Fag

Emne

Ikkje-linære funksjonar

Fagstoff

Interaktivt innhald

Video

Potensfunksjonar

Her skal vi undersøke kva potensfunksjonar er, og korleis dei heng saman med eksponentiell vekst.

Potensfunksjonar

Ein funksjon f gitt ved $f (x) = a \cdot x^{b}$ der $x > 0$ og a og b er konstante tal, kallar vi ein potensfunksjon.

Legg merke til at når b er eit ikkje-negativt heilt tal, er potensfunksjonen òg ein polynomfunksjon, som til dømes $2 x, 3 x^{2}$ og så vidare.

Når b er eit negativt heilt tal, er potensfunksjonen en rasjonal funksjon, som til dømes $x^{- 4} = \frac{1}{x^{4}}, 2 x^{- 1} = \frac{2}{x}$ og så vidare.

Nedanfor har vi teikna grafane til nokre funksjonar gitt på forma $2 x^{b}$ . I tillegg kan du dra i glidaren for å sjå korleis funksjonen ser ut for andre verdiar av b.

🤔 Tenk over: Kvifor går alle grafane gjennom punktet $(1, 2)$ ?

Forklaring

Alle funksjonane er på forma $p (x) = 2 x^{b}$ . Vi reknar ut $p (1)$ :

$p (1) = 2 \cdot 1^{b} = 2 \cdot 1 = 2$

Uansett kva vi opphøgjer 1 i, blir svaret 1.

🤔 Tenk over: Korleis ser grafen ut når $b = 1$ i den generelle potensfunksjonen $f (x) = a \cdot x^{b}$ ?

Når b = 1

Set vi $b = 1$ i den generelle potensfunksjonen, får vi

$f (x) = a x^{b} = a x^{1} = a x$

Vi får ein førstegradsfunksjon med stigningstalet a.

Grafane endrar hovudform etter om $b \in ⟨ \leftarrow, 0 ⟩$ , $b \in ⟨ 0, 1 ⟩$ eller $b \in ⟨ 1, \to ⟩$ .

Legg merke til at grafen til ein potensfunksjon f gitt ved $f (x) = a \cdot x^{b}$ alltid går gjennom punktet $(1, a)$ fordi $f (1) = a \cdot 1^{b} = a$ .

Døme: Banksparing

Live arvar 300 000 kroner. Ho vil spare pengane.

Den lokale banken tilbyr ei årleg rente på 3 % per år. Dette svarer til ein vekstfaktor på 1,03. Live reknar det som sannsynleg at ho vil få bruk for pengane om 10 år. Kor mykje vil beløpet ha vakse til, etter 10 år?

$300 000 \cdot 1, 03^{10} = 403 175$

Beløpet vil ha vakse til cirka 403 175 kroner.

🤔 Tenk over: Kva kallar vi slik vekst som dette?

Løysing

Dette er eksponentiell vekst.

Live veit at det finst alternativ til banksparing, og ho vil undersøke kva beløpet kan vekse til etter 10 år, dersom renta er høgare enn 3 %. Ho lagar seg derfor ein funksjon B ut ifrå reknestykket over der vekstfaktoren er den ukjende variabelen x. Funksjonen blir

$B (x) = 300 000 \cdot x^{10}$

Legg merke til at sjølv om vi har teke utgangspunkt i uttrykket for eksponentiell vekst, er funksjonen B ein potensfunksjon fordi den frie variabelen x er grunntalet i ein potens med konstant eksponent.

🤔 Tenk over: Funksjonen B kan òg klassifiserast som ein annan type funksjon. Kva for ein?

Forklaring

Sidan vi berre har den ukjende opphøgd i det positive heile talet 10, kan vi òg seie at funksjonen B er ein polynomfunksjon av grad 10.

Live går ut frå at den største moglege renta eller avkastninga ho kan få, er 12 %.

🤔 Tenk over: Kva blir definisjonsmengda til funksjonen B då?

Definisjonsmengda til B

Sidan grensene for renta er 3 % og 12 %, blir grensene for vekstfaktoren 1,03 og 1,12. Definisjonsmengda blir $D_{B} = [1.03, 1.12]$ .

Live teiknar grafen til B.

Grafen til funksjonen B av x er lik 300000 multiplisert med x opphøgd i 10 er teikna for x-verdiar mellom 1,03 og 1,12. Grafen er stigande og stig raskare og raskare. Tre punkt på grafen er markerte. Punkta har koordinatane 1,03 og 403000, 1,08 og 648000 og til slutt 1,11 og 852000. Illustrasjon.

Av grafen kan ho sjå at ved ei årleg rente på 3 % vil beløpet vekse til cirka 403 000 kroner etter 10 år. Hvis renta er på 8 % per år, vil beløpet vekse til cirka 648 000 kroner, og dersom ho kan få ei rente på 11 % per år, altså at vekstfaktoren er 1,11, vil ho sitje igjen med cirka 852 000 etter 10 år.

🤔 Tenk over: Kva er det største beløpet Live kan sitje igjen med etter 10 år?

Største moglege beløp

Det største moglege beløpet får vi når renta er 12 %. Då må vi finne $B (1, 12)$ , som vi kan rekne ut med

$B (12) = 300 000 \cdot 1, 12^{10} = 931 754$

På det meste kan Live forvente å sitje igjen med 932 000 kroner.

Døme: Svingande pendel

Når ein pendel svingar, er svingetida, det vil seie den tida det tek frå du slepper pendelen til han kjem tilbake til utgangspunktet, avhengig av lengda på snora som pendelkula heng i.

Frå naturfag kjenner du kanskje formelen for svingetida T målt i sekund som funksjon av snorlengda x målt i meter?

$T (x) = 2, 0 \cdot \sqrt{x}$

Ein annan måte å skrive $\sqrt{x}$ på er $x^{\frac{1}{2}}$ . Vi forklarer ikkje denne samanhengen her, men nøyer oss med å seie at ein kvadratrotfunksjon òg er ein potensfunksjon. Det betyr at funksjonen $T (x)$ òg kan skrivast som

Grafen til T av x er lik 2,0 multiplisert med x opphøgd i 0,5 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 2,5. Grafen er stigande, men stig mindre og mindre etter som x aukar. Illustrasjon.

$T (x) = 2, 0 \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Svingetida til ein pendel er altså ein potensfunksjon av snorlengda. På biletet har vi teikna grafen til funksjonen T.

Vi kan til dømes bruke funksjonen til å finne ut kor lang pendelen skal vere for at svingetida skal vere eitt sekund. Med CAS kan det sjå slik ut:

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er T av x definert som 2 x opphøgd i ein halv. På linje 2 er T av x sett lik 1. Svaret med Løys er x er lik 1 fjerdedel. Skjermutklipp.

Svingetida til pendelen er 1 s når snorlengda er 25 cm.

Video om eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0