Oppgåve

Andregradsfunksjonar

Oppgåvene nedanfor kan løysast med bruk av hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 2 til 7. Fire punkt på grafen er markerte (A (2, −1), B (3, 0), C (0, 3) D (4, 3)). Skjermutklipp.

I koordinatsystemet har vi teikna grafen til funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

og markert nokre punkt på grafen.

a) Skriv ned koordinatane til punkta A, B, C og D.

Løysing

$\begin{array}{rcl} A (2, - 1) \\ B (3, 0) \\ C (0, 3) \\ D (4, 3) \end{array}$

b) Rekn ut $f (0), f (2), f (3) og f (4)$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \\ f (2) & = & 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \\ f (3) & = & 3^{2} - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \\ f (4) & = & 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \end{array}$

c) Forklar at koordinatane til punkta på grafen kan skrivast som

$A (2, f (2)), B (3, f (3)), C (0, f (0)), D (4, f (4))$

Løysing

Når vi reknar ut $f (2)$ , finn vi funksjonsverdien for $x = 2$ .
$f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ , det vil seie punktet A på grafen. Eit punkt $(b, f (b))$ vil derfor alltid ligge på grafen til $f$ for alle verdiar for $b$ der funksjonen eksisterer.

d) Korleis skriv vi punktet på grafen der $x = a$ , med matematisk notasjon?

Løysing

$(a, f (a))$

Oppgåve 2

Funksjonen f er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ , $D_{f} = [- 4, 3]$ .

a) Teikn grafen til f.

Løysing

Vi skriv (f(x)=Funksjon(x^2+x-6,-4,3) i algebrafeltet i GeoGebra og får teikna grafen. (Biletet inneheld òg andre element som er brukte til å svare på dei andre spørsmåla i oppgåva.)

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 4 og 3. Det venstre endepunktet på grafen har koordinatane minus 4 og 6. Det høgre endepunktet har koordinatane 3 og 6. Botnpunktet til grafen har koordinatane minus 0,5 og minus 6,25. Illustrasjon.

b) Bestem botnpunktet til grafen til $f$ grafisk.

Løysing

Grafisk:

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi får at botnpunktet er $(- 0.5, - 6.25)$ .

c) Bestem grafisk kvar grafen til f skjer koordinataksane.

Løysing

Vi skriv inn punktet $(0, f (0))$ i algebrafeltet. Så bruker vi verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunkta mellom grafen og x-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 3,5 og 2,5. Grafen skjer x-aksen i punktet med koordinatane minus 3 og 0 og i punktet med koordinatane 2 og 0. Grafen skjer y-aksen i punktet med koordinatane 0 og minus 6. Illustrasjon.

Grafen til f skjer førsteaksen i $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

Grafen til f skjer andreaksen i $(0, - 6)$ .

d) Bestem med CAS kvar grafen til f skjer koordinataksane.

Løysing

Grafen skjer y-aksen når $x = 0$ . Da kan vi rekne ut $f (0)$ .

Grafen skjer x-aksen når $y = 0$ . Det gir oss likninga $f (x) = 0$ .

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive f av x kolon er lik x i andre pluss x minus 6. Svaret er det same. På linje 2 er f av 0 rekna ut til å vere minus 6. På linje 3 er f av x sett lik 0. Svaret med Løys er x er lik minus 3 og x er lik 2. Skjermutklipp.

Grafen skjer andreaksen i punktet $(0, - 6)$ .

Grafen skjer førsteaksen i punkta $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

e) Kva er verdimengda til f?

Løysing

Definisjonsmengda $D_{f}$ til funksjonen er $D_{f} = [- 4, 3]$ .

Den lågaste verdien til funksjonen f er $- 6, 25$ i botnpunktet. Vi må finne y-verdiane i endepunkta på grafen. Vi skriv derfor inn punkta $(- 4, f (- 4))$ og $(3, f (3))$ . y-verdien til begge punkta er 6. Då er den høgaste verdien til funksjonen 6.

