-19 er ein smittsam sjukdom forårsaka av koronaviruset. Ein liten by, Alubia, brukte ein modell laga av anerkjende forskarar for å berekne talet på smitta personar per dag.

a) 9. februar 2021 var vekstfaktoren for smitte 1,22. Kva betyr det for utvikling av koronaviruset i Alubia?

Løysing

Spreiinga av koronaviruset auka med 22 % per dag etter 9. februar.

b) Gå ut ifrå at det allereie var 371 smitta personar før 9. februar. Lag eit funksjonsuttrykk, $A (x)$ , som viser talet på smitta personar i Alubia x dagar etter 9. februar.

Løysing

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{x}$

c) Kor mange smitta personar var det i Alubia på valentinsdagen 14. februar?

Løysing

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{5} \approx 1 002, 7$

Det var 1 003 smitta personar i Alubia på valentinsdagen.

d) I nabobyen, Tiblix, hadde dei 735 smitta personar 9. februar. Berekningar viste at talet på smitta personar auka med 8 % for kvar dag. Lag eit funksjonsuttrykk, $T (x)$ , som viser talet på smitta personar i Tiblix x dagar etter 9. februar.

Løysing

Vekstfaktoren for 8 % auke er 1,08. Funksjonsuttrykket blir

$T (x) = 735 \cdot 1, 08^{x}$

e) Teikn grafane $A (x)$ og $T (x)$ i det same koordinatsystemet.

Løysing

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 10 og y-aksen går frå 0 til 2000. Langs x-aksen står det dagar etter 9. februar. Langs y-aksen står det talet på smitta personar. Ein raud graf, A av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøgd i x, er stigande, og han skjer y-aksen i 371. Ein blå graf, T av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøgd i x, er også stigande, og han skjer y-aksen i 735. Grafane kryssar kvarandre på omtrent x er lik 5,5. Illustrasjon. — Grafane til A(x) og T(x)

f) Sjølv om Tiblix hadde nesten dobbelt så mange smitta personar som Alubia, vart situasjonen omvend etter nokre dagar. Når vart det fleire smitta personar i Alubia enn i Tiblix?

Løysing

Vi vel verktøyet "Skjering mellom to objekt" og får punktet (5.61, 1 131.77). Seks heile dagar etter 9. februar var det altså fleire smitta personar i Alubia enn i Tiblix.

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 20 og y-aksen går frå 0 til 2500. Langs x-aksen står det dagar etter 9. februar. Langs y-aksen står det tal på smitta personar. Ein raud graf, A av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøgd i x, er stigande, og han skjer y-aksen i 371. Ein blå graf, T av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøgd i x, er også stigande, og han skjer y-aksen i 735. Grafane kryssar kvarandre i punktet der x er lik 5,61 og y er lik 1131,77. Illustrasjon. — Grafane til A(x) og T(x)

g) Kor mange smitta personar var det i byane Alubia og Tiblix 18. februar 2021? Løys oppgåva grafisk.

Løysing

18. februar er ni dagar etter 9. februar. Vi skriv inn linja $x = 9$ og vel verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne punkta der linja skjer grafane. Vi les av verdien på skjeringspunkta. 18. februar var det 2 221 smitta personar i Alubia og 1 469 smitta i Tiblix.

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 20 og y-aksen går frå 0 til 3000. Langs x-aksen står det dagar etter 9. februar. Langs y-aksen står det tal på smitta personar. Ein blå graf, A av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøgd i x, er stigande, og han skjer y-aksen i 371. Ein raud graf, T av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøgd i x, er også stigande, og han skjer y-aksen i 735. Ei rett linje er teikna inn for x er lik 9. Linja skjer den raude grafen i punktet der x er lik 9 og y er lik 1469,3. Linja skjer den blå grafen i punktet der x er lik 9 og y er lik 2221,3. Illustrasjon. — Grafane til A(x) og T(x)

Oppgåve 8

Salim får 15 000 kroner i gåve frå bestefar. Han set pengane i banken og får ei årleg rente på 5,3 %.

a) Lag eit funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser kor mykje pengar Salim har i banken etter x år.

Løysing

Vekstfaktoren for 5,3 % auke er 1,053. Funksjonsuttrykket blir

$S (x) = 15 000 \cdot 1, 053^{x}$

b) Vennen til Salim, Isak, sette 17 000 kroner i banken samtidig med Salim. Isak brukte ein annan bank og fekk ei årleg rente på 2,7 %. Lag eit funksjonsuttrykk, $I (x)$ , som viser kor mykje pengar Isak har på bankkontoen sin etter x år.

