Fagstoff

Andregradsfunksjoner

Hva er kjennetegnene på en andregradsfunksjon?

Den generelle andregradsfunksjonen

I lineære funksjoner opptrer variabelen x bare i første potens. I en andregradsfunksjon har vi det vi kaller et andregradsledd, det vil si et ledd som inneholder $x^{2}$ . En andregradsfunksjon har ikke ledd med høyere potens av x enn 2.

Definisjon

En funksjon f som kan skrives på formen

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

der koeffisientene $a, b, c \in ℝ$ og $a \neq 0$ , kalles en andregradsfunksjon.

Koeffisientene a, b og c er forskjellige fra funksjon til funksjon. Dersom b er lik 0, faller førstegradsleddet bort, og hvis c er 0, faller konstantleddet bort. Ifølge definisjonen kan ikke a være 0 . Tenk over hvorfor det er slik.

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

Eksempler

Her er to eksempler på andregradsfunksjoner og grafene deres:

$f (x) = - x^{2} + 3 x + 4$ og $g (x) = x^{2} - 4 x + 2$

Kollasj med to bilder av koordinatsystemer. På venstre bilde er grafen til funksjonen f av x er lik minus x i andre pluss 3 x pluss 4 tegnet for x-verdier mellom minus 1,5 og 4,5. Toppunktet med koordinater 1,5 og 6,3 er markert. Nullpunktene med koordinater minus 1 og 0 og koordinatene 4 og 0 er markert. Skjæringspunktet med koordinatene 0 og 4 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinja gjennom toppunktet er tegnet inn. På høyre bilde er grafen til funksjonen g av x er lik x i andre minus 4 x pluss 2 tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 4,5. Bunnpunktet med koordinater 2 og minus 2 er markert. Nullpunktene med koordinater 0,6 og 0 og koordinatene 3,4 og 0 er markert. Skjæringspunktet med koordinatene 0 og 2 mellom grafen og y-aksen er markert. Den loddrette symmetrilinja gjennom bunnpunktet er tegnet inn. Skjermutklipp.

Det mest karakteristiske trekket ved parabler er at de har et toppunkt eller et bunnpunkt. Et toppunkt er det høyeste punktet på grafen i et lokalt område nær punktet, og et bunnpunkt er på tilsvarende måte det laveste punktet. Parabler har også ei symmetrilinje som er parallell med y-aksen, og som går gjennom topp- eller bunnpunktet.

Legg merke til at grafen har toppunkt når andregradsleddet er negativt, og bunnpunkt når andregradsleddet er positivt. I det første tilfellet sier vi at grafen er "sur", i det andre tilfellet at grafen "smiler". Vi sier også at når parabelen har et bunnpunkt, vender den hule siden opp, og når parabelen har et toppunkt, vender den hule siden ned.

I tillegg har begge funksjonene i figuren over to nullpunkter hver. For eksempel har f nullpunkter for $x = - 1$ og for $x = 4$ . Vi minner om at nullpunktene til en funksjon er de x-verdiene som gjør at funksjonsverdien blir 0, det vil si det samme som skjæringspunktene mellom grafen til funksjonen og x-aksen. Ikke alle andregradsfunksjoner har nullpunkter.

Definisjonsmengde og verdimengde

En andregradsfunksjon kan defineres for alle reelle tall. Siden alle andregradsfunksjoner har et ekstremalpunkt, vil verdimengden til funksjonene være begrenset. Vi må derfor finne ut om grafen til en andregradsfunksjon har et toppunkt eller et bunnpunkt, og y-koordinaten til dette punktet for å bestemme verdimengden.

Funksjonene f og g ovenfor er definert for alle verdier av x. Vi ser imidlertid av grafen at f bare kan få verdier som er mindre enn eller lik 6,25. Verdimengden til f er derfor alle tall som er mindre enn eller lik 6,25. Vi skriver

$D_{f} = ℝ, V_{f} = 〈 \leftarrow, 6.25]$

På samme måte ser vi at verdimengden til g er alle tall som enten er lik $- 2$ eller større enn $- 2$ . Da får vi tilsvarende

$D_{g} = ℝ, V_{g} = [- 2, \to 〉$

Analyse av andregradsfunksjoner

Vi har gitt funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3, D_{f} = ℝ$

🤔 Tenk over: Analyse betyr her å finne ut mest mulig om funksjonen og grafen til den. Hva kan være aktuelt å finne ut om en andregradsfunksjon?

Analyse av en andregradsfunksjon

Å analysere en andregradsfunksjon innebærer å

finne eventuelle nullpunkter
finne ut om grafen til funksjonen har et topp- eller bunnpunkt og finne koordinatene til dette ekstremalpunktet
finne verdimengden
finne symmetrilinja
finne hvor grafen skjærer y-aksen

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 0,5 og 4,5. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene 2 og minus 1 og 2 nullpunkter for x er lik 1 og for x er lik 3. Linja x er lik 2 er tegnet inn og går gjennom bunnpunktet. Illustrasjon.

Vi tegner grafen til funksjonen $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ i GeoGebra og får tegnet nullpunktene med verktøyet "Nullpunkt" eller kommandoen Nullpunkt(f) i algebrafeltet.

Dersom vi skriver Nullpunkt(f) i CAS, får vi " $\{x = 1, x = 3\}$ " til svar. Da tegnes det ikke noe i grafikkfeltet i GeoGebra. Dette er det samme som å løse likningen $f (x) = 0$ grafisk, det vil si likningen

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Vi kan derfor også skrive f(x)=0 i CAS og bruke verktøyet "Løs" eller skrive Løs(f(x)=0) for å finne nullpunktene.