Verdimengda $V_{f}$ blir dermed $V_{f} = [- 6.25, 6]$ .

Oppgåve 3

Nedanfor er nokre andregradsfunksjonar representerte ved grafar. Analyser funksjonane, som betyr at du skal

finne eventuelle nullpunkt
finne ut om grafen til funksjonen har eit topp- eller botnpunkt, og finne koordinatane til dette ekstremalpunktet
finne verdimengda
finne symmetrilinja
finne ut kvar grafen skjer y-aksen

Alle funksjonane har uavgrensa definisjonsmengde.

Grafen til funksjonen f av x er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 2. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane minus 1 og minus 4. Grafen skjer y-aksen for y er lik minus 3. Grafen skjer x-aksen for x er lik minus 3 og x er lik 1. Illustrasjon.

Løysing

Vi les følgande ut frå grafen:

Grafen har eit botnpunkt i $(- 1, - 4)$ .
Verdimengda til funksjonen blir $V_{f} = [- 4, \to ⟩$ .
Grafen har symmetrilinja $x = - 1$ .
Grafen har nullpunkt for $x = - 3$ og $x = 1$ .
Grafen skjer y-aksen for $y = - 3$ .

Grafen til funksjonen f av x er teikna for x-verdiar mellom minus 1,5 og 2,5. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane 0,5 og minus 4,5. Grafen skjer y-aksen for y er lik minus 4. Grafen skjer x-aksen for x er lik minus 1 og x er lik 2. Illustrasjon.

Løysing

Vi les følgande ut frå grafen:

Grafen har eit botnpunkt i $(0.5, - 4.5)$ .
Verdimengda til funksjonen blir $V_{f} = [- 4.5, \to ⟩$ .
Grafen har symmetrilinja $x = 0, 5$ .
Grafen har nullpunkt for $x = - 1$ og $x = 2$ .
Grafen skjer y-aksen for $y = - 4$ .

Grafen til funksjonen f av x er teikna for x-verdiar mellom minus 5 og 3. Grafen har eit toppunkt med koordinatane minus 1 og 0,5. Grafen skjer y-aksen i origo. Grafen skjer x-aksen for x er lik minus 2 og x er lik 0. Illustrasjon.

Løysing

Vi les følgande ut frå grafen:

Grafen har eit toppunkt i $(- 1, 0.5)$ .
Verdimengda til funksjonen blir $V_{f} = ⟨ \leftarrow, 0.5]$ .
Grafen har symmetrilinja $x = - 1$ .
Grafen har nullpunkt for $x = - 2$ og $x = 0$ .
Grafen skjer y-aksen i origo.

Grafen til funksjonen f av x er teikna for x-verdiar mellom minus 1,2 og 2,2. Grafen har eit toppunkt med koordinatane 0,5 og minus 0,75. Grafen skjer y-aksen for y er lik minus 1. Grafen skjer ikkje x-aksen. Illustrasjon.

Løysing

Vi les følgande ut frå grafen:

Grafen har eit toppunkt i $(0.5, - 0.75)$ .
Verdimengda til funksjonen blir $V_{f} = ⟨ \leftarrow, 0.75]$ .
Grafen har symmetrilinja $x = 0, 5$ .
Grafen har ingen nullpunkt.
Grafen skjer y-aksen for $y = - 1$ .

Oppgåve 4

Analyser andregradsfunksjonane nedanfor. Start med å teikne dei.

Alle funksjonane har uavgrensa definisjonsmengde.

a) $f (x) = x^{2} + x - 6$

Løysing

Vi teiknar grafen med GeoGebra og bruker verktøya "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriv (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjeringspunktet med y-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er teikna for x-verdiar mellom minus 3,5 og 2,5. Grafen skjer x-aksen i punktet med koordinatane minus 3 og null og i punktet med koordinatane 2 og 0. Grafen skjer y-aksen i punktet med koordinatane 0 og minus 6. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane minus 0,5 og minus 6,25. Illustrasjon.

