Fagstoff

Eksponentiell vekst og eksponentialfunksjoner

Vekstfaktoren er viktig ved prosentvis endring i flere perioder. Når noe øker eller minker med en bestemt prosent over flere perioder, er veksten eksponentiell. Eksponentialfunksjoner er funksjoner som beskriver eksponentiell vekst.

Definisjon

En funksjon f på formen $f (x) = a \cdot b^{x}$ kalles en eksponentialfunksjon. Tallet b kalles vekstfaktoren. Eksponentialfunksjoner er bare definert for positive verdier av b.

Før du går videre, bør du gjøre oppgave 1 på oppgavesiden "Eksponentialfunksjoner".

Eksempler

Funksjonene g og h gitt nedenfor er eksempler på eksponentialfunksjoner.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 2, 5 \cdot 1, 5^{x} \\ D_{g} = [- 4, 6] \\ h (x) & = & 6, 5 \cdot 0, 8^{x} \\ D_{h} = [- 4, 6] \end{array}$

Nedenfor har vi tegnet grafene til g og h i samme koordinatsystem og funnet skjæringspunktene med y-aksen.

Koordinatsystem der grafene til g av x er lik 2,5 multiplisert med 1,5 opphøyd i x og h av x er lik 6,5 multiplisert med 0,8 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom minus 4 og 6. Grafen til g starter nesten nede ved x-aksen og stiger gradvis mer og mer. Grafen til h starter med en y-verdi lik 16 og synker hele veien og nærmer seg gradvis x-aksen. Skjæringspunktet mellom grafen til g og y-aksen har koordinatene 0 og 2,5, og skjæringspunktet mellom grafen til h og y-aksen har koordinatene 0 og 6,5. Illustrasjon.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi vite hvilken av grafene som er grafen til g?

Forklaring

Vi kan for eksempel se det av skjæringspunktene med y-aksen. Når vi setter $x = 0$ inn i funksjonen $f (x) = a \cdot b^{x}$ , får vi

$f (0) = a \cdot b^{0} = a \cdot 1 = a$

I funksjonen g er $a = 2, 5$ . Da må grafen til g være den grafen som ikke er stiplet.

Vi kan også finne ut hvilken graf som er grafen til g, ved å se på vekstfaktoren b. Grafen vil være stigende når $b > 1$ , og synkende når $b < 1$ .

Vekstfaktor og tallet b. Eksponentiell vekst

Det er en sammenheng mellom tallet b og vekstfaktoren ved prosentvis endring. Før du går videre, bør du gjøre oppgave 2.

🤔 Tenk over: Hva blir sammenhengen mellom tallet b og vekstfaktoren ved prosentvis endring ut fra det du fant ut i oppgave 2?

Sammenhengen mellom tallet b og vekstfaktoren

Tallet b er det samme som vekstfaktoren ved prosentvis vekst i flere omganger fordi eksponentialfunksjonen er på formen "ny verdi" = "gammel verdi" multiplisert med vekstfaktoren opphøyd i x, eller $a \cdot b^{x}$ skrevet matematisk.

Eksponentialfunksjonen $g (x) = 2, 5 \cdot 1, 5^{x}$ er det uttrykket vi får når vi skal finne ut hva tallet 2,5 vokser til dersom det stiger med 50 % x ganger. Husk at vekstfaktoren når noe øker med 50 %, er 1,5.

Tilsvarende er eksponentialfunksjonen $h (x) = 6, 5 \cdot 0, 8^{x}$ det uttrykket vi får når vi skal finne ut hva tallet 6,5 synker til dersom det synker med 20 % x ganger.

En eksponentialfunksjon beskriver derfor det vi kaller eksponentiell vekst. Prosentvis vekst over flere perioder er eksponentiell.

Analyse av eksponentialfunksjoner

I polynomfunksjoner er vi vant til å se etter nullpunkter og ekstremalpunkter. Dette finner vi ikke i en eksponentialfunksjon, men vi kan likevel analysere andre elementer ved funksjonen. Vi kan for eksempel bruke grafen til en eksponentialfunksjon til å finne ut når veksten har nådd en bestemt verdi. Vi skal se på noen eksempler.

Eksempel på positiv eksponentiell vekst: penger i banken

Tre myntstabler til venstre og to små figurer av menn i dress til høyre. Foto.

Vi ser nå på et eksempel der 10 000 kroner står i banken til en fast rente på 3 % per år i flere år.

🤔 Tenk over: 3 % rente betyr at beløpet, de pengene som står i banken, øker sin verdi med 3 % per år. Hva er vekstfaktoren for en økning på 3 %?

Vekstfaktor ved 3 % økning

Vekstfaktoren for 3 % økning er $103 % = 1,03$ . Beløpet vokser eksponentielt siden det vokser med en fast prosent (så lenge renta holder seg fast).

🤔 Tenk over: Hvor mye vokser beløpet til dersom det står ett år i banken?

Beløpet etter ett år i banken

Vi må multiplisere med vekstfaktoren. Svaret kan vi finne med for eksempel CAS, men kanskje du klarer det uten hjelpemidler?

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 = 10 300 kr \end{array}$

Beløpet vokser til 10 300 kroner etter ett år i banken.

Vi ønsker å finne ut hvor mye beløpet vokser til dersom det står 8 år i banken.

Vi så over at for å finne beløpet når pengene har stått i ett år, måtte vi multiplisere med vekstfaktoren:

$10 000 kr \cdot 1, 03$

For hvert år beløpet står, øker det med 3 prosent, noe som betyr at for hvert år må vi multiplisere med en ny vekstfaktor på 1,03. Etter 8 år er beløpet

$\begin{array}{l} 10 000 kr \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \cdot 1, 03 \\ = 10 000 kr \cdot 1, 03^{8} = 12 668 kr \end{array}$

I andre linje har vi skrevet regnestykket enklere ved å skrive de 8 vekstfaktorene som potensen $1, 03^{8}$ , 1,03 opphøyd i 8. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra til utregningen, ser det slik ut:

CAS-utregning i GeoGebra, ei linje. Det står 10000 multiplisert med 1,03 opphøyd i 8. Svaret med tilnærming er 12667,7. Skjermutklipp.

For å få denne utregningen skriver vi 10000·1.03^8 og trykker på knappen $\approx_{}^{}$ .

Beløpet etter x år kan vi finne ved å erstatte åttetallet over med x slik at vi får vekstfaktoren opphøyd i x. Da får vi uttrykket $10 000 \cdot 1, 03^{x}$ . Det innestående beløpet B etter x år kan derfor beskrives med funksjonen

$B (x) = 1 000 \cdot 1, 03^{x}$

som er en eksponentialfunksjon. Vi sier at beløpet vokser eksponentielt når det endrer seg prosentvis over flere perioder (her: år). Vi ser at grafen krummer oppover eller blir brattere etter hvert som tida går. Det er dette som er karakteristisk ved positiv eksponentiell vekst, noe vi også kom fram til lenger opp på siden. Jo større den prosentvise veksten er, jo raskere blir grafen bratt.

Vi tegner grafen til B.

Grafisk framstilling av pengebeholdingen på en bankkonto med 3 prosent rente som funksjon av tida målt i år. Funksjonsuttrykket er B av x er lik 10000 multiplisert med 1,03 opphøyd i x. Grafen er tegnet for x-verdier mellom 0 og 26, og den stiger mer og mer. Illustrasjon. — Eksponentiell vekst, penger i banken

Vi ønsker å finne ut hvor lang tid det tar før beløpet har doblet seg, det vil si hvor lang tid det tar før vi har 20 000 kroner i banken.

Grafisk løsning

Vi kan bruke grafen og GeoGebra til å finne ut hvor lang tid dette tar. Da skriver vi y=20000 i algebrafeltet og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til B med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Vi får av x-koordinaten til skjæringspunktet at det tar omtrent 23 og et halvt år før beløpet har doblet seg.

Løsning med CAS

Vi kan også finne ut ved regning hvor lang tid det tar før beløpet har doblet seg, ved å sette opp likningen

$\begin{array}{rcl} B (x) & = & 20 000 \\ 10 000 \cdot 1, 03^{x} & = & 20 000 \end{array}$

Likningen løser vi med CAS.

Skjermutklipp av CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 10000 multiplisert med 1,03 opphøyd i x er lik 20000. Svaret med "Løs" er x er lik et uttrykk som vi regner ut en tilnærmet verdi for, på neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er 23,45. Skjermutklipp.

Vi får regnet ut en tilnærmet verdi av uttrykket i linje 1 ved å trykke på verktøyknappen $\approx_{}^{}$ .

Eksempel på negativ eksponentiell vekst: verdifall på bil

Kvinne sitter i en bil og smiler mens hun holder bilnøkkelen opp mot kameraet. Foto.

Kari kjøper en fire år gammel bil for $200 000$ kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny. Kari regner med at verdien vil synke på samme måte de neste årene.

🤔 Tenk over: Hva blir vekstfaktoren for denne nedgangen?

Vekstfaktoren for 10 % nedgang

Vekstfaktoren er $(100 % - 10 %) = 90 % = 0, 9$ .

🤔 Tenk over: Hva er verdien på bilen om 3 år?

Bilens verdi om 3 år

Her gjør vi tilsvarende som i eksempelet med banksparing og multipliserer med vekstfaktoren opphøyd i antall ganger verdien skal endres, det vil si opphøyd i tredje.

Verdien på bilen om 3 år er

$200 000 kr \cdot 0, 90^{3} = 145 800 kr$

🤔 Tenk over: Hva er verdien på bilen om x år?

Bilens verdi om x år

Bilens verdi x år etter at Kari kjøpte den, er

$200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Bilens verdi $V (x)$ , x antall år etter at Kari kjøpte den, er derfor gitt ved eksponentialfunksjonen

$V (x) = 200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Kari ønsker å finne svar på disse spørsmålene:

Omtrent hvor mye kostet bilen som ny?
Hvor lang tid tar det før bilen er verdt halvparten av det hun ga for den?

Kari tegner grafen i GeoGebra. Siden bilen var ny for fire år siden, tegner hun grafen også for negative x-verdier.

🤔 Tenk over: Hvilken verdi har x da bilen var ny?

x-verdi da bilen var ny

$x = 0$ svarer til det tidspunktet Kari kjøpte bilen. 4 år før dette må tilsvare at $x = - 4$ .

Kari tegner punktet på grafen for $x = - 4$ ved å skrive (-4,V(-4)) i algebrafeltet. For å finne når bilen blir halvert i verdi i forhold til hvor mye hun ga for den, det vil si når bilen har verdien 100 000 kroner, tegner hun linja $y = 100 000$ og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til V.

Grafen til funksjonen V av x er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom minus 5 og 12. x-aksen har beskrivelsen x, år etter bilkjøp, og y-aksen har beskrivelsen y, verdi i kroner. Grafen er synkende. Linja y er lik 100000 er også tegnet inn. Skjæringspunktet mellom linja og grafen til V har koordinatene 6,58 og 100000. Et punkt på grafen til V har koordinatene minus 4 og 304831,58. Illustrasjon.

Av det første punktet får Kari at verdien på bilen som ny var omtrent 305 000 kroner. Av skjæringspunktet får Kari at bilen har halvert seg i verdi i forhold til hva hun betalte omtrent 6 og et halvt år etter at hun kjøpte den. Vi sier også at halveringstida for verdien på bilen er 6 og et halvt år.

Vi kan finne det samme med CAS.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er V av x satt lik 100000. Svaret med Løs er x er lik et uttrykk som vi finner tilnærmet verdi til på neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 6,597. På linje 3 er V av minus 4 regnet ut med tilnærming til 304831,581. Skjermutklipp.

Eksempel med ukjent vekstfaktor: verdifall på bil

Vi tenker oss at Kari i eksempelet over solgte bilen sin for 120 000 kroner 4 år etter at hun kjøpte den. Hun ønsker å finne ut hvor stort det gjennomsnittlige årlige verditapet i prosent var på disse årene.

Kari kjøpte bilen for 200 000 kroner. Så skal bilen gjennom det samme prosentvise verdifallet 4 ganger, og resultatet skal bli en verdi på 120 000 kroner. Det betyr at kjøpesummen må multipliseres 4 ganger med en ukjent vekstfaktor x, og resultatet skal bli 120 000. Dette gir oss likningen

$200 000 \cdot x^{4} = 120 000$

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet 200000 multiplisert med x i fjerde er lik 120000. Svaret med Løs er x er lik to uttrykk som vi får regnet ut tilnærmede verdier for i neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 0,88 eller x er lik 0,88. Skjermutklipp.

Vi løser likningen med CAS og får at vekstfaktoren blir 0,88. Det årlige prosentvise verditapet på bilen ble derfor

$1 - 0, 88 = 0, 12 = 12 %$

Tapet ble derfor litt større enn det Kari regnet med i det forrige eksempelet. Bilen sