Modellering og mønstergjenkjenning. Modellers gyldighet

Figurtall

Figurene ovenfor er bygd opp av 9, 12 og 15 små kvadrater. Tenk deg at vi fortsetter å lage figurer etter samme mønster.

Antallet små kvadrater i hver av figurene danner en serie med tall, en tallfølge, som begynner med tallene 9, 12 og 15 og fortsetter etter samme mønster i det uendelige. Vi skriver 9, 12, 15, ... Fordi tallene er framkommet av mønsteret i figurer, kaller vi tallene for figurtall. Figurer som danner andre mønstre, vil ha andre figurtall.

Finnes det en enkel måte å finne ut hvor mange kvadrater det er i figur nummer 1 000 på? Vi begynner med å sette figurtallet $F_n$ lik antallet små kvadrater i figur nummer n slik at $F_1=9, F_2=12$ og$F_3=15$.

🤔 Tenk over: Hva gjør vi for å komme fra antall kvadrater i én figur til antall kvadrater i den neste? Hva er mønsteret i det vi gjør?

🤔 Tenk over: Hvor mange små kvadrater vil det være i figur 4, figur 5 og figur 6, det vil si hva blir de neste tallene $F_4, F_5$ og $F_6$ i tallrekka?

Formel for antall kvadrater i figur nummer n

Nå vil vi prøve å finne en formel for antall kvadrater i figur nummer n. En slik formel kaller vi gjerne en modell. Formelen skal være slik at dersom vi kjenner figurnummeret, kan vi regne ut hvor mange kvadrater det er i figuren. Vi kan tenke slik:

• Antallet kvadrater i figurene kan vi finne på samme måte som når vi finner arealet: Vi multipliserer lengde og bredde. For eksempel er $F_1=3·3$ og $F_2=3·4$.

• Alle figurene har samme bredde: 3.

• De tre første figurene har lengdene 3, 4 og 5. Det er 2 mer enn figurnummeret. Det betyr at $F_1=3(1+2), F_2=3(2+2)$, og så videre. Det betyr videre at lengdene er lik figurnummeret n pluss 2.

• I regnestykkene over kan vi erstatte figurnumrene med n. Vi får da formelen eller modellen $F_n=3(n+2)=3n+6$.

Nå kan vi bruke formelen til å finne ut hvor mange kvadrater det er i figur nummer 1 000:

$F_{1 000}=3·1 000+6=3 000+6=3 006$

Formel med digitale hjelpemidler

Vi kan bruke regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra til å finne formelen for antall kvadrater i figur nummer n. Da skriver vi inn figurnummeret og antall kvadrater i hver sin kolonne i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger regresjonsanalyseverktøyet.

Punktene ser ut til å ligge på ei rett linje, og ved å velge regresjonsmodellen "Lineær", slik vi har gjort i figuren over, ser vi at det stemmer. Vi får modellen $y=3x+6$, som er det samme vi kom fram til over.

🤔 Tenk over: Hva er gyldighetsområdet for formelen $F_n$? Er formelen gyldig for alle n?

Matematiske modeller som grunnlag for beslutninger

Modellen vi kom fram til for antall kvadrater i figurene over, er gyldig for alle $n>0$. Dette er fordi figurene følger et matematisk mønster, og vi kan se på modellen som en formel for å regne ut antall kvadrater. Når vi modellerer virkelige situasjoner, vil som regel modellene være mer omtrentlige, og de vil ikke kunne brukes for å regne ut nøyaktige resultater.

Hvor fort er det mulig å gå på skøyter?

Det settes stadig nye rekorder på skøyter. Kan farten til skøyteløperne i framtida bli så høy at banene bør bygges større slik at svingene blir mindre krappe? Skøytearenaer som bygges i dag, skal være arenaer i mange år framover. Her kan vi lage en matematisk modell som kanskje kan hjelpe oss å forutsi utviklingen i skøytesporten, slik at vi kan avgjøre om vi bør gjøre endringer.

I tabellen nedenfor ser vi hvordan verdensrekorden for 500 meter på skøyter for herrer har endret seg i årene fra 1990 til 2007.

Vi lar x være antall år etter 1990 og y rekorden i sekunder. Så framstiller vi opplysningene fra tabellen som punkter i et koordinatsystem.

Punktene ligger tilsynelatende på ei rett linje.

Vi bruker regresjon og finner en lineær funksjon som kan være modell for sammenhengen mellom rekorden og året den er satt:

$f\left(x\right)=-0,15x+36,38$

Grafen til funksjonen er tegnet i det samme koordinatsystemet.

Vi kan benytte modellen til å beregne hva verdensrekorden vil være i år 2090 dersom modellen gjelder. Året 2090 betyr at $x=100$.

$f\left(100\right)=-0,15·100+36,38=21,38$

Rekorden i 2090 vil etter modellen være 21,38 sekunder. Nedenfor har vi tegnet dette punktet sammen med grafen til funksjonen.

Grafen til modellen viser at rekorden på 500 m skøyter vil bli null i år 2230. Vi vet at dette er helt urealistisk, og det viser med all tydelighet hvor varsomme vi må være med å stole på matematiske modeller.

En slik lineær modell vil ikke være egnet til å si noe om hvordan verdensrekorden vil endre seg i tida som kommer. Modellen er ubrukelig som grunnlag for beslutninger om skøytearenaer bør endres eller ikke. Modellen egner seg muligens til å si noe om utviklingen noen få år fram i tid.

Vi prøver i stedet en potensfunksjon som modellfunksjon. En potensfunksjon er kun definert for positive tall. Derfor kan vi ikke ha med et punkt med x-verdi lik 0. Dette kan vi for eksempel løse ved å se på 1989 som år 0 i stedet for 1990. Da må vi øke alle x-verdiene med 1 og så gjøre regresjonen. Da får vi funksjonen

$g\left(x\right)=36,96·x^{-0,03}$

Nedenfor har vi tegnet grafen til denne modellen sammen med punktet på grafen der $x=100$.

Modellen gir en rekord ned mot 32,7 sekunder i år 2090 (legg merke til at her er det $x=101$ som betyr året 2090 fordi vi har justert på definisjonen av x). Kanskje dette ikke er så urealistisk? Denne modellen er nok mer egnet som grunnlag for beslutninger om framtidige skøyteanlegg. Med denne modellen er det ingen stor grunn til å endre på skøytearenaene med det første selv om vi ikke vet hva som vil skje med drakter, skøyter og iskvalitet i framtida.

20. november 2015 ble 34-grensa brutt da Pavel Kulizjnikov fra Russland satte ny verdensrekord i Salt Lake City med tida 33,98 sekunder. År 2015 er 25 år etter 1990 og 26 år etter 1989. Vi sjekker med CAS hvilken av de to modellene som passer best med denne rekorden.

Resultatet viser at det er g som passer best.

🤔Står rekorden fra 2015 fortsatt? Finn eventuelle nyere rekorder og se om modellen g fortsatt passer best.