Oppgave

Andregradsfunksjoner

Oppgavene nedenfor kan løses med bruk av hjelpemidler hvis det ikke står noe annet. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 2 til 7. Fire punkter på grafen er markert (A (2, −1), B (3, 0), C (0, 3) D (4, 3)). Skjermutklipp.

I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

og markert noen punkter på grafen.

a) Skriv ned koordinatene til punktene A, B, C og D.

Løsning

$\begin{array}{rcl} A (2, - 1) \\ B (3, 0) \\ C (0, 3) \\ D (4, 3) \end{array}$

b) Regn ut $f (0), f (2), f (3) og f (4)$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \\ f (2) & = & 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \\ f (3) & = & 3^{2} - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \\ f (4) & = & 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \end{array}$

c) Forklar at koordinatene til punktene på grafen kan skrives som

$A (2, f (2)), B (3, f (3)), C (0, f (0)), D (4, f (4))$

Løsning

Når vi regner ut $f (2)$ , finner vi funksjonsverdien for $x = 2$ .
$f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ , det vil si punktet A på grafen. Et punkt $(b, f (b))$ vil derfor alltid ligge på grafen til $f$ for alle verdier for $b$ der funksjonen eksisterer.

d) Hvordan skriver vi punktet på grafen der $x = a$ , med matematisk notasjon?

Løsning

$(a, f (a))$

Oppgave 2

Funksjonen f er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ , $D_{f} = [- 4, 3]$ .

a) Tegn grafen til f.

Løsning

Vi skriver (f(x)=Funksjon(x^2+x-6,-4,3) i algebrafeltet i GeoGebra og får tegnet grafen. (Bildet inneholder også andre elementer som er brukt til å svare på de andre spørsmålene i oppgaven.)

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 4 og 3. Det venstre endepunktet på grafen har koordinatene minus 4 og 6. Det høyre endepunktet har koordinatene 3 og 6. Bunnpunktet til grafen har koordinatene minus 0,5 og minus 6,25. Illustrasjon.

b) Bestem bunnpunktet til grafen til $f$ grafisk.

Løsning

Grafisk:

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi får at bunnpunktet er $(- 0.5, - 6.25)$ .

c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene.

Løsning

Vi skriver inn punktet $(0, f (0))$ i algebrafeltet. Så bruker vi verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktene mellom grafen og x-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 3,5 og 2,5. Grafen skjærer x-aksen i punktet med koordinatene minus 3 og 0 og i punktet med koordinatene 2 og 0. Grafen skjærer y-aksen i punktet med koordinatene 0 og minus 6. Illustrasjon.

Grafen til f skjærer førsteaksen i $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

Grafen til f skjærer andreaksen i $(0, - 6)$ .

d) Bestem med CAS hvor grafen til f skjærer koordinataksene.

Løsning

Grafen skjærer y-aksen når $x = 0$ . Da kan vi regne ut $f (0)$ .

Grafen skjærer x-aksen når $y = 0$ . Det gir oss likningen $f (x) = 0$ .

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet f av x kolon er lik x i andre pluss x minus 6. Svaret er det samme. På linje 2 er f av 0 regnet ut til å være minus 6. På linje 3 er f av x satt lik 0. Svaret med Løs er x er lik minus 3 og x er lik 2. Skjermutklipp.

Grafen skjærer andreaksen i punktet $(0, - 6)$ .

Grafen skjærer førsteaksen i punktene $(- 3, 0)$ og $(2, 0)$ .

e) Hva er verdimengden til f?

Løsning

Definisjonsmengden $D_{f}$ til funksjonen er $D_{f} = [- 4, 3]$ .

Den laveste verdien til funksjonen f er $- 6, 25$ i bunnpunktet. Vi må finne y-verdiene i endepunktene på grafen. Vi skriver derfor inn punktene $(- 4, f (- 4))$ og $(3, f (3))$ . y-verdien til begge punktene er 6. Da er den høyeste verdien til funksjonen 6.

Verdimengden $V_{f}$ blir dermed $V_{f} = [- 6.25, 6]$ .

Oppgave 3

Nedenfor er noen andregradsfunksjoner representert ved grafer. Analyser funksjonene, som betyr at du skal

finne eventuelle nullpunkter
finne ut om grafen til funksjonen har et topp- eller bunnpunkt, og finne koordinatene til dette ekstremalpunktet
finne verdimengden
finne symmetrilinja
finne ut hvor grafen skjærer y-aksen

Alle funksjonene har ubegrenset definisjonsmengde.

Grafen til funksjonen f av x er tegnet for x-verdier mellom minus 4 og 2. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene minus 1 og minus 4. Grafen skjærer y-aksen for y er lik minus 3. Grafen skjærer x-aksen for x er lik minus 3 og x er lik 1. Illustrasjon.

Løsning

Vi leser følgende ut fra grafen:

Grafen har et bunnpunkt i $(- 1, - 4)$ .
Verdimengden til funksjonen blir $V_{f} = [- 4, \to ⟩$ .
Grafen har symmetrilinja $x = - 1$ .
Grafen har nullpunkter for $x = - 3$ og $x = 1$ .
Grafen skjærer y-aksen for $y = - 3$ .

Grafen til funksjonen f av x er tegnet for x-verdier mellom minus 1,5 og 2,5. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene 0,5 og minus 4,5. Grafen skjærer y-aksen for y er lik minus 4. Grafen skjærer x-aksen for x er lik minus 1 og x er lik 2. Illustrasjon.

Løsning

Vi leser følgende ut fra grafen:

Grafen har et bunnpunkt i $(0.5, - 4.5)$ .
Verdimengden til funksjonen blir $V_{f} = [- 4.5, \to ⟩$ .
Grafen har symmetrilinja $x = 0, 5$ .
Grafen har nullpunkter for $x = - 1$ og $x = 2$ .

Grafen til funksjonen f av x er tegnet for x-verdier mellom minus 5 og 3. Grafen har et toppunkt med koordinatene minus 1 og 0,5. Grafen skjærer y-aksen i origo. Grafen skjærer x-aksen for x er lik minus 2 og x er lik 0. Illustrasjon.

Løsning

Vi leser følgende ut fra grafen:

Grafen har et toppunkt i $(- 1, 0.5)$ .
Verdimengden til funksjonen blir $V_{f} = ⟨ \leftarrow, 0.5]$ .
Grafen har symmetrilinja $x = - 1$ .
Grafen har nullpunkter for $x = - 2$ og $x = 0$ .
Grafen skjærer y-aksen i origo.

Grafen til funksjonen f av x er tegnet for x-verdier mellom minus 1,2 og 2,2. Grafen har et toppunkt med koordinatene 0,5 og minus 0,75. Grafen skjærer y-aksen for y er lik minus 1. Grafen skjærer ikke x-aksen. Illustrasjon.

Løsning

Vi leser følgende ut fra grafen:

Grafen har et toppunkt i $(0.5, - 0.75)$ .
Verdimengden til funksjonen blir $V_{f} = ⟨ \leftarrow, 0.75]$ .
Grafen har symmetrilinja $x = 0, 5$ .
Grafen har ingen nullpunkter.
Grafen skjærer y-aksen for $y = - 1$ .

Oppgave 4

Analyser andregradsfunksjonene nedenfor. Start med å tegne dem.

Alle funksjonene har ubegrenset definisjonsmengde.

a) $f (x) = x^{2} + x - 6$

Løsning

Vi tegner grafen med GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriver (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjæringspunktet med y-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er tegnet for x-verdier mellom minus 3,5 og 2,5. Grafen skjærer x-aksen i punktet med koordinatene minus 3 og null og i punktet med koordinatene 2 og 0. Grafen skjærer y-aksen i punktet med koordinatene 0 og minus 6. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene minus 0,5 og minus 6,25. Illustrasjon.

Grafen skjærer y-aksen for $y = - 6$ . Grafen har et bunnpunkt i $(- 0.5, - 6, 25)$ . Verdimengden til funksjonen blir $V_{f} = [- 6.25, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likningen $x = - 0, 5$ . Grafen har nullpunkter for $x = - 3$ og $x = 2$ .

b) $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 3$

Løsning

Vi tegner grafen med GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriver (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjæringspunktet med y-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik 2 x i andre minus 5 x pluss 3 er tegnet for x-verdier mellom minus 0,5 og 3. Grafen skjærer x-aksen i punktet med koordinatene 1 og 0 og i punktet med koordinatene 1,5 og 0. Grafen skjærer y-aksen i punktet med koordinatene 0 og 3. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene 1,25 og minus 0,13. Illustrasjon.