Grafen skjer y-aksen for $y = - 6$ . Grafen har eit botnpunkt i $(- 0.5, - 6, 25)$ . Verdimengda til funksjonen blir $V_{f} = [- 6.25, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likninga $x = - 0, 5$ . Grafen har nullpunkt for $x = - 3$ og $x = 2$ .

b) $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 3$

Løysing

Vi teiknar grafen med GeoGebra og bruker verktøya "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriv (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjeringspunktet med y-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik 2 x i andre minus 5 x pluss 3 er teikna for x-verdiar mellom minus 0,5 og 3. Grafen skjer x-aksen i punktet med koordinatane 1 og 0 og i punktet med koordinatane 1,5 og 0. Grafen skjer y-aksen i punktet med koordinatane 0 og 3. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane 1,25 og minus 0,13. Illustrasjon.

Grafen skjer y-aksen for $y = - 3$ . Grafen har eit botnpunkt i $(1.25, - 0.13)$ . Verdimengda til funksjonen blir $V_{f} = [- 0.13, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likninga $x = 1, 25$ . Grafen har nullpunkt for $x = 1$ og $x = 1, 5$ .

c) $f (x) = - 4 x^{2} - 4 x - 2, 5$

Løysing

Vi teiknar grafen med GeoGebra og bruker verktøya "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriv (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjeringspunktet med y-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik minus 4 x i andre minus 4 x minus 2,5 er teikna for x-verdiar mellom minus 1,5 og 0,5. Grafen skjer ikkje x-aksen nokon stad. Grafen skjer y-aksen i punktet med koordinatane 0 og minus 2,5. Grafen har eit toppunkt med koordinatane minus 0,5 og minus 1,5. Illustrasjon.

Grafen skjer y-aksen for $y = - 2, 5$ . Grafen har eit toppunkt i $(- 0.5, - 1.5)$ . Verdimengda til funksjonen blir $V_{f} = ⟨ \leftarrow, - 1.5]$ . Symmetrilinja har likninga $x = - 0, 5$ . Grafen har ingen nullpunkt.

Oppgåve 5

Bruk CAS til å analysere andregradsfunksjonane nedanfor. Alle funksjonane har uavgrensa definisjonsmengde.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Løysing

Koeffisienten framfor andregradsleddet er positiv. Grafen vil derfor vende den hole sida opp (smile) og ha eit botnpunkt.

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen f av x definert som x i andre minus 7 x pluss 12. På linje 2 er det skrive f av x er lik 0. Svaret med Løys er x er lik 3 eller x er lik 4. På linje 3 er det skrive f av 0. Svaret er 12. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet f rekna ut til koordinatane 7 halve og minus 1 fjerdedel. Skjermutklipp.

Funksjonen har nullpunkta $x = 3$ og $x = 4$ , og grafen skjer y-aksen for $y = 12$ . Grafen har botnpunktet $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{4})$ , og verdimengda til funksjonen blir derfor $V_{f} = [- \frac{1}{4}, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likninga $x = \frac{7}{2}$ .

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Løysing

Koeffisienten framfor andregradsleddet er negativ. Grafen vil derfor vende den hole sida ned (sur) og ha eit toppunkt.

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen g av x definert som minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4. På linje 2 er det skrive g av x er lik 0. Svaret med Løys er x er lik minus 1 eller x er lik 2. På linje 3 er g av 0 rekna ut til 4. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet g rekna ut til koordinatane 1 halv og 9 halve. Skjermutklipp.

Funksjonen har nullpunkta $x = - 1$ og $x = 2$ , og grafen skjer y-aksen for $y = 4$ . Grafen har toppunktet $(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$ , og verdimengda til funksjonen blir derfor $V_{g} = ⟨ \leftarrow, \frac{9}{2}]$ . Symmetrilinja har likninga $x = \frac{1}{2}$ .