Løysing

Vekstfaktoren for 2,7 % auke er 1,027. Funksjonsuttrykket blir

$I (x) = 17 000 \cdot 1, 027^{x}$

c) Teikn grafane til $S (x)$ og $I (x)$ i det same koordinatsystemet.

Løysing

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 20 og y-aksen går frå 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskot. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. Ein blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøgd i x, er stigande. Ein raud graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøgd i x, er òg stigande. Illustrasjon. — Grafane til I(x) og S(x)

d) Etter kor mange år har Salim for første gang meir pengar på bankkontoen sin enn Isak?

Løysing

Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne punktet der grafane skjer kvarandre. Punktet viser at etter litt over fem år vil Salim ha meir pengar på kontoen enn Isak.

Grafisk løysing:

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 30 og y-aksen går frå 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskot. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. Ein blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøgd i x, er stigande. Ein raud graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøgd i x, er også stigande. Grafane kryssar kvarandre i punktet der x er lik 5 og y er lik 19425,6. Illustrasjon. — Grafane til S(x) og I(x)

e) Etter kor mange år vil Salim for første gongen ha over 30 000 kroner på bankkontoen sin?

Løysing

Vi løyser oppgåva grafisk. Vi lagar ei horisontal linje ved å skrive $y = 30 000$ inn i algebrafeltet. Vi bruker igjen verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom linja og grafen til S.

To grafar i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 18 og y-aksen går frå 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskot. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. Ein blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøgd i x, er stigande. Ein raud graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøgd i x, er også stigande. Det er teikna ei rett linje y er lik 30000. Denne linja kryssar grafen S av x i punktet der x er lik 13,4 og y er lik 30000. Illustrasjon. — Grafane til S(x) og I(x)

Etter 14 år vil Salim for første gongen ha over 30 000 kroner på kontoen sin.

f) Då Salim sjekka kontoen etter 10 år, hadde pengane vakse til 23 102,50 kroner. Renta hadde ikkje vore fast på 5,3 % desse åra. Kor stor hadde den årlege rentesatsen vore i gjennomsnitt?

Løysing

Vi kan ikkje bruke funksjonen S til dette sidan vi ikkje veit renta og dermed ikkje vekstfaktoren. Men vi kan setje opp eit uttrykk for kor mykje pengar det er på kontoen etter 10 år, ved å setje den ukjende vekstfaktoren til x. Uttrykket blir

$15 000 \cdot x^{10}$

Dette uttrykket skal bli lik 23 102,50 kroner, og vi får ei likning som vi løyser med CAS.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er 15000 multiplisert med x i tiande sett lik 23102,5. Svaret med NLøys er x er lik minus 1,044 eller x er lik 1,044. På linje 2 er 1 pluss p delt på 100 sett lik 1,044. Svaret med NLøys er p er lik 4,4. Skjermutklipp.

Den gjennomsnittlege årlege rentesatsen var 4,4 %.

Oppgåve 9

a) Eksponentialfunksjonen f er gitt som

$f (x) = a \cdot 2^{x}$

Bestem utan hjelpemiddel a slik at funksjonen får verdien 160 når $x = 4$ .

Løysing

Oppgåva ber oss om å løyse likninga

$f (4) = 160$

Dette gir oss

$\begin{array}{rcl} a \cdot 2^{4} & = & 160 \\ a \cdot 16 & = & 160 \\ a & = & \frac{160}{16} \\ = & 10 \end{array}$

b) Eksponentialfunksjonen g er gitt som

$g (x) = 20 \cdot b^{x}$

Bestem utan hjelpemiddel b slik at funksjonen får verdien 540 når $x = 3$ .

Løysing

Oppgåva ber oss om å løyse likninga

$g (3) = 540$

Dette gir oss

$\begin{array}{rcl} 20 \cdot b^{3} & = & 540 \\ b^{3} & = & \frac{540}{20} \\ = & 27 \\ b & = & \sqrt[3]{27} \\ = & 3 \end{array}$

Oppgåve 10

Talet på bakteriar i ein bakteriekultur aukar med 20 % for kvar time. I starten var det 1 000 bakteriar.

a) Lag ein funksjon B som viser kor mange bakteriar det er i bakteriekulturen etter t timar.

Løysing

Vekstfaktoren for 20 % auke er 120 %, eller 1,2. Sidan det var 1 000 bakteriar i starten, blir funksjonen

$B (t) = 1 000 \cdot 1, 2^{t}$

b) Kor lang tid tek det før talet på bakteriar har dobla seg?