Grafen skjærer y-aksen for $y = - 3$ . Grafen har et bunnpunkt i $(1.25, - 0.13)$ . Verdimengden til funksjonen blir $V_{f} = [- 0.13, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likningen $x = 1, 25$ . Grafen har nullpunkter for $x = 1$ og $x = 1, 5$ .

c) $f (x) = - 4 x^{2} - 4 x - 2, 5$

Løsning

Vi tegner grafen med GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt". Vi skriver (0,f(0)) i algebrafeltet for å finne skjæringspunktet med y-aksen.

Grafen til funksjonen f av x er lik minus 4 x i andre minus 4 x minus 2,5 er tegnet for x-verdier mellom minus 1,5 og 0,5. Grafen skjærer ikke x-aksen noe sted. Grafen skjærer y-aksen i punktet med koordinatene 0 og minus 2,5. Grafen har et toppunkt med koordinatene minus 0,5 og minus 1,5. Illustrasjon.

Grafen skjærer y-aksen for $y = - 2, 5$ . Grafen har et toppunkt i $(- 0.5, - 1.5)$ . Verdimengden til funksjonen blir $V_{f} = ⟨ \leftarrow, - 1.5]$ . Symmetrilinja har likningen $x = - 0, 5$ . Grafen har ingen nullpunkter.

Oppgave 5

Bruk CAS til å analysere andregradsfunksjonene nedenfor. Alle funksjonene har ubegrenset definisjonsmengde.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Løsning

Koeffisienten foran andregradsleddet er positiv. Grafen vil derfor vende den hule siden opp (smile) og ha et bunnpunkt.

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen f av x definert som x i andre minus 7 x pluss 12. På linje 2 er det skrevet f av x er lik 0. Svaret med Løs er x er lik 3 eller x er lik 4. På linje 3 er det skrevet f av 0. Svaret er 12. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet f regnet ut til koordinatene 7 halve og minus 1 fjerdedel. Skjermutklipp.

Funksjonen har nullpunktene $x = 3$ og $x = 4$ , og grafen skjærer y-aksen for $y = 12$ . Grafen har bunnpunktet $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{4})$ , og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_{f} = [- \frac{1}{4}, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likningen $x = \frac{7}{2}$ .

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Løsning

Koeffisienten foran andregradsleddet er negativ. Grafen vil derfor vende den hule siden ned (sur) og ha et toppunkt.

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen g av x definert som minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4. På linje 2 er det skrevet g av x er lik 0. Svaret med Løs er x er lik minus 1 eller x er lik 2. På linje 3 er g av 0 regnet ut til 4. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet g regnet ut til koordinatene 1 halv og 9 halve. Skjermutklipp.

Funksjonen har nullpunktene $x = - 1$ og $x = 2$ , og grafen skjærer y-aksen for $y = 4$ . Grafen har toppunktet $(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$ , og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_{g} = ⟨ \leftarrow, \frac{9}{2}]$ . Symmetrilinja har likningen $x = \frac{1}{2}$ .

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Løsning

Koeffisienten foran andregradsleddet er negativ. Grafen vil derfor vende den hule siden ned (sur) og ha et toppunkt.

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen h av x definert som minus x i andre minus 8. På linje 2 er det skrevet h av x er lik 0. Svaret med Løs er ingenting. På linje 3 er h av 0 regnet ut til minus 8. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet h regnet ut til koordinatene 0 og minus 8. Skjermutklipp.

Funksjonen har ingen nullpunkter. Grafen skjærer y-aksen for $y = 4$ . Grafen har toppunktet $(0, - 8)$ , og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_{h} = ⟨ \leftarrow, - 8]$ . Symmetrilinja har likningen $x = 0$ (y-aksen).

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Løsning

Koeffisienten foran andregradsleddet er positiv. Grafen vil derfor vende den hule siden opp (smile) og ha et bunnpunkt.

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen i av x definert som 3 x i andre pluss 12 x. På linje 2 er det skrevet i av x er lik 0. Svaret med Løs er x er lik minus 4 eller x er lik 0. På linje 3 er i av 0 regnet ut til 0. På linje 4 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet i regnet ut til koordinatene minus 2 og minus 12. Skjermutklipp.

