Oppgåve

Polynomfunksjonar

Oppgåvene nedanfor skal løysast med bruk av hjelpemiddel, til dømes GeoGebra, om det ikkje står noko anna. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

a) Teikn grafen til funksjonen f gitt ved $f (x) = - 0, 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 3$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkt
botnpunkt
skjeringspunkt med koordinataksane

Løysing

Koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik minus 0,5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3 er teikna for x-verdiar mellom minus 1 og 5,5. Grafen skjer y-aksen i punktet med koordinatane 0 og 3. Grafen skjer x-aksen i punktet med koordinatane 5,05 og 0. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane 0,59 og 2,17. Grafen har eit toppunkt med koordinatane 3,41 og 7,83. Illustrasjon.

Vi finn grafisk botnpunktet (0.59, 2.17) og toppunktet (3.41, 7.83) med verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi finn grafisk med verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra at funksjonen har nullpunktet $x = 5, 05$ .

Skjeringspunktet med andreaksen er (0, 3), som vi finn ved å skrive (0,f(0)).

b) Teikn grafen til funksjonen $g$ gitt ved $g (x) = 0, 20 x^{3} - 0, 60 x^{2} + 4$ . Analyser funksjonen.

Løysing

Å analysere ein funksjon betyr at vi finn ut mest mogleg om han. Her betyr det å finne eventuelle

toppunkt
botnpunkt
skjeringspunkt med koordinataksane

Koordinatsystem. Grafen til funksjonen g av x er lik 0,2 x i tredje minus 0,6 x i andre pluss 4 er teikna for x-verdiar mellom minus 2,5 og 3,5. Grafen skjer y-aksen i punktet med koordinatane 0 og 4. Dette punktet er òg eit toppunkt. Grafen skjer x-aksen i punktet med koordinatane minus 2 og 0. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane 2 og 3,2. Illustrasjon.

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finn vi at funksjonen har eit toppunkt i (0, 4) og eit botnpunkt i (2, 3.2). Toppunktet er samtidig skjeringspunkt med y-aksen.

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt", finn vi at funksjonen har nullpunktet $x = - 2$ .

c) Teikn grafen til funksjonen h gitt ved $h (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ . Analyser funksjonen.

Løysing

Koordinatsystem. Grafen til funksjonen h av x er lik x i fjerde minus 3 x i tredje pluss 4 x er teikna for x-verdiar mellom minus 1,3 og 2,7. Grafen skjer y-aksen i punktet med koordinatane 0 og 0. Grafen skjer x-aksen i punktet med koordinatane minus 1 og 0, punktet med koordinatane 0 og 0 og punktet med koordinatane 2 og 0. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane minus 0,59 og minus 1,62, eit toppunkt med koordinatane 0,84 og 2,08 og eit nytt botnpunkt med koordinatane 2 og 0. Illustrasjon.

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finn vi at funksjonen har eit toppunkt i (0.84, 2.08) og botnpunkt i $(- 0.59, - 1.62)$ og i (2, 0).

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt" finn vi at funksjonen har nullpunkta $x = - 1, x = 0$ og $x = 2$ . Legg merke til at grafen har eit botnpunkt i det eine nullpunktet.

Frå nullpunkta har vi at grafen skjer andreaksen i (0, 0) (origo).

Oppgåve 2

Ein tredjegradsfunksjon kan skrivast på forma $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ der a, b, c og d er konstantar.

Lag ein funksjon i GeoGebra der du har glidarar for kvar av konstantane.

a) Forklar med eigne ord kva som skjer dersom du lar a variere mellom negative og positive tal.

Løysing

Dersom a er negativ, kjem grafen frå pluss uendeleg og går mot minus uendeleg. Dersom a er positiv, blir det omvendt: Grafen kjem frå minus uendeleg og går mot pluss uendeleg.

b) Forklar med eigne ord kva som skjer når d varierer.

Løysing

d er konstantleddet og flyttar heile grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

c) Kva skjer med grafen dersom a er negativ og du lar b variere i intervallet $[- 5, 5]$ ? Kva skjer dersom a er positiv?

Løysing

Her er det litt avhengig av b, så her er det berre å teste ut!

d) Kva skjer dersom du lar c variere mellom $- 5$ og 5? Har storleiken og forteiknet på b noko å seie for korleis grafen endrar seg når du endrar c?

Løysing

Test ut!

Oppgåve 3

Grafen viser temperaturen frå midnatt fram til klokka 12 eit døgn i mars.

Graf i koordinatsystem som viser temperaturen i gradar celsius x timar etter midnatt. Når x er lik 0, er temperaturen 0. Så stig grafen til cirka 0,3 gradar når x er lik 2, så søkk han til cirka minus 0,7 når x er lik 7,5. Deretter stig grafen bratt til 1,9 gradar når x er lik 12. Illustrasjon.

a) Finn ekstremalpunkta til grafen.

Løysing

Ekstremalpunkta finn vi i toppunktet A(1.8, 0.3) og i botnpunktet B(7.6, -0.7).

b) Når har vi den høgaste og den lågaste temperaturen i dette tidsrommet, og kva er temperaturen då?

Løysing

Den høgaste temperaturen har vi i det høgre endepunktet på grafen, det vil seie klokka 12. Vi les av grafen at temperaturen då er nesten 2 °C. Den lågaste temperaturen er i botnpunktet. $7, 6 h = 7 h 0, 6 \cdot 60 \min = 7 h 36 \min$ . Den lågaste temperaturen er klokka 07.36, og då er temperaturen minus 0,7.

c) Finn når grafen har nullpunkt.

Løysing

Vi har nullpunkt for $x = 0$ , $x = 4$ og $x = 10$ .

d) Kva betyr nullpunkta her?

Løysing

Nullpunkta viser når temperaturen var 0 °C. Det var han ved midnatt, klokka 4 og klokka 10.

Oppgåve 4

Tabellen viser temperatursvingingane gjennom eit flott sommardøgn i Mandal. Temperaturen T er gitt i gradar, og x er talet på timar etter midnatt.

Temperatur
x	0	1	4	7	9	10	12	13	15	17	20	22	24
T (°C)	19	17	15	17	19	21	25	26	27	26	34	22	18

a) Kva matematisk modell trur du kan passe med desse punkta?

Løysing

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra, vel "Regresjonsanalyse" og observerer punkta i regresjonsanalysevindauget. Punkta ser ut omtrent som på figuren nedanfor. Då kan ein tredjegradsfunksjon passe.

Punkta frå oppgåva er teikna inn i eit koordinatsystem. Punkta kan sjå ut til å følge ei kurve som først søkk, så stig og til slutt søkk igjen. Illustrasjon.

b) Finn ein matematisk modell som beskriv temperaturen i Mandal dette døgnet.

Løysing

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at tredjegradsfunksjonen

$T (x) = - 0, 008 x^{3} + 0, 261 x^{2} - 1, 5 x + 18, 3$

passar godt som modell for temperaturutviklinga.

Graf som viser temperatur. Punkta frå oppgåva er også teikna inn. Punkta passar ganske godt med grafen. Illustrasjon.

Vi observerer at modellen passar best fram til klokka 15. Så søkk temperaturen raskare enn det modellen gir.

c) Vurder gyldigheita av modellen du fann ovanfor, når vi lar tida $x$ etter midnatt bli meir enn 24 timar.

Løysing

Modellen vi fann, beskriv temperaturen dei første 24 timane etter midnatt på ein god måte. Utover 24 timar er modellen ubrukeleg fordi tredjegradsfunksjonen berre er minkande etter toppunktet rett etter klokka 17.

Oppgåve 5

Tenk deg at du skal lage ei eske utan lokk av ei kvadratisk papplate med sidelengder
60 cm. Du må då klippe bort eit kvadrat i kvart hjørne av papplata.

Du må altså klippe bort dei fire mørkeblå kvadrata på teikninga nedanfor. Dei lyseblå rektangla brettar du opp, og du får då ei eske med det lyse kvadratet i midten som botn.

To figurar. Figuren til venstre består av to kvadrat inni kvarandre. Det ytre kvadratet har sidekantar lik 60. Sidekantane til det indre kvadratet er forlenga ut til det ytre. Det indre kvadratet er lyst. Det rektangelforma området på sidene av det indre kvadratet er lyseblått, og dei små kvadratiske områda som ligg mellom eit hjørne på det indre kvadratet og det næraste hjørnet på det ytre kvadratet, er mørkeblå. Sidekantane i dette kvadratet er x. Den høgre figuren er lik den venstre, men dei små, mørkeblå kvadrata er tekne bort. Illustrasjon.

Forma på eska avheng av kor store kvadrat du klipper bort. Vi kallar sidene i kvadrata du klipper bort, for x. Dersom x er stor, vil eska få ein liten botn, men blir desto høgare. Dersom x er liten, vil eska få stor botn, men ho vil bli låg. Vi ønsker at eska skal få så stort volum som mogleg.