Løysing

Vi må finne ut når funksjonen B har verdien 2 000. Det gir oss likninga

$B (t) = 2 000$ , som vi kan løyse med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er B av t definert som 1000 multiplisert med 1,2 opphøgd i t. På linje 2 er B av t sett lik 2000. Svaret med Løys er t er lik eit uttrykk som vi reknar ut tilnærma verdi til på neste linje. På linje 3 er det skrive dollarteikn 2. Svaret med tilnærming er t er lik 3,8. Skjermutklipp.

Det tek 3,8 timar før talet på bakteriar har dobla seg.

Oppgåva kan òg løysast grafisk ved å teikne grafen til funksjonen B, teikne linja $y = 2 000$ og finne skjeringspunktet mellom grafen og linja.

c) Kor lang tid tek det før talet på bakteriar doblar seg igjen? Kva tyder dette svaret på?

Løysing

Vi kan finne ut når funksjonen B har verdien 4 000. Det gir oss likninga

$B (t) = 4 000$ , som vi kan løyse med CAS i GeoGebra.

På linje 4 i CAS-vindauget i GeoGebra er B av t sett lik 4000. Svaret med Løys er t er lik eit uttrykk som vi reknar ut tilnærma verdi til på neste linje. På linje 5 er det skrive dollarteikn 4. Svaret med tilnærming er t er lik 7,6. Skjermutklipp.

Vi får at det tek dobbelt så lang tid å doble talet på bakteriar to gonger som éin gong. Det betyr at den andre doblinga òg tek 3,8 timar. Det kan sjå ut som at uansett kor mange bakteriar det er på eit tidspunkt, tek det 3,8 timar før talet på bakteriar er dobla.

d) Vis utan hjelpemiddel at uansett kor mange bakteriar det er på eit tidspunkt, vil det ta like lang tid før talet på bakteriar doblar seg fordi vi endar opp med den same likninga. Løys likninga med CAS etterpå.

Løysing

Vi set talet på bakteriar på eit tidspunkt lik konstanten B og ser no bort ifrå at vi tidlegare i oppgåva har brukt dette namnet om ein funksjon. Vi veit at talet på bakteriar aukar med vekstfaktoren 1,2 uavhengig av tida t. Etter ei viss tid t er derfor talet på bakteriar lik $B \cdot 1, 2^{t}$ . For å få ei likning der løysinga er kor lang tid det tek for talet på bakteriar å doble seg, set vi dette uttrykket lik 2B. Då får vi likninga

$\begin{array}{rcl} B \cdot 1, 2^{t} & = & 2 B \\ 1, 2^{t} & = & 2 \end{array}$

Vi får ei likning som er uavhengig av kor mange bakteriar det er. Vi løyser likninga med CAS.

På linje 8 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive 1,2 opphøgd i t er lik 2. Svaret med Løys er t er lik eit uttrykk som vi reknar ut ein tilnærma verdi til på neste linje. På linje 9 er det skrive dollarteikn 8. Svaret med tilnærming er t er lik 3,8. Skjermutklipp.

I S1 og R1 viser vi korleis vi kan løyse slike likningar utan hjelpemiddel.

e) I den førre oppgåva fann vi at talet på bakteriar bruker like lang tid (3,8 timar) på å doble seg uansett tidspunkt. Undersøk om talet på bakteriar bruker like lang tid på å auke med ein vilkårleg prosent p uansett kor mange bakteriar det er.

Løysing

Prosentfaktoren når noko aukar med p prosent, er $\frac{p}{100}$ . Vekstfaktoren når noko aukar med p prosent, er derfor $1 + \frac{p}{100}$ . Vi set igjen talet på bakteriar på eit tidspunkt lik B. Etter ei viss tid t er talet på bakteriar framleis lik $B \cdot 1, 2^{t}$ . Dette skal no vere lik B multiplisert med vekstfaktoren $1 + \frac{p}{100}$ , og vi får likninga

$\begin{array}{rcl} B \cdot 1, 2^{t} & = & B \cdot (1 + \frac{p}{100}) \\ 1, 2^{t} & = & 1 + \frac{p}{100} \end{array}$

Igjen får vi ei likning som er uavhengig av talet på bakteriar B. Det betyr at talet på bakteriar bruker like lang tid på å auke med ein vilkårleg prosent p uansett kor mange bakteriar det er.

Oppgåve 11

Tabellen viser dagleg bruk av tid på heime-pc i perioden 1994 til 2006 i minutt for ei bestemd gruppe personar. Tala er frå Statistisk sentralbyrå (SSB).