Funksjonen har nullpunktene $x = - 4$ og $x = 0$ , og grafen skjærer y-aksen i origo. Grafen har bunnpunktet $(- 2, - 12)$ , og verdimengden til funksjonen blir derfor $V_{f} = [- 12, \to ⟩$ . Symmetrilinja har likningen $x = - 2$ .

e) Tegn funksjonene i a), b) c) og d) for å kontrollere det du har kommet fram til.

Løsning

Fire grafer er tegnet med GeoGebra i et koordinatsystem der x-aksen går fra minus 5 til 6. Det er grafene til f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12, g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4, h av x er lik minus x i andre minus 8 og i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x. Grafene til f og i har et bunnpunkt, mens grafene til g og h har et toppunkt. Skjermutklipp. — Grafene i oppgaven

Oppgave 6

I denne oppgaven skal du utforske andregradsfunksjoner ved hjelp av GeoGebra.

a) Begynn i et tomt GeoGebra-ark og skriv inn funksjonen $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Kommentarer til oppgaven

Husk å skrive et mellomrom eller et multiplikasjonstegn mellom koeffisientene a og b og variabelen x. Legg merke til at det automatisk blir opprettet tre glidere for a, b og c.

Dersom du ikke får opp gliderne automatisk, kan du lage dem først ved å skrive a=1 og trykke linjeskift, deretter b=1 og linjeskift og tilsvarende for c. Så kan du skrive for eksempel f(x)=a*x^2+b*x+c.

b) Hva skjer når du endrer på a? Dra i glideren for a og observer hva som skjer.

Løsning

Når $a > 0$ , vender grafen den hule siden opp, og motsatt når $a < 0$ . Når $a = 0$ , har vi ikke lenger en andregradsfunksjon, men ei rett linje. Vi observerer også at jo større a blir, jo brattere blir grafen.

c) Hva skjer når du endrer på c?

Løsning

Koeffisienten c er konstantleddet i funksjonsuttrykket og bestemmer hvor grafen skjærer y-aksen. Grafen flyttes opp eller ned med verdien av c.

d) Hva skjer når du endrer på b?

Løsning

Når b endres, flyttes grafen både vannrett og loddrett. Kan du se noe mønster i denne flyttingen? Finn ekstremalpunktet til funksjonen, og slå på sporing av punktet ved å høyreklikke på punktet og velge "Vis spor". Endre deretter på b. Hva slags form har sporet etter ekstremalpunktet?

Oppgave 7

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen

$h (t) = 14, 1 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

a) Finn definisjonsmengden $D_{h}$ til funksjonen h.

Tips til oppgaven

Funksjonen kan bare være gyldig når ballen er i lufta.

Løsning

Vi må anta at kastet starter når $t = 0$ . Funksjonen er gyldig helt til ballen lander. Da er høyden lik 0. Vi må derfor finne nullpunktene til funksjonen. Det kan vi gjøre med CAS.

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 definert. På linje 2 er det skrevet h av t er lik 0. Svaret med Løs er t er lik minus 6 førtinideler eller t er lik 3. Skjermutklipp.

Den første løsningen er utenfor definisjonsmengden siden t er negativ. Den andre løsningen gir at definisjonsmengden til funksjonen blir

$D_{h} = [0, 3]$

b) Tegn grafen til h.

Løsning

Vi skriver h(t)=Funksjon(14.1t-4.9t^2+1.8,0,3) i algebrafeltet i GeoGebra og får den krumme, blå grafen på bildet nedenfor.

Grafen til funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 er tegnet for t-verdier mellom 0 og 3. Toppunktet A har koordinatene 1,44 og 11,94. Nullpunktet C har koordinatene 3 og 0. Linja y er lik 10 er også tegnet inn. Skjæringspunktene mellom linja og grafen til h er D med koordinatene 0,81 og 10 og E med koordinatene 2,07 og 10. Skjermutklipp.

c) Når er ballen 10 meter over bakken?

Løsning

Vi tegner linja $y = 10$ . Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til h med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene D og E i løsningen til oppgave a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekunder og etter 2,1 sekunder.

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

Løsning

Vi ser av grafen i løsningen til oppgave a) at ballen aldri når denne høyden.

e) Hvor høyt når ballen, og når er ballen på sitt høyeste punkt?

Løsning

Vi finner toppunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt". Se punkt A i løsningen til oppgave a). Ballen når sitt høyeste punkt etter omtrent 1,4 sekunder og har da en høyde på 12 meter over bakken.

Oppgave 8

Gitt grafene nedenfor.