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Løysing

Koeffisienten framfor andregradsleddet er negativ. Grafen vil derfor vende den hole sida ned (sur) og ha eit toppunkt.

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen h av x definert som minus x i andre minus 8. På linje 2 er det skrive h av x er lik 0. Svaret med Løys er ingenting. På linje 3 er h av 0 rekna ut til minus 8. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet h rekna ut til koordinatane 0 og minus 8. Skjermutklipp.

Funksjonen har ingen nullpunkt. Grafen skjer y-aksen for $y = 4$ . Grafen har toppunktet $(0, - 8)$ , og verdimengda til funksjonen blir derfor $V_{h} = ⟨ \leftarrow, - 8]$ . Symmetrilinja har likninga $x = 0$ (y-aksen).

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Løysing

Koeffisienten framfor andregradsleddet er positiv. Grafen vil derfor vende den hole sida opp (smile) og ha eit botnpunkt.

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen i av x definert som 3 x i andre pluss 12 x. På linje 2 er det skrive i av x er lik 0. Svaret med Løys er x er lik minus 4 eller x er lik 0. På linje 3 er i av 0 rekna ut til 0. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet i rekna ut til koordinatane minus 2 og minus 12. Skjermutklipp.

Funksjonen har nullpunkta $x = - 4$ og $x = 0$ , og grafen skjer y-aksen i origo. Grafen har botnpunktet $(- 2, - 12)$ , og verdimengda til funksjonen blir derfor $V_{f} = [- 12, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likninga $x = - 2$ .

e) Teikn funksjonane i a), b) c) og d) for å kontrollere det du har komme fram til.

Løysing

Fire grafar er teikna med GeoGebra i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 5 til 6. Det er grafane til f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12, g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4, h av x er lik minus x i andre minus 8 og i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x. Grafane til f og i har eit botnpunkt, mens grafane til g og h har eit toppunkt. Skjermutklipp. — Grafane i oppgåva

Oppgåve 6

I denne oppgåva skal du utforske andregradsfunksjonar ved hjelp av GeoGebra.

a) Start i eit tomt GeoGebra-ark og skriv inn funksjonen $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Kommentarar til oppgåva

Hugs å skrive eit mellomrom eller eit multiplikasjonsteikn mellom koeffisientane a og b og variabelen x. Legg merke til at det automatisk blir oppretta tre glidarar for a, b og c.

Dersom du ikkje får opp glidarane automatisk, kan du lage dei først ved å skrive a=1 og trykke linjeskift, deretter b=1 og linjeskift og tilsvarande for c. Så kan du skrive til dømes f(x)=a*x^2+b*x+c.

b) Kva skjer når du endrar på a? Dra i glidaren for a og observer kva som skjer.

Løysing

Når $a > 0$ , vender grafen den hole sida opp, og motsett når $a < 0$ . Når $a = 0$ , har vi ikkje lenger ein andregradsfunksjon, men ei rett linje. Vi observerer òg at jo større a blir, jo brattare blir grafen.

c) Kva skjer når du endrar på c?

Løysing

Koeffisienten c er konstantleddet i funksjonsuttrykket og bestemmer kvar grafen skjer y-aksen. Grafen blir flytta opp eller ned med verdien av c.

d) Kva skjer når du endrar på b?

Løysing

Når b blir endra, blir grafen flytta både vassrett og loddrett. Kan du sjå noko mønster i denne flyttinga? Finn ekstremalpunktet til funksjonen, og slå på sporing av punktet ved å høgreklikke på punktet og velje "Vis spor". Endre deretter på b. Kva slags form har sporet etter ekstremalpunktet?

Oppgåve 7

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høgda h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen

$h (t) = 14, 1 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

a) Finn definisjonsmengda $D_{h}$ til funksjonen h.

