Fagstoff

Andregradsfunksjonar

Kva er kjenneteikna på ein andregradsfunksjon?

Den generelle andregradsfunksjonen

I lineære funksjonar opptrer variabelen x berre i første potens. I ein andregradsfunksjon har vi det vi kallar eit andregradsledd, det vil seie eit ledd som inneheld $x^{2}$ . Ein andregradsfunksjon har ikkje ledd med høgare potens av x enn 2.

Definisjon

Ein funksjon f som kan skrivast på forma

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

der koeffisientane $a, b, c \in ℝ$ og $a \neq 0$ , kallar vi ein andregradsfunksjon.

Koeffisientane a, b og c er forskjellige frå funksjon til funksjon. Dersom b er lik 0, fell førstegradsleddet bort, og dersom c er 0, fell konstantleddet bort. Ifølge definisjonen kan ikkje a vere 0 . Tenk over kvifor det er slik.

Grafen til ein andregradsfunksjon kallar vi ein parabel.

Døme

Her er to døme på andregradsfunksjonar og grafane deira:

$f (x) = - x^{2} + 3 x + 4$ og $g (x) = x^{2} - 4 x + 2$

Kollasj med to bilete av koordinatsystem. På venstre bilete er grafen til funksjonen f av x er lik minus x i andre pluss 3 x pluss 4 teikna for x-verdiar mellom minus 1,5 og 4,5. Toppunktet med koordinatar 1,5 og 6,3 er markert. Nullpunkta med koordinatar minus 1 og 0 og koordinatane 4 og 0 er markerte. Skjeringspunktet med koordinatane 0 og 4 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinja gjennom toppunktet er teikna inn. På høgre bilete er grafen til funksjonen g av x er lik x i andre minus 4 x pluss 2 teikna for x-verdiar mellom minus 1 og 4,5. Botnpunktet med koordinatar 2 og minus 2 er markert. Nullpunkta med koordinatar 0,6 og 0 og koordinatane 3,4 og 0 er markert. Skjeringspunktet med koordinatane 0 og 2 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinja gjennom botnpunktet er teikna inn. Skjermutklipp.

Det mest karakteristiske trekket ved parablar er at dei har eit toppunkt eller eit botnpunkt. Eit toppunkt er det høgaste punktet på grafen i eit lokalt område nær punktet, og eit botnpunkt er på tilsvarande måte det lågaste punktet. Parablar har òg ei symmetrilinje som er parallell med y-aksen, og som går gjennom topp- eller botnpunktet.

Legg merke til at grafen har toppunkt når andregradsleddet er negativt, og botnpunkt når andregradsleddet er positivt. I det første tilfellet seier vi at grafen er "sur", i det andre tilfellet at grafen "smiler". Vi seier òg at når parabelen har eit botnpunkt, vender den hole sida opp, og når parabelen har eit toppunkt, vender den hole sida ned.

I tillegg har begge funksjonane i figuren over to nullpunkt kvar. Til dømes har f nullpunkt for $x = - 1$ og for $x = 4$ . Vi minner om at nullpunkta til ein funksjon er dei x-verdiane som gjer at funksjonsverdien blir 0, det vil seie det same som skjeringspunkta mellom grafen til funksjonen og x-aksen. Ikkje alle andregradsfunksjonar har nullpunkt.

Definisjonsmengde og verdimengde

Ein andregradsfunksjon kan definerast for alle reelle tal. Sidan alle andregradsfunksjonar har eit ekstremalpunkt, vil verdimengda til funksjonane vere avgrensa. Vi må derfor finne ut om grafen til ein andregradsfunksjon har eit toppunkt eller eit botnpunkt, og y-koordinaten til dette punktet for å bestemme verdimengda.

Funksjonane f og g ovanfor er definerte for alle verdiar av x. Vi ser elles av grafen at f berre kan få verdiar som er mindre enn eller lik 6,25. Verdimengda til f er derfor alle tal som er mindre enn eller lik 6,25. Vi skriv

$D_{f} = ℝ, V_{f} = 〈 \leftarrow, 6.25]$

På same måte ser vi at verdimengda til g er alle tal som anten er lik $- 2$ eller større enn $- 2$ . Då får vi tilsvarande

$D_{g} = ℝ, V_{g} = [- 2, \to 〉$

Analyse av andregradsfunksjonar

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3, D_{f} = ℝ$

🤔 Tenk over: Analyse betyr her å finne ut mest mogleg om funksjonen og grafen til han. Kva kan vere aktuelt å finne ut om ein andregradsfunksjon?

Analyse av ein andregradsfunksjon

Å analysere ein andregradsfunksjon inneber å

finne eventuelle nullpunkt
finne ut om grafen til funksjonen har eit topp- eller botnpunkt og finne koordinatane til dette ekstremalpunktet
finne verdimengda
finne symmetrilinja
finne kvar grafen skjer y-aksen

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 0,5 og 4,5. Grafen har eit botnpunkt med koordinatane 2 og minus 1 og 2 nullpunkt for x er lik 1 og for x er lik 3. Linja x er lik 2 er teikna inn og går gjennom botnpunktet. Illustrasjon.

Vi teiknar grafen til funksjonen $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ i GeoGebra og får teikna nullpunkta med verktøyet "Nullpunkt" eller kommandoen Nullpunkt(f) i algebrafeltet.

Dersom vi skriv Nullpunkt(f) i CAS, får vi " $\{x = 1, x = 3\}$ " til svar. Då blir det ikkje teikna noko i grafikkfeltet i GeoGebra. Dette er det same som å løyse likninga $f (x) = 0$ grafisk, det vil seie likninga

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Vi kan derfor òg skrive f(x)=0 i CAS og bruke verktøyet "Løys" eller skrive Løys(f(x)=0) for å finne nullpunkta.