Grafene til tre ulike andregradsfunksjoner er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 5 til 4. Graf A har et toppunkt med koordinatene minus 2 og 4 og nullpunkter for x er lik minus 4,8 og 0,8. Graf B har et bunnpunkt med koordinatene 1 og 1 og ingen nullpunkter. Graf C har et toppunkt med koordinatene 2 og minus 2 og ingen nullpunkter. Skjermutklipp.

Hvilke av funksjonsuttrykkene mener du tilhører graf A, graf B eller graf C? Prøv deg uten å tegne grafene. Obs: Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ g (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ h (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ i (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ j (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ k (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

Løsning

Graf A: Vi får med en gang at andregradsleddet må være negativt siden grafen har et toppunkt og konstantleddet må være 2. Da er det enten funksjon g eller funksjon i som er riktig funksjon.

Grafen går gjennom punktet $(- 2, 4)$ . Vi tester:

$\begin{array}{rcl} g (- 2) & = & - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 2 = - 4 + 4 + 2 = 2 \\ i (- 2) & = & - 0, 5 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) + 2 = - 2 + 4 + 2 = 4 \end{array}$

Graf A tilhører funksjonen i.

Graf B: Vi får med en gang at andregradsleddet må være positivt siden grafen har et bunnpunkt og konstantleddet må være 2. Da er det enten funksjon f eller funksjon h som er riktig funksjon.

Grafen går gjennom punktet $(0, 2)$ . Vi tester:

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 1^{2} - 2 \cdot 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \\ h (1) & = & 2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 2 = 2 - 2 + 2 = 2 \end{array}$

Graf B tilhører funksjonen f.

Graf C: Vi får med en gang at andregradsleddet må være negativt siden grafen har et toppunkt og konstantleddet må være $- 6$ . Da er det enten funksjon j eller funksjon k som er riktig funksjon.

Grafen går gjennom punktet $(2, - 2)$ . Vi tester:

$\begin{array}{rcl} j (2) & = & - 0, 5 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 - 6 = - 2 - 4 - 6 = - 12 \\ k (2) & = & - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 6 = - 4 + 8 - 6 = - 2 \end{array}$

Graf C tilhører funksjonen k.

Oppgave 9

Dersom du ikke kan gjennomføre det praktiske i denne oppgaven, kan du starte på oppgave e).

Gå sammen med noen medelever og bruk et tau som er litt over 12 meter langt. Bind sammen endene og form tauet til et rektangel, som figuren viser. Omkretsen til rektangelet skal være 12 meter.

a) Hva er kjennetegnene ved et rektangel?

Rektangel med grunnlinje og høyde. Illustrasjon.

Løsning

I et rektangel er alle vinklene rette, og to og to sider er like lange, slik at vi maksimalt kan ha to forskjellige sidelengder. Vi kaller disse for grunnlinje og høyde her.

b) La først grunnlinja være 1 meter. Lag et rektangel av tauet, og mål lengden av høyden. Regn ut arealet av rektangelet.

Gjør så det samme flere ganger, men varier lengden på grunnlinja til henholdsvis 2 meter, 3 meter, 4 meter, 5 meter og til slutt 6 meter.

Før alle resultatene inn i samme verditabell, slik som den nedenfor.

Verditabell
Grunnlinje, m	1	2	3	4	5	6
Areal, $m^{2}$

c) Plott så resultatene i et koordinatsystem der dere på x-aksen avsetter lengden av grunnlinja og på y-aksen avsetter arealene. Skisser en kurve gjennom punktene. Hva slags form får denne kurven?

d) Hvor lang må grunnlinja være for å få størst mulig areal på rektangelet?

Kommentar til oppgave b), c) og d)

Resultatene for arealet bør være i nærheten av dette:

Verditabell
Grunnlinje, m	1	2	3	4	5	6
Areal, $m^{2}$	5	8	9	8	5	0

Formen på grafen skal bli en parabel med et toppunkt.

Det største mulige arealet får rektangelet når grunnlinja er 3 m.

Vi skal nå undersøke dette teoretisk.

e) La grunnlinja i et rektangel med omkrets 12 m være x meter. Finn en formel for høyden h når grunnlinja er x.

Løsning

Rektangel der omkretsen er 12, grunnlinja er x meter og høyden er 6 minus x meter. Illustrasjon.