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt. Vi får tegnet bunnpunktet med verktøyet "Ekstremalpunkt" eller kommandoen Ekstremalpunkt(f) i algebrafeltet. Dersom vi skriver Ekstremalpunkt(f) i CAS, får vi " $\{(2, - 1)\}$ " til svar uten at noe blir tegnet. Grafen har bunnpunkt $(2, - 1)$ .

Verdimengden til funksjonen blir derfor $V_{f} = [- 1, \to ⟩$ .

Ekstremalpunktet (her: bunnpunktet) har x-koordinat lik 2. Det betyr at linja $x = 2$ er symmetrilinja til grafen. Vi har tegnet den ved å skrive x=2 i algebrafeltet. Legg merke til at symmetrilinja ligger like langt fra hvert av parabelens nullpunkter.

Vi finner hvor grafen skjærer y-aksen ved å regne ut $f (0)$ .

$f (0) = 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3$

Grafen skjærer y-aksen for $y = 3$ . Legg merke til at vi kan finne skjæringspunktet ved å se på konstantleddet i funksjonen, akkurat som for førstegradsfunksjoner (rette linjer).

Praktisk eksempel: Preikestolen

Preikestolen er et fjellplatå i Rogaland som ligger cirka 600 meter over Lysefjorden. Fjellveggen fra Preikestolen ned til fjorden er nesten loddrett.

Tenk deg at du står på kanten av Preikestolen og kaster en stein på skrå opp i lufta med utgangsfart $25 m / s$ . På vei ned passerer steinen på utsiden av platået og havner i Lysefjorden.

Naturens lover forteller oss at høyden h til steinen er en funksjon av tida t og er tilnærmet gitt ved funksjonsuttrykket

$h (t) = 25 t - 5 t^{2}$

Her står t for tida i sekunder etter at steinen ble kastet.

Grafen til funksjonen h av t er lik 25 t minus 5 t i andre er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 600. Linja y er lik minus 600 er også tegnet inn. Det er tegnet inn 5 punkter på grafen til h. Disse er D med koordinatene 0 og 0, A med koordinatene 2,5 og 31,3, E med koordinatene 5 og 0, B med koordinatene 10 og minus 250 og C med koordinatene 13,7 og minus 600. Punktet C er også skjæringspunkt mellom grafen til h og den rette linja. Illustrasjon.

Høydefunksjonen er en andregradsfunksjon fordi variabelen $t$ er i andre potens.

Vi tegner grafen til funksjonen de første 20 sekundene ved å skrive h(t)=Funksjon(25t-5t^2, 0, 20) i algebrafeltet i GeoGebra.

Vi finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt(h) og får punktet $A (2.5, 31.3)$ . Det viser at steinen når sitt høyeste punkt, 31,3 meter over platået, etter 2,5 sekunder.

Vi finner punktet $B (10, - 250)$ ved å skrive (10,h(10)). Det viser at steinen passerer 250 meter under platået etter 10 sekunder.

Vi tegner linja $y = - 600$ og finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt" eller kommandoen Skjæring(h,g) (dersom linja har navnet g). Vi får skjæringspunktet $C (13.7, - 600)$ , som viser at steinen treffer Lysefjorden etter 13,7 sekunder.

Vi finner nullpunktene $D (0, 0)$ og $E (5, 0)$ med kommandoen Nullpunkt(h). Det viser at steinen forlater platået ved tida null og passerer platået på veien ned etter 5 sekunder.

🤔 Tenk over: Hva blir definisjonsmengden og verdimengden til funksjonen h?

Definisjonsmengde og verdimengde

Funksjonen kan ikke gjelde for negative t-verdier. Og etter at steinen treffer vannflata, bremses den opp. Vi får derfor at definisjonsmengden til h er

$D_{h} = [0, 13.7]$

Den største verdien h kan ha, er i toppunktet, der y-koordinaten er 2,5. Den laveste verdien er når steinen treffer vannflata, det vil si når $y = - 600$ . Verdimengden til h er derfor

$V_{h} = [- 600, 31.3]$

🤔 Tenk over: Er det mulig å analysere en andregradsfunksjon f uten å tegne grafen?

Analyse av en andregradsfunksjon uten å tegne grafen

Vi går gjennom lista fra lenger oppe på siden:

finne eventuelle nullpunkter: Vi kan løse likningen $f (x) = 0$ for å finne eventuelle nullpunkter.
finne ut om grafen til funksjonen har et topp- eller bunnpunkt og finne koordinatene til dette ekstremalpunktet: Vi kan skrive Ekstremalpunkt(f) for å finne ekstremalpunktet. Vi kan se av fortegnet på koeffisienten a i andregradsleddet om ekstremalpunktet er et toppunkt eller et bunnpunkt.
finne verdimengden: Når vi har funnet koordinatene til ekstremalpunktet og vet om det er et topp- eller bunnpunkt, vet vi også hva verdimengden til funksjonen er.
finne symmetrilinja: Ut ifra x-koordinaten til ekstremalpunktet har vi også likningen for symmetrilinja.

Ikke-lineære funksjoner

Den generelle andregradsfunksjonen

Definisjon

Eksempler

Definisjonsmengde og verdimengde

Analyse av andregradsfunksjoner

Praktisk eksempel: Preikestolen