Volumet av eska vil vere avhengig av x. Det vil seie at volumet er ein funksjon av x. Vi vil finne ein formel for denne funksjonen.

a) Start med å finne eit uttrykk for lengda l av botnen til eska.

Løysing

Botnen blir eit kvadrat. For å finne lengda av sidekanten må vi ta 60 og trekke frå breidda av to lyseblå rektangel, som kvar har breidde lik x. Då får vi at

$l = 60 - 2 x$

b) Finn utan hjelpemiddel ein funksjon $V (x)$ for volumet av eska uttrykt ved x.

Løysing

Arealet G til botnen, det vi kallar grunnflata, blir òg ein funksjon av x. Vi får

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & {(60 - 2 x)}^{2} \\ = & 60^{2} - 2 \cdot 60 \cdot 2 x + {(2 x)}^{2} \\ = & 3 600 - 240 x + 4 x^{2} \end{array}$

Høgda på eska blir x. Vi må multiplisere grunnflata med høgda for å få volumet, her kalla V.

$\begin{array}{rcl} V (x) & = & G (x) \cdot h \\ = & (3 600 - 240 + 4 x^{2}) \cdot x \\ = & 3 600 x - 240 x^{2} + 4 x^{3} \\ = & 4 x^{3} - 240 x^{2} + 3 600 x \end{array}$

Volumet er altså ein polynomfunksjon av tredje grad.

c) Kva blir definisjonsmengda til funksjonen $V (x)$ ?

Løysing

Vi ser òg at x må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få ei eske. Dersom $x = 0$ , klipper vi ikkje bort noko, og dersom $x = 30$ , får vi ingen botn, vi klipper bort heile papplata. Definisjonsmengda er då

$D_{V} = ⟨ 0, 30 ⟩$

d) Teikn grafen til volumfunksjonen V. Kva blir det største volumet eska kan få, og kor store kvadrat må vi klippe bort då?

Løysing

Vi skriv V(x)=Funksjon(4x^3-240x^2+3600x,0,30) i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" for å finne eventuelle ekstremalpunkt.

Grafen til funksjonen V av x er lik 4 x i tredje minus 240 x i andre pluss 3600 x er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 30. Grafen har eit toppunkt med koordinatane 10 og 16000. Illustrasjon.

Vi får eit toppunkt i $(10, 16 000)$ . Det vil seie at det største volumet eska kan få, er $16 000 {cm}^{3}$ . Då må vi klippe bort kvadrat med sidekant 10 cm frå hjørna på papplata.

e) Kva blir verdimengda til funksjonen $V (x)$ ?

Løysing

Sidan toppunktet er $(10, 16 000)$ og volumet ikkje kan vere 0, får vi at verdimengda er

$V_{V} = ⟨ 0, 16 000]$

f) Du ønsker å lage esker som har volumet $10 000 {cm}^{3}$ . Kor mykje skal du klippe bort av papplata då? Løys oppgåva grafisk.

Løysing

Vi må finne ut når volumfunksjonen har verdien 10 000, det vil seie vi må løyse likninga

$V (x) = 10 000$

Vi løyser likninga ved å teikne linja $y = 10 000$ og finne skjeringspunktet mellom linja og grafen til $V (x)$ med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Grafen til funksjonen V av x er lik 4 x i tredje minus 240 x i andre pluss 3600 x er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 30. Linja y er lik 10000 er også teikna inn. Det er to skjeringspunkt mellom grafen til V og den rette linja. Det eine har koordinatar 3,58 og 10000, det andre har koordinatar 18,32 og 10000. Illustrasjon.

Vi må klippe bort kvadrat med sidekant 3,6 cm eller 18,3 cm frå hjørna på papplata for at volumet av eska skal bli $10 000 {cm}^{3}$ .

g) Løys oppgåve b), d) og f) med CAS.

Løysing

Utklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen V av x definert som parentes 60 minus 2 x parentes slutt i andre multiplisert med x. På linje 2 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet V skrive inn. Svaret er punktet med koordinatane 10 og 16000 og punktet med koordinatane 30 og 0. På linje 3 er V av x sett lik 10000. Svaret med Løys er x er lik 3,58 eller x er lik 18,32 eller x er lik 38,1. Skjermutklipp.