Tips til oppgåva

Funksjonen kan berre vere gyldig når ballen er i lufta.

Løysing

Vi må gå ut frå at kastet startar når $t = 0$ . Funksjonen er gyldig heilt til ballen landar. Då er høgda lik 0. Vi må derfor finne nullpunkta til funksjonen. Det kan vi gjere med CAS.

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 definert. På linje 2 er det skrive h av t er lik 0. Svaret med Løys er t er lik minus 6 førtinidelar eller t er lik 3. Skjermutklipp.

Den første løysinga er utanfor definisjonsmengda sidan t er negativ. Den andre løysinga gir at definisjonsmengda til funksjonen blir

$D_{h} = [0, 3]$

b) Teikn grafen til h.

Løysing

Vi skriv h(t)=Funksjon(14.1t-4.9t^2+1.8,0,3) i algebrafeltet i GeoGebra og får den krumme, blå grafen på biletet nedanfor.

Grafen til funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 er teikna for t-verdiar mellom 0 og 3. Toppunktet A har koordinatane 1,44 og 11,94. Nullpunktet C har koordinatane 3 og 0. Linja y er lik 10 er også teikna inn. Skjeringspunkta mellom linja og grafen til h er D med koordinatane 0,81 og 10 og E med koordinatane 2,07 og 10. Skjermutklipp.

c) Når er ballen 10 meter over bakken?

Løysing

Vi teiknar linja $y = 10$ . Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til h med verktøyet "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta D og E i løysinga til oppgåve a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter 2,1 sekund.

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

Løysing

Vi ser av grafen i løysinga til oppgåve a) at ballen aldri når denne høgda.

e) Kor høgt når ballen, og når er ballen på det høgaste punktet?

Løysing

Vi finn toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Sjå punkt A i løysinga til oppgåve a). Ballen når det høgaste punktet etter omtrent 1,4 sekund og har då ei høgde på 12 meter over bakken.

Oppgåve 8

Gitt grafane nedanfor.

Grafane til tre ulike andregradsfunksjonar er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 5 til 4. Graf A har eit toppunkt med koordinatane minus 2 og 4 og nullpunkt for x er lik minus 4,8 og 0,8. Graf B har eit botnpunkt med koordinatane 1 og 1 og ingen nullpunkt. Graf C har eit toppunkt med koordinatane 2 og minus 2 og ingen nullpunkt. Skjermutklipp.

Kva funksjonsuttrykk meiner du høyrer til graf A, graf B eller graf C? Prøv deg utan å teikne grafane. Obs: Tre av funksjonsuttrykka høyrer ikkje til nokon av grafane.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ g (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ h (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ i (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ j (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ k (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

Løysing

Graf A: Vi får med ein gong at andregradsleddet må vere negativt sidan grafen har eit toppunkt og konstantleddet må vere 2. Då er det anten funksjon g eller funksjon i som er riktig funksjon.

Grafen går gjennom punktet $(- 2, 4)$ . Vi testar:

$\begin{array}{rcl} g (- 2) & = & - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 2 = - 4 + 4 + 2 = 2 \\ i (- 2) & = & - 0, 5 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 2 = - 2 + 4 + 2 = 4 \end{array}$

Graf A høyrer til funksjonen i.

Graf B: Vi får med ein gong at andregradsleddet må vere positivt sidan grafen har eit botnpunkt og konstantleddet må vere 2. Då er det anten funksjon f eller funksjon h som er riktig funksjon.

Grafen går gjennom punktet $(0, 2)$ . Vi testar:

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 1^{2} - 2 \cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \\ h (1) & = & 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 2 = 2 - 2 + 2 = 2 \end{array}$

Graf B høyrer til funksjonen f.

Graf C: Vi får med ein gong at andregradsleddet må vere negativt sidan grafen har eit toppunkt og konstantleddet må vere $- 6$ . Då er det anten funksjon j eller funksjon k som er riktig funksjon.