Tid brukt på heime-pc
Årstal	1994	1998	1999	2003	2006
Tid i minutt	10	13	18	35	50

a) Legg punkta i eit koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne eit funksjonsuttrykk som passar med punkta. La x vere talet på år frå 1994 og $T (x)$ bruk av tid på heime-pc. Plott punkta og grafen til uttrykket du finn.

Løysing

Vi får plotta både punkta og grafen når vi bruker regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra. Vi lagar ei ny rad i tabellen der vi reknar ut talet på år etter 1994.

Tid brukt på heime-pc
Årstal	1994	1998	1999	2003	2006
x	0	4	5	9	12
Tid i minutt	10	13	18	35	50

Vi legg tala inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 8,91 multiplisert med 1,15 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 13. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Illustrasjon. — Tid brukt på heime-pc per dag frå 1994 og utover

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $T (x) = 8, 91 \cdot 1, 15^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis tidsbruken med heime-pc har utvikla seg. Modellen passar ganske bra med tala (punkta).

b) Kor stor er den gjennomsnittlege, årlege prosentvise auken i bruk av heime-pc etter modellen?

Tips til oppgåva

Bruk vekstfaktoren i modellen.

Løysing

Vekstfaktoren er grunntalet i potensen i modellen, altså 1,15. Det svarer til ein auke på 15 % for kvar eining på x-aksen. Sidan eininga på x-aksen er år, blir den årlege prosentvise auken på 15 %.

c) Bruk modellen du fann i a), og finn ut kor mykje tid som vart brukt på heime-pc i 2010 og 2020.

Løysing

År 2010 er 16 år etter 1994, og år 2020 er 26 år etter 1994. Vi løyser oppgåva med CAS ved å setje inn dei aktuelle x-verdiane i modellen.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive T av 16. Svaret med tilnærming er 87,84. På linje 2 er det skrive T av 26. Svaret med tilnærming er 367,26. Skjermutklipp.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punkta $(16, T (16))$ og $(26, T (26))$ .

d) Vurder gyldigheita av modellen fram i tid.

Løysing

Modellen verkar truverdig å bruke i 2010, men at tidsbruken var 367 minutt, det vil seie over 7 timar i 2020, verkar litt usannsynleg. Modellen vil berre vere gyldig i nokon få år.

e) Korleis ville modellen ha sett ut dersom vi bruker som utgangspunkt at det i 1994 vart brukt i gjennomsnitt 10 minutt til bruk av heime-pc, og dersom den årlege prosentvise auken skulle vere 9,5 %?

Løysing

Ein auke på 9,5 % gir ein vekstfaktor på 1,095. Dersom vi kallar den nye funksjonen $T_{2} (x)$ , får vi at

$T_{2} (x) = a \cdot 1, 095^{x}$

Året 1994 svarer til $x = 0$ . Det betyr at dersom vi prøver å rekne ut $T_{2} (0)$ , skal vi få 10 til svar. Dette gir oss ei likning.

$\begin{array}{rcl} T_{2} (0) & = & 10 \\ a \cdot 1, 095^{0} & = & 10 \\ a \cdot 1 & = & 10 \\ a & = & 10 \end{array}$

Modellen blir derfor i dette tilfellet

$T_{2} (x) = 10 \cdot 1, 095^{x}$

f) Denne statistikken vart av SSB avslutta etter 2014. (Kva er grunnen til det, trur du?)

Gå til SSBs nettsider, og finn tala ved å søke på "hjemme-pc". Vel "Minutter brukt til hjemme-pc" som statistikkvariabel, vel alle åra under "År", og vel "Personer med i utvalget i alt" under "Befolkningsgruppe" for å få med heile befolkningsgruppa. Trykk "Vis tabell" nedst nede.

Støttar dei siste målingane i tabellen det vi konkluderte med i oppgåve c)?

Oppgåve 12

Tabellen viser utsleppa av karbondioksid ${CO}_{2}$ i verda målt i millionar tonn for nokre utvalde år mellom 1980 og 2006.

CO₂-utslepp
Årstal	1980	1990	2000	2005	2006
Utslepp av ${CO}_{2}$ i millionar tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

a) Plott punkta i tabellen i eit koordinatsystem, og finn ein matematisk modell som beskriv utsleppa av ${CO}_{2}$ . La $x$ vere talet på år etter 1980 og $U (x)$ utsleppa av ${CO}_{2}$ .

Løysing

Vi lagar ei ny rad i tabellen, der vi reknar ut talet på år etter 1980.