På linje 1 skriv vi inn volumfunksjonen ved å skrive inn grunnflata multiplisert med høgda. Legg merke til at vi normalt ikkje skriv inn funksjonar med avgrensingar i definisjonsmengda i CAS, sidan CAS taklar dette dårleg. Frå linje 2 får vi at det største volumet eska kan få, er $16 000 {cm}^{3}$ , og då må vi klippe bort kvadrat med sidekant 10 cm frå hjørna på papplata. Frå linje 3 får vi at volumet av eska blir $10 000 {cm}^{3}$ når vi klipper bort kvadrat med sidekantar på 3,6 cm eller 18,3 cm. Den siste løysinga er utanfor det aktuelle området for x.

Oppgåve 6

Kiosken Furefoss har følgt med på issalet i august. Salstala ser slik ut:

Sal av is i august
Dato i august	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Tal på selde isar	78	65	58	54	46	42	40	41	35

a) Bruk regresjonsverktøyet i GeoGebra og finn ein andregradsfunksjon f som passar godt med tala.

Løysing

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel "Regresjonsanalyse". Vi vel modellen "Polynom" med grad 2.

Utklipp frå GeoGebra. Venstre side av biletet viser reknearkdelen med ein tabell der salstala er skrivne inn. Høgre side av biletet viser regresjonsanalyseverktøyet, der regresjonsmodellen Polynom med grad 2 er vald. Modellfunksjonen er y er lik 0,6169 x i andre minus 11,0355 x pluss 86,6429. Koordinatsystemet viser at modellen passar ganske bra med tala i tabellen. Skjermutklipp.

Ein andregradsfunksjon som passar godt med tala, er

$f (x) = 0, 617 x^{2} - 11, 0 x + 86, 6$

b) Kva blir salet av is den 15. august med modellen i a)?

Løysing

Vi bruker den symbolske utrekninga i regresjonsanalysevindauget og får at talet på selde isar den 15. august blir 60.

I regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra er modellfunksjonen funnen til y er lik 0,62 x i andre minus 11,04 x pluss 86,64. I den symbolske utrekninga er x sett lik 15 og y rekna ut til 59,9091. Skjermutklipp.

c) Vurder om modellen vil vere gyldig utover hausten.

Løysing

Av forma på grafen i a) får vi at salet vil halde fram med å stige utover hausten. Det er ikkje veldig sannsynleg når det blir gradvis kaldare.

d) Finn ein tredjegradsfunksjon g som passar godt med tala. Gjenta oppgåve b) og c) med denne modellen. Vurder om modellen er betre enn modellen i a).

Løysing

I regresjonsanalyseverktøyet er modellfunksjonen funnen til y er lik minus 0,08 x i tredje pluss 1,78 x i andre minus 15,93 x pluss 91,75. I den symbolske utrekninga er x sett lik 15 og y rekna ut til minus 8,3939. Skjermutklipp.

Vi vel grad 3 på modellen "Polynom" i regresjonsanalyseverktøyet og får at ein tredjegradsfunksjon som passar godt med tala, er

$g (x) = - 0, 08 x^{3} + 1, 78 x^{2} - 15, 93 x + 91, 75$

Den symbolske utrekninga gir at salet av is den 15. august er negativt. Modellen passar endå dårlegare enn modellen i oppgåve a) fordi ein tredjegradsfunksjon med negativ koeffisient framfor tredjegradsleddet går mot minus uendeleg ettersom x blir større.

Oppgåve 7

Vi skal undersøke funksjonen

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$

Teikn grafen til f, og finn nullpunkta og ekstremalpunkta til funksjonen. Kva er spesielt med det eine nullpunktet?

Løysing

Vi skriv inn funksjonen i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøya "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt" til å finne nullpunkta til funksjonen og topp- og botnpunkta på grafen.

Grafen til funksjonen f av x er lik x i tredje minus x i andre minus 5 x minus 3 er teikna for x-verdiar mellom minus 2,5 og 3,3. Grafen har eit toppunkt med koordinatane minus 1 og 0. Grafen skjer i tillegg x-aksen i punktet med koordinatane 3 og 0. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane 1,67 og minus 9,48. Illustrasjon.

Nullpunkt: $x = - 1$ og $x = 3$

Toppunkt: $(- 1, 0)$

Botnpunkt: $(1.67, - 9.48)$

Det spesielle er at nullpunktet $(- 1, 0)$ samtidig er eit toppunkt.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Polynomfunksjonar(DOCX)
Polynomfunksjonar(PDF)

Ikkje-linære funksjonar