Grafen går gjennom punktet $(2, - 2)$ . Vi tester:

$\begin{array}{rcl} j (2) & = & - 0, 5 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - 6 = - 2 - 4 - 6 = - 12 \\ k (2) & = & - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 6 = - 4 + 8 - 6 = - 2 \end{array}$

Graf C høyrer til funksjonen k.

Oppgåve 9

Dersom du ikkje kan gjennomføre det praktiske i denne oppgåva, kan du starte på oppgåve e).

Gå saman med nokre medelevar og bruk eit tau som er litt over 12 meter langt. Bind saman endane og form tauet til eit rektangel, som figuren viser. Omkrinsen til rektangelet skal vere 12 meter.

a) Kva er kjenneteikna ved eit rektangel?

Rektangel med grunnlinje og høgde. Illustrasjon.

Løysing

I eit rektangel er alle vinklane rette, og to og to sider er like lange, slik at vi maksimalt kan ha to forskjellige sidelengder. Vi kallar desse for grunnlinje og høgde her.

b) La først grunnlinja vere 1 meter. Lag eit rektangel av tauet, og mål lengda av høgda. Rekn ut arealet av rektangelet.

Gjer så det same fleire gonger, men varier lengda på grunnlinja til høvesvis 2 meter, 3 meter, 4 meter, 5 meter og til slutt 6 meter.

Før alle resultata inn i same verditabell, slik som den nedanfor.

Verditabell
Grunnlinje, m	1	2	3	4	5	6
Areal, $m^{2}$

c) Plott så resultata i eit koordinatsystem der de på x-aksen set av lengda av grunnlinja og på y-aksen set av areala. Skisser ei kurve gjennom punkta. Kva slags form får denne kurva?

d) Kor lang må grunnlinja vere for å få størst mogleg areal på rektangelet?

Kommentar til oppgåve b), c) og d)

Resultata for arealet bør vere i nærleiken av dette:

Verditabell
Grunnlinje, m	1	2	3	4	5	6
Areal, $m^{2}$	5	8	9	8	5	0

Forma på grafen skal bli ein parabel med eit toppunkt.

Det største moglege arealet får rektangelet når grunnlinja er 3 m.

Vi skal no undersøke dette teoretisk.

e) La grunnlinja i eit rektangel med omkrins 12 m vere x meter. Finn ein formel for høgda h når grunnlinja er x.

Løysing

Rektangel der grunnlinja er x meter og høgda er 6 minus x meter. Illustrasjon.

Omkrinsen til rektangelet er 12 meter. Grunnlinja og høgda må til saman vere halve omkrinsen, slik at når grunnlinja er x, så må høgda h vere $h = 6 - x$ .

f) Finn ein formel for arealet som funksjon av grunnlinja, x. Kva slags funksjon er dette?

Løysing

For kvar verdi av x får vi eit bestemt rektangel med eit bestemt areal, som vi reknar ut ved å multiplisere grunnlinja med høgda. Vi har altså at arealet til rektangelet er ein funksjon av x. Vi kallar denne funksjonen $A (x)$ og får

$A (x) = x \cdot h = x \cdot (6 - x) = 6 x - x^{2}$

Dette er ein andregradsfunksjon.

g) Kva er definisjonsmengda $D_{A}$ til funksjonen A?

Løysing

Funksjonen kan berre vere gyldig når han gir verdiar som er større enn null. Vi må derfor finne nullpunkta til A.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive A av x kolon er lik 6 x minus x i andre. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive A av x er lik 0. Svaret med Løys er x er lik 0 og x er lik 6. Skjermutklipp.

Sidan koeffisienten framfor andregradsleddet er negativ, veit vi at funksjonen har eit toppunkt. Det er derfor området mellom nullpunkta som er det aktuelle området.