Omkretsen til rektangelet er 12 meter. Grunnlinja og høyden må til sammen være halve omkretsen, slik at når grunnlinja er x, så må høyden h være $h = 6 - x$ .

f) Finn en formel for arealet som funksjon av grunnlinja, x. Hva slags funksjon er dette?

Løsning

For hver verdi av x får vi et bestemt rektangel med et bestemt areal, som vi regner ut ved å multiplisere grunnlinja med høyden. Vi har altså at arealet til rektangelet er en funksjon av x. Vi kaller denne funksjonen $A (x)$ og får

$A (x) = x \cdot h = x \cdot (6 - x) = 6 x - x^{2}$

Dette er en andregradsfunksjon.

g) Hva er definisjonsmengden $D_{A}$ til funksjonen A?

Løsning

Funksjonen kan bare være gyldig når den gir verdier som er større enn null. Vi må derfor finne nullpunktene til A.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet A av x kolon er lik 6 x minus x i andre. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet A av x er lik 0. Svaret med Løs er x er lik 0 og x er lik 6. Skjermutklipp.

Siden koeffisienten foran andregradsleddet er negativ, vet vi at funksjonen har et toppunkt. Det er derfor området mellom nullpunktene som er det aktuelle området.

Definisjonsmengden til A blir $D_{A} = 〈 0, 6 〉$ .

h) Bruk GeoGebra og tegn grafen til $A (x)$ . I samme koordinatsystem tegner du punktene fra oppgave b) dersom du har gjort den praktiske delen av oppgaven. Kommenter resultatet.

Løsning

Grafen til funksjonen A av x er lik 6 x minus x i andre er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 6. Grafen har et toppunkt med koordinatene 3 og 9, og grafen treffer x-aksen for x er lik 0 og x er lik 6. I tillegg går grafen gjennom punktet med koordinatene 1 og 5, punktet med koordinatene 2 og 8, punktet med koordinatene 4 og 8 og punktet med koordinatene 5 og 5. Illustrasjon.

Punktene fra oppgave b) skal ideelt sett ligge på grafen til A slik de gjør her.

i) Bruk grafen til A til å finne det maksimale arealet firkanten kan få.

Løsning

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finner vi at toppunktet på grafen er $(3, 9)$ . Se grafen i oppgave h). Det maksimale arealet firkanten kan få, er $9 m^{2}$ .

j) Hva blir verdimengden $V_{A}$ til funksjonen A?

Løsning

$V_{A} = ⟨ 0, 9]$

Oppgave 10

Per målte temperaturen ute hver fjerde time gjennom et døgn. Tabellen viser klokkeslett med tilhørende temperatur T.

Temperatur gjennom et døgn
Klokkeslett	14.00	18.00	22.00	02.00	06.00	10.00	14.00
Temperatur T i °C	2,5	0,3	-1,4	-2,0	-2,6	-2,1	-0,2

a) Bruk regresjon og finn den andregradsfunksjonen som passer best til punktene i tabellen. La x være antall timer etter klokka 14.

Løsning

Vi skriver punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finner at funksjonen T kan beskrives med uttrykket

$T (x) = 0, 0234 x^{2} - 0, 69 x + 2, 6$

b) Hvordan passer grafen med temperaturmålingene?

Løsning

Graf som viser temperaturen etter klokka 14. Grafen går igjennom noen av punktene fra oppgaven, men ikke alle. Ingen av punktene ligger langt fra grafen. Illustrasjon.

Grafen passer nokså bra med de observerte temperaturene.

c) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 30 timer etter at Per startet målingene?

Løsning

30 timer etter at målingen startet, det vil si klokka 18 neste dag, viser modellen en temperatur på cirka 3 C°.

d) Hva vil temperaturen ifølge modellen være 48 timer etter at Per startet målingene? Vurder hvor realistisk modellen er.

Løsning

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 står det T av 48. Svaret med tilnærming er 23,39. Skjermutklipp.

48 timer etter at målingen startet, viser modellen en temperatur på cirka 23 C°. Det virker usannsynlig når temperaturen på natta var under null.

Modellen er realistisk i det døgnet Per foretok målingene. Går vi utover denne tida, virker modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen bare fortsette å stige.

Oppgave 11

Analyser de fire andregradsfunksjonene nedenfor. Alle funksjonene har ubegrenset definisjonsmengde.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Løsning

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende den hule siden opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt.

Grafen skjærer andreaksen i 12 fordi konstantleddet $c = 12$ .

