Fagstoff

Eksponentiell vekst og eksponentialfunksjonar

Vekstfaktoren er viktig ved prosentvis endring i fleire periodar. Når noko aukar eller minkar med ein bestemd prosent over fleire periodar, er veksten eksponentiell. Eksponentialfunksjonar er funksjonar som beskriv eksponentiell vekst.

Definisjon

Ein funksjon f på forma $f (x) = a \cdot b^{x}$ kallar vi ein eksponentialfunksjon. Talet b kallar vi vekstfaktoren. Eksponentialfunksjonar er berre definert for positive verdiar av b.

Før du går vidare, bør du gjere oppgåve 1 på oppgåvesida "Eksponentialfunksjonar".

Døme

Funksjonane g og h gitt nedanfor er døme på eksponentialfunksjonar.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 2, 5 \cdot 1, 5^{x} \\ D_{g} = [- 4, 6] \\ h (x) & = & 6, 5 \cdot 0, 8^{x} \\ D_{h} = [- 4, 6] \end{array}$

Nedanfor har vi teikna grafane til g og h i det same koordinatsystemet og funne skjeringspunkta med y-aksen.

Koordinatsystem der grafane til g av x er lik 2,5 multiplisert med 1,5 opphøgd i x og h av x er lik 6,5 multiplisert med 0,8 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 6. Grafen til g startar nesten nede ved x-aksen og stig gradvis meir og meir. Grafen til h startar med ein y-verdi lik 16 og søkk heile vegen og nærmar seg gradvis x-aksen. Skjeringspunktet mellom grafen til g og y-aksen har koordinatane 0 og 2,5, og skjeringspunktet mellom grafen til h og y-aksen har koordinatane 0 og 6,5. Illustrasjon.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi vite kva for ein av grafane som er grafen til g?

Forklaring

Vi kan til dømes sjå det av skjeringspunkta med y-aksen. Når vi set $x = 0$ inn i funksjonen $f (x) = a \cdot b^{x}$ , får vi

$f (0) = a \cdot b^{0} = a \cdot 1 = a$

I funksjonen g er $a = 2, 5$ . Då må grafen til g vere den grafen som ikkje er stipla.

Vi kan òg finne ut kva graf som er grafen til g, ved å sjå på vekstfaktoren b. Grafen vil vere stigande når $b > 1$ , og søkkande når $b < 1$ .

Vekstfaktor og talet b. Eksponentiell vekst

Det er ein samanheng mellom talet b og vekstfaktoren ved prosentvis endring. Før du går vidare, bør du gjere oppgåve 2.

🤔 Tenk over: Kva blir samanhengen mellom talet b og vekstfaktoren ved prosentvis endring ut frå det du fann ut i oppgåve 2?

Samanhengen mellom talet b og vekstfaktoren

Talet b er det same som vekstfaktoren ved prosentvis vekst i fleire omgangar fordi eksponentialfunksjonen er på forma "ny verdi" = "gammal verdi" multiplisert med vekstfaktoren opphøgd i x, eller $a \cdot b^{x}$ skrive matematisk.

Eksponentialfunksjonen $g (x) = 2, 5 \cdot 1, 5^{x}$ er det uttrykket vi får når vi skal finne ut kva talet 2,5 veks til dersom det stig med 50 % x gonger. Hugs at vekstfaktoren når noko aukar med 50 %, er 1,5.

Tilsvarande er eksponentialfunksjonen $h (x) = 6, 5 \cdot 0, 8^{x}$ det uttrykket vi får når vi skal finne ut kva talet 6,5 søkk til dersom det søkk med 20 % x gonger.

Ein eksponentialfunksjon beskriv derfor det vi kallar eksponentiell vekst. Prosentvis vekst over fleire periodar er eksponentiell.

Analyse av eksponentialfunksjonar

I polynomfunksjonar er vi vande til å sjå etter nullpunkt og ekstremalpunkt. Dette finn vi ikkje i ein eksponentialfunksjon, men vi kan likevel analysere andre element ved funksjonen. Vi kan til dømes bruke grafen til ein eksponentialfunksjon til å finne ut når veksten har nådd ein bestemd verdi. Vi skal sjå på nokre døme.

Døme på positiv eksponentiell vekst: pengar i banken

Tre myntstablar til venstre og to små figurar av menn i dress til høgre. Foto.

Vi ser no på eit døme der 10 000 kroner står i banken til ei fast rente på 3 % per år i fleire år.