Definisjonsmengda til A blir $D_{A} = 〈 0, 6 〉$ .

h) Bruk GeoGebra og teikn grafen til $A (x)$ . I det same koordinatsystemet teiknar du punkta frå oppgåve b) dersom du har gjort den praktiske delen av oppgåva. Kommenter resultatet.

Løysing

Grafen til funksjonen A av x er lik 6 x minus x i andre er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 6. Grafen har eit toppunkt med koordinatane 3 og 9, og grafen treffer x-aksen for x er lik 0 og x er lik 6. I tillegg går grafen gjennom punktet med koordinatane 1 og 5, punktet med koordinatane 2 og 8, punktet med koordinatane 4 og 8 og punktet med koordinatnae 5 og 5. Illustrasjon.

Punkta frå oppgåve b) skal ideelt sett ligge på grafen til A slik dei gjer her.

i) Bruk grafen til A til å finne det maksimale arealet firkanten kan få.

Løysing

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finn vi at toppunktet på grafen er $(3, 9)$ . Sjå grafen i oppgåve h). Det maksimale arealet firkanten kan få, er $9 m^{2}$ .

j) Kva blir verdimengda $V_{A}$ til funksjonen A?

Løysing

$V_{A} = ⟨ 0, 9]$

Oppgåve 10

Per målte temperaturen ute kvar fjerde time gjennom eit døgn. Tabellen viser klokkeslett med tilhøyrande temperatur T.

Temperatur gjennom eit døgn
Klokkeslett	14.00	18.00	22.00	02.00	06.00	10.00	14.00
Temperatur T i °C	2,5	0,3	-1,4	-2,0	-2,6	-2,1	-0,2

a) Bruk regresjon og finn den andregradsfunksjonen som passar best til punkta i tabellen. La x vere talet på timar etter klokka 14.

Løysing

Vi skriv punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra og vel "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finn at funksjonen T kan beskrivast med uttrykket

$T (x) = 0, 0234 x^{2} - 0, 69 x + 2, 6$

b) Korleis passar grafen med temperaturmålingane?

Løysing

Graf som viser temperaturen etter klokka 14. Grafen går igjennom nokre av punkta frå oppgåva, men ikkje alle. Ingen av punkta ligg langt frå grafen. Illustrasjon.

Grafen passar nokså bra med dei observerte temperaturane.

c) Kva vil temperaturen ifølge modellen vere 30 timar etter at Per starta målingane?

Løysing

30 timar etter at målinga starta, det vil seie klokka 18 neste dag, viser modellen ein temperatur på cirka 3 C°.

d) Kva vil temperaturen ifølge modellen vere 48 timar etter at Per starta målingane? Vurder kor realistisk modellen er.

Løysing

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 står det T av 48. Svaret med tilnærming er 23,39. Skjermutklipp.

48 timar etter at målinga starta, viser modellen ein temperatur på cirka 23 C°. Det verkar usannsynleg når temperaturen på natta var under null.

Modellen er realistisk i det døgnet Per gjorde målingane. Går vi utover denne tida, verkar modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen berre halde fram med å stige.

Oppgåve 11

Analyser dei fire andregradsfunksjonane nedanfor. Alle funksjonane har uavgrensa definisjonsmengde.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Løysing

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende den hole sida opp (smile). Grafen vil då ha eit botnpunkt.

Grafen skjer andreaksen i 12 fordi konstantleddet $c = 12$ .

Resten tek vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12 definert. På linje 2 er det skrevet Ekstremalpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er koordinatene 7 halve og minus 1 fjerdedel. På linje 3 er det skrevet Nullpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er x er lik 3, x er lik 4. Skjermutklipp.

Botnpunktet har koordinatane $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{4})$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{7}{2}$ .

Verdimengda blir $[- \frac{1}{4}, \to 〉$ .

Nullpunkta er 3 og 4.

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Løysing

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende den hole sida ned (sur). Grafen vil då ha eit toppunkt.