Grafen har eit botnpunkt sidan andregradsleddet er positivt. Vi får teikna botnpunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" eller kommandoen Ekstremalpunkt(f) i algebrafeltet. Dersom vi skriv Ekstremalpunkt(f) i CAS, får vi " $\{(2, - 1)\}$ " til svar utan at noko blir teikna. Grafen har botnpunkt $(2, - 1)$ .

Verdimengda til funksjonen blir derfor $V_{f} = [- 1, \to ⟩$ .

Ekstremalpunktet (her: botnpunktet) har x-koordinat lik 2. Det betyr at linja $x = 2$ er symmetrilinja til grafen. Vi har teikna ho ved å skrive x=2 i algebrafeltet. Legg merke til at symmetrilinja ligg like langt frå kvart av nullpunkta til parabelen.

Vi finn kvar grafen skjer y-aksen ved å rekne ut $f (0)$ .

$f (0) = 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3$

Grafen skjer y-aksen for $y = 3$ . Legg merke til at vi kan finne skjeringspunktet ved å sjå på konstantleddet i funksjonen, akkurat som for førstegradsfunksjonar (rette linjer).

Praktisk døme: Preikestolen

Preikestolen er eit fjellplatå i Rogaland som ligg cirka 600 meter over Lysefjorden. Fjellveggen frå Preikestolen ned til fjorden er nesten loddrett.

Tenk deg at du står på kanten av Preikestolen og kastar ein stein på skrå opp i lufta med utgangsfart $25 m / s$ . På veg ned passerer steinen på utsida av platået og hamnar i Lysefjorden.

Naturlovene fortel oss at høgda h til steinen er ein funksjon av tida t og er tilnærma gitt ved funksjonsuttrykket

$h (t) = 25 t - 5 t^{2}$

Her står t for tida i sekund etter at steinen vart kasta.

Grafen til funksjonen h av t er lik 25 t minus 5 t i andre er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom 0 og 600. Linja y er lik minus 600 er også teikna inn. Det er teikna inn 5 punkt på grafen til h. Desse er D med koordinatane 0 og 0, A med koordinatane 2,5 og 31,3, E med koordinatane 5 og 0, B med koordinatane 10 og minus 250 og C med koordinatane 13,7 og minus 600. Punktet C er også skjeringspunkt mellom grafen til h og den rette linja. Illustrasjon.

Høgdefunksjonen er ein andregradsfunksjon fordi variabelen $t$ er i andre potens.

Vi teikna grafen til funksjonen dei første 20 sekunda ved å skrive h(t)=Funksjon(25t-5t^2, 0, 20) i algebrafeltet i GeoGebra.

Vi finn toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt(h) og får punktet $A (2.5, 31.3)$ . Det viser at steinen når det høgaste punktet sitt, 31,3 meter over platået, etter 2,5 sekund.

Vi finn punktet $B (10, - 250)$ ved å skrive (10,h(10)). Det viser at steinen passerer 250 meter under platået etter 10 sekund.

Vi teiknar linja $y = - 600$ og finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen med verktøyet "Skjering mellom to objekt" eller kommandoen Skjering(h,g) (dersom linja har namnet g). Vi får skjeringspunktet $C (13.7, - 600)$ , som viser at steinen treffer Lysefjorden etter 13,7 sekund.

Vi finn nullpunkta $D (0, 0)$ og $E (5, 0)$ med kommandoen Nullpunkt(h). Det viser at steinen forlet platået ved tida null og passerer platået på vegen ned etter 5 sekund.

🤔 Tenk over: Kva blir definisjonsmengda og verdimengda til funksjonen h?

Definisjonsmengde og verdimengde

Funksjonen kan ikkje gjelde for negative t-verdiar. Og etter at steinen treffer vassflata, bremsar han opp. Vi får derfor at definisjonsmengda til h er

$D_{h} = [0, 13.7]$

Den største verdien h kan ha, er i toppunktet, der y-koordinaten er 2,5. Den lågaste verdien er når steinen treffer vassflata, det vil seie når $y = - 600$ . Verdimengda til h er derfor

$V_{h} = [- 600, 31.3]$

🤔 Tenk over: Er det mogleg å analysere ein andregradsfunksjon f utan å teikne grafen?

Analyse av ein andregradsfunksjon utan å teikne grafen

Vi går gjennom lista frå lenger oppe på sida:

finne eventuelle nullpunkt: Vi kan løyse likninga $f (x) = 0$ for å finne eventuelle nullpunkt.
finne ut om grafen til funksjonen har eit topp- eller botnpunkt og finne koordinatane til dette ekstremalpunktet: Vi kan skrive Ekstremalpunkt(f) for å finne ekstremalpunktet. Vi kan sjå av forteiknet på koeffisienten a i andregradsleddet om ekstremalpunktet er eit toppunkt eller eit botnpunkt.
finne verdimengda: Når vi har funne koordinatane til ekstremalpunktet og veit om det er eit topp- eller botnpunkt, veit vi òg kva verdimengda til funksjonen er.
finne symmetrilinja: Ut ifrå x-koordinaten til ekstremalpunktet har vi òg likninga for symmetrilinja.

Ikkje-linære funksjonar

Den generelle andregradsfunksjonen

Definisjon

Døme

Definisjonsmengde og verdimengde

Analyse av andregradsfunksjonar

Praktisk døme: Preikestolen