🤔 Tenk over: 3 % rente betyr at beløpet, dei pengane som står i banken, aukar verdien med 3 % per år. Kva er vekstfaktoren for ein auke på 3 %?

Vekstfaktor ved 3 % auke

Vekstfaktoren for 3 % auke er $103 % = 1,03$ . Beløpet veks eksponentielt sidan det veks med ein fast prosent (så lenge renta held seg fast).

🤔 Tenk over: Kor mykje veks beløpet til dersom det står eitt år i banken?

Beløpet etter eitt år i banken

Vi må multiplisere med vekstfaktoren. Svaret kan vi finne med til dømes CAS, men kanskje du klarer det utan hjelpemiddel?

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 = 10 300 kr \end{array}$

Beløpet veks til 10 300 kroner etter eitt år i banken.

Vi ønsker å finne ut kor mykje beløpet veks til dersom det står 8 år i banken.

Vi såg over at for å finne beløpet når pengane har stått i eitt år, måtte vi multiplisere med vekstfaktoren:

$10 000 kr \cdot 1, 03$

For kvart år beløpet står, aukar det med 3 prosent, noko som betyr at for kvart år må vi multiplisere med ein ny vekstfaktor på 1,03. Etter 8 år er beløpet

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \\ = 10 000 kr \cdot 1, 03^{8} = 12 668 kr \end{array}$

I andre linje har vi skrive reknestykket enklare ved å skrive dei 8 vekstfaktorane som potensen $1, 03^{8}$ , 1,03 opphøgd i 8. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra til utrekninga, ser det slik ut:

CAS-utrekning i GeoGebra, ei linje. Det står 10000 multiplisert med 1,03 opphøgd i 8. Svaret med tilnærming er 12667,7. Skjermutklipp.

For å få denne utrekninga skriv vi 10000·1.03^8 og trykker på knappen $\approx_{}^{}$ .

Beløpet etter x år kan vi finne ved å erstatte åttetalet over med x slik at vi får vekstfaktoren opphøgd i x. Då får vi uttrykket $10 000 \cdot 1, 03^{x}$ . Det inneståande beløpet B etter x år kan derfor beskrivast med funksjonen

$B (x) = 1 000 \cdot 1, 03^{x}$

som er ein eksponentialfunksjon. Vi seier at beløpet veks eksponentielt når det endrar seg prosentvis over fleire periodar (her: år). Vi ser at grafen krummar oppover eller blir brattare etter kvart som tida går. Det er dette som er karakteristisk ved positiv eksponentiell vekst, noko vi òg kom fram til lenger opp på sida. Jo større den prosentvise veksten er, jo raskare blir grafen bratt.

Vi teiknar grafen til B.

Grafisk framstilling av pengebehaldinga på ein bankkonto med 3 prosent rente som funksjon av tida målt i år. Funksjonsuttrykket er B av x er lik 10000 multiplisert med 1,03 opphøgd i x. Grafen er teikna for x-verdiar mellom 0 og 26, og han stig meir og meir. Illustrasjon. — Eksponentiell vekst, pengar i banken

Vi ønsker å finne ut kor lang tid det tek før beløpet har dobla seg, det vil seie kor lang tid det tek før vi har 20 000 kroner i banken.

Grafisk løysing

Vi kan bruke grafen og GeoGebra til å finne ut kor lang tid dette tar. Då skriv vi y=20000 i algebrafeltet og finn skjeringspunktet mellom linja og grafen til B med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Vi får av x-koordinaten til skjeringspunktet at det tek omtrent 23 og eit halvt år før beløpet har dobla seg.

Løysing med CAS

Vi kan òg finne ut ved rekning kor lang tid det tek før beløpet har dobla seg, ved å setje opp likninga

$\begin{array}{rcl} B (x) & = & 20 000 \\ 10 000 \cdot 1, 03^{x} & = & 20 000 \end{array}$

Likninga løyser vi med CAS.

Skjermutklipp av CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er det skrive 10000 multiplisert med 1,03 opphøgd i x er lik 20000. Svaret med "Løys" er x er lik eit uttrykk som vi reknar ut ein tilnærma verdi for, på neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er 23,45. Skjermutklipp.

Vi får rekna ut ein tilnærma verdi av uttrykket i linje 1 ved å trykke på verktøyknappen $\approx_{}^{}$ .

Døme på negativ eksponentiell vekst: verdifall på bil

Kvinne sit i ein bil og smiler mens ho held bilnøkkelen opp mot kameraet. Foto.