Grafen skjer andreaksen i 4 fordi konstantleddet $c = 4$ .

Resten tek vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er funksjonen g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4 definert. På linje 2 er det skrive Ekstremalpunkt parentes g parentes slutt. Svaret er koordinatane ein halv og 9 halve. På linje 3 er det skrive Nullpunkt parentes g parentes slutt. Svaret er x er lik minus 1 og x er lik 2. Skjermutklipp.

Toppunktet har koordinatane $(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{1}{2}$ .

Verdimengda blir $〈 \leftarrow, \frac{9}{2}]$ .

Nullpunkta er $- 1$ og 2.

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Løysing

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende den hole sida ned (sur). Grafen vil då ha eit toppunkt.

Grafen skjer andreaksen i $- 8$ fordi konstantleddet $c = - 8$ .

Resten tek vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er funksjonen h av x er lik minus x i andre minus 8 definert. På linje 2 er det skrive Ekstremalpunkt parentes h parentes slutt. Svaret er koordinatane 0 og minus 8. På linje 3 er det skrive Nullpunkt parentes h parentes slutt. Svaret er x er ingen ting. Skjermutklipp.

Toppunktet har koordinatane $(0, - 8)$ , det same som skjeringspunktet med andreaksen.

Symmetrilinja er $x = 0$ .

Verdimengda blir $⟨ \leftarrow, - 8]$ .

Grafen til h ligg under x-aksen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt.

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Løysing

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende den hole sida opp (smile). Grafen vil då ha eit botnpunkt.

Grafen skjer andreaksen i 0 fordi konstantleddet $c = 0$ .

Resten tek vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x definert. På linje 2 er det skrive Ekstremalpunkt parentes i parentes slutt. Svaret er koordinatane minus 2 og minus 12. På linje 3 er det skrive Nullpunkt parentes i parentes slutt. Svaret er x er lik minus 4 og x er lik 0. Skjermutklipp.

Toppunktet har koordinatane $(- 2, - 12)$ .

Symmetrilinja er $x = - 2$ .

Verdimengda blir $[- 12, \to 〉$ .

Nullpunkta er $- 4$ og 0.

Oppgåve 12

Andreas kastar eit spyd.

Grafen til funksjonen f gitt ved

$f (x) = - 0, 01 x^{2} + 0, 85 x + 2, 20$

beskriv høgda til spydet gjennom kastet.

Her er x meter målt langs bakken frå staden der Andreas kastar spydet, og $f (x)$ meter er høgda spydet har over bakken.

a) Finn definisjonsmengda til funksjonen f.

Løysing

Vi må gå ut frå at kastet startar når $x = 0$ . Funksjonen er gyldig heilt til spydet landar. Då er høgda lik 0. Vi må derfor finne nullpunkta til funksjonen. Det kan vi gjere med CAS.

Skjermutklipp frå CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen f av x er lik minus 0,01 x i andre pluss 0,85 x pluss 2,2 definert. På linje 2 er det skrive f av x er lik 0. Svaret med Løys er x er lik parentes minus kvadratrota av 8105 pluss 85 parentes slutt delt på 2 eller parentes kvadratrota av 8105 pluss 85 parentes slutt delt på 2. På linje 3 er det skrive dollarteikn 2. Svaret med tilnærming er x er lik minus 2,51 eller x er lik 87,51. Skjermutklipp.

Den første løysinga angir ein posisjon 2 og ein halv meter bak Andreas, så den kan vi ikkje bruke. Den andre løysinga gir at spydet landar 87,51 m frå Andreas. Definisjonsmengda for funksjonen blir derfor

$D_{f} = [0, 87.51]$

b) Teikn grafen til f.

Løysing

Vi teiknar grafen i GeoGebra ved å skrive inn

f(x)=Funksjon(-0.01x^2+0.85x+2.20,0,87.15).