CO₂-utslepp
Årstal	1980	1990	2000	2005	2006
x	1	10	20	25	26
Utslepp av ${CO}_{2}$ i millionar tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

Vi legg talla inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen U av x er lik 17847 multiplisert med 1,02 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 30. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Grafen er eksponentielt stigande i heile området. Illustrasjon. — Utslepp av CO₂ i millionar av tonn i verda

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $U (x) = 17 847 \cdot 1, 02^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis utsleppet av ${CO}_{2}$ i verda har utvikla seg. Modellen passar ganske bra med tala, men kanskje vi kunne ha brukt lineær regresjon òg?

b) Kva årleg prosentvis auke i ${CO}_{2}$ -utslepp gir modellen?

Løysing

Vekstfaktoren er 1,02. Sidan eininga på x-aksen er år, får vi at den årlege prosentvise auken i ${CO}_{2}$ -utsleppet er på 2 %.

c) Mange land har vedteke å senke utsleppet av ${CO}_{2}$ i tida framover. Vurder gyldigheita framover i tid av modellen du fann i oppgåve a).

Løysing

Uttrykket vi fann i oppgåve a), er eksponentielt, det vil seie at mengda av ${CO}_{2}$ -utslepp vil auke meir og meir. Mest sannsynleg vil ${CO}_{2}$ -utsleppet etter kvart flate ut, og modellen vår blir antakeleg ikkje korrekt langt fram i tid.

d) Finn nyare tal på utslepp av ${CO}_{2}$ . Ta med i modellen tala for 2010, 2015, 2020 og det nyaste talet du finn.

Korleis blir modellen påverka av dette?

Oppgåve 13

Sol Sikke ville finne ut korleis ei solsikke ho hadde i hagen, vaks veke for veke. Ho målte høgda til solsikka kvar veke i 8 veker. Dei observerte verdiane ser du i tabellen nedanfor.

Høgda på ei solsikke
Etter x veker	1	2	3	4	5	6	7	8
Høgde i cm	16	20	27	40	56	68	107	140

a) Plott punkta i eit koordinatsystem, og finn eit funksjonsuttrykk som passar til punkta.

Løysing

Grafen til funksjonen H av x er lik 11 multiplisert med 1,37 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 8. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Grafen er eksponentielt stigande i heile området. Illustrasjon. — Høgda til ei solsikke som funksjon av talet på veker solsikka har vakse

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $H (x) = 11 \cdot 1, 37^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis solsikka har vakse. Modellen passar ganske bra med tala.

b) Kva fortel vekstfaktoren i modellen oss?

Løysing

Vekstfaktoren er 1,37. Sidan eininga på x-aksen er veker, får vi at veksten per veke i høgda av solsikka er 37 %.

c) Vurder gyldigheita til modellen du fann i oppgåve a), etter som tida går.

Løysing

Vi kan undersøke kor høg solsikka er etter 16 veker, ved å skrive H(16) i algebrafeltet eller i CAS. Resultatet er 1 694 cm, det vil seie nesten 17 meter. Så høg blir ikkje ei solsikke. Modellen kan i alle fall ikkje vere gyldig så langt ut i tid.

Oppgåve 14

Punkta i koordinatsystemet nedanfor viser fem observasjonar av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høgder over havet.

Fem punkt er teikna inn i eit koordinatsystem. Punkta har koordinatane 0 og 1000, 2 og 800, 4 og 600, 7 og 400 og til slutt 10 og 300. Illustrasjon. — Lufttrykk målt ved nokre høgder over havet

a) Finn ein matematisk modell som beskriv lufttrykket målt i millibar.

Løysing

Vi les av koordinatane til punkta i koordinatsystemet og får denne tabellen:

Lufttrykket
Høgde over havet i km	0	2	4	7	10
Lufttrykk målt i millibar	1 000	800	600	400	300

Grafen til funksjonen f av x er lik 998 multiplisert med 0,88 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 14. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Grafen er eksponentielt minkande. Illustrasjon. — Lufttrykk i millibar som funksjon av høgde over havet i km

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $f (x) = 998 \cdot 0, 88^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis lufttrykket endrar seg med høgda over havet. Modellen ser ut til å passe ganske bra.

b) Kva fortel vekstfaktoren i modellen oss?

Løysing

Vekstfaktoren i modellen er 0,88. Det svarer til ein prosentvis nedgang på 12 %. Sidan eininga på x-aksen er km, får vi at lufttrykket blir redusert med 12 % for kvar km vi beveger oss rett oppover i lufta.

Det høgaste fjellet i Noreg, Galdhøpiggen, ligg 2 469 meter over havet.

c) Kva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fann i oppgåve a)?

Løysing

Vi løyser oppgåva med CAS ved å setje inn den aktuelle $x$ -verdien inn i modellen.