Kari kjøper ein fire år gammal bil for $200 000$ kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 % kvart år sidan han var ny. Kari reknar med at verdien vil søkke på same måte dei neste åra.

🤔 Tenk over: Kva blir vekstfaktoren for denne nedgangen?

Vekstfaktoren for 10 % nedgang

Vekstfaktoren er $(100 % - 10 %) = 90 % = 0, 9$ .

🤔 Tenk over: Kva er verdien på bilen om 3 år?

Verdien på bilen om 3 år

Her gjer vi tilsvarande som i dømet med banksparing og multipliserer med vekstfaktoren opphøgd i talet på gonger verdien skal endrast, det vil seie opphøgd i tredje.

Verdien på bilen om 3 år er

$200 000 kr \cdot 0, 90^{3} = 145 800 kr$

🤔 Tenk over: Kva er verdien på bilen om x år?

Verdien på bilen om x år

Verdien på bilen x år etter at Kari kjøpte han, er

$200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Verdien på bilen $V (x)$ , x tal på år etter at Kari kjøpte han, er derfor gitt ved eksponentialfunksjonen

$V (x) = 200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Kari ønsker å finne svar på desse spørsmåla:

Omtrent kor mykje kosta bilen som ny?
Kor lang tid tek det før bilen er verdt halvparten av det ho gav for han?

Kari teiknar grafen i GeoGebra. Sidan bilen var ny for fire år sidan, teiknar ho grafen òg for negative x-verdiar.

🤔 Tenk over: Kva verdi har x då bilen var ny?

x-verdi då bilen var ny

$x = 0$ svarer til det tidspunktet Kari kjøpte bilen. 4 år før dette må tilsvare at $x = - 4$ .

Kari teiknar punktet på grafen for $x = - 4$ ved å skrive (-4,V(-4)) i algebrafeltet. For å finne når bilen blir halvert i verdi i forhold til kor mykje ho gav for han, det vil seie når bilen har verdien 100 000 kroner, teiknar ho linja $y = 100 000$ og bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom linja og grafen til V.

Grafen til funksjonen V av x er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom minus 5 og 12. x-aksen har beskrivinga x, år etter bilkjøp, og y-aksen har beskrivinga y, verdi i kroner. Grafen er søkkande. Linja y er lik 100000 er også teikna inn. Skjeringspunktet mellom linja og grafen til V har koordinatane 6,58 og 100000. Eit punkt på grafen til V har koordinatane minus 4 og 304831,58. Illustrasjon.

Av det første punktet får Kari at verdien på bilen som ny var omtrent 305 000 kroner. Av skjeringspunktet får Kari at bilen har halvert seg i verdi i forhold til kva ho betalte omtrent 6 og eit halvt år etter at ho kjøpte han. Vi seier òg at halveringstida for verdien på bilen er 6 og eit halvt år.

Vi kan finne det same med CAS.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er V av x sett lik 100000. Svaret med Løys er x er lik eit uttrykk som vi finn tilnærma verdi til på neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 6,597. På linje 3 er V av minus 4 rekna ut med tilnærming til 304831,581. Skjermutklipp.

Døme med ukjend vekstfaktor: verdifall på bil

Vi tenker oss at Kari i dømet over selde bilen sin for 120 000 kroner 4 år etter at ho kjøpte han. Ho ønsker å finne ut kor stort det gjennomsnittlege årlege verditapet i prosent var på desse åra.

Kari kjøpte bilen for 200 000 kroner. Så skal bilen gjennom det same prosentvise verdifallet 4 gonger, og resultatet skal bli ein verdi på 120 000 kroner. Det betyr at kjøpesummen må multipliserast 4 gonger med ein ukjend vekstfaktor x, og resultatet skal bli 120 000. Dette gir oss likninga

$200 000 \cdot x^{4} = 120 000$

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive 200000 multiplisert med x i fjerde er lik 120000. Svaret med Løys er x er lik to uttrykk som vi får rekna ut tilnærma verdiar for i neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 0,88 eller x er lik 0,88. Skjermutklipp.

Vi løyser likninga med CAS og får at vekstfaktoren blir 0,88. Det årlege prosentvise verditapet på bilen vart derfor

$1 - 0, 88 = 0, 12 = 12 %$

Tapet vart derfor litt større enn det Kari rekna med i det førre dømet. Bilen sokk prosentvis litt mindre i verdi dei første fire åra enn i dei fire åra Kari eigde bilen.

Ikkje-linære funksjonar