Resten tar vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12 definert. På linje 2 er det skrevet Ekstremalpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er koordinatene 7 halve og minus 1 fjerdedel. På linje 3 er det skrevet Nullpunkt parentes f parentes slutt. Svaret er x er lik 3 og x er lik 4. Skjermutklipp.

Bunnpunktet har koordinatene $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{4})$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{7}{2}$ .

Verdimengden blir $[- \frac{1}{4}, \to 〉$ .

Nullpunktene er 3 og 4.

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Løsning

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende den hule siden ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt.

Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet $c = 4$ .

Resten tar vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4 definert. På linje 2 er det skrevet Ekstremalpunkt parentes g parentes slutt. Svaret er koordinatene en halv og 9 halve. På linje 3 er det skrevet Nullpunkt parentes g parentes slutt. Svaret er x er lik minus 1 og x er lik 2. Skjermutklipp.

Toppunktet har koordinatene $(\frac{1}{2}, \frac{9}{2})$ .

Symmetrilinja er $x = \frac{1}{2}$ .

Verdimengden blir $〈 \leftarrow, \frac{9}{2}]$ .

Nullpunktene er $- 1$ og 2.

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Løsning

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a < 0$ , vil grafen vende den hule siden ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt.

Grafen skjærer andreaksen i $- 8$ fordi konstantleddet $c = - 8$ .

Resten tar vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen h av x er lik minus x i andre minus 8 definert. På linje 2 er det skrevet Ekstremalpunkt parentes h parentes slutt. Svaret er koordinatene 0 og minus 8. På linje 3 er det skrevet Nullpunkt parentes h parentes slutt. Svaret er x er ingen ting. Skjermutklipp.

Toppunktet har koordinatene $(0, - 8)$ , det samme som skjæringspunktet med andreaksen.

Symmetrilinja er $x = 0$ .

Verdimengden blir $⟨ \leftarrow, - 8]$ .

Grafen til h ligger under x-aksen. Funksjonen har derfor ingen nullpunkter.

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Løsning

Når $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og $a > 0$ , vil grafen vende den hule siden opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt.

Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet $c = 0$ .

Resten tar vi med CAS:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x definert. På linje 2 er det skrevet Ekstremalpunkt parentes i parentes slutt. Svaret er koordinatene minus 2 og minus 12. På linje 3 er det skrevet Nullpunkt parentes i parentes slutt. Svaret er x er lik minus 4 og x er lik 0. Skjermutklipp.

Toppunktet har koordinatene $(- 2, - 12)$ .

Symmetrilinja er $x = - 2$ .

Verdimengden blir $[- 12, \to 〉$ .

Nullpunktene er $- 4$ og 0.

Oppgave 12

Andreas kaster et spyd.

Grafen til funksjonen f gitt ved

$f (x) = - 0, 01 x^{2} + 0, 85 x + 2, 20$

beskriver høyden til spydet gjennom kastet.

Her er x meter målt langs bakken fra stedet der Andreas kaster spydet, og $f (x)$ meter er høyden spydet har over bakken.

a) Finn definisjonsmengden til funksjonen f.

Løsning

Vi må anta at kastet starter når $x = 0$ . Funksjonen er gyldig helt til spydet lander. Da er høyden lik 0. Vi må derfor finne nullpunktene til funksjonen. Det kan vi gjøre med CAS.

Skjermutklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen f av x er lik minus 0,01 x i andre pluss 0,85 x pluss 2,2 definert. På linje 2 er det skrevet f av x er lik 0. Svaret med Løs er x er lik parentes minus kvadratrota av 8105 pluss 85 parentes slutt delt på 2 eller parentes kvadratrota av 8105 pluss 85 parentes slutt delt på 2. På linje 3 er det skrevet dollartegn 2. Svaret med tilnærming er x er lik minus 2,51 eller x er lik 87,51. Skjermutklipp.

Den første løsningen angir en posisjon 2 og en halv meter bak Andreas, så den kan vi ikke bruke. Den andre løsningen gir at spydet lander 87,51 m fra Andreas. Definisjonsmengden for funksjonen blir derfor

$D_{f} = [0, 87.51]$

b) Tegn grafen til f.

Løsning

Vi tegner grafen i GeoGebra ved å skrive inn

f(x)=Funksjon(-0.01x^2+0.85x+2.20,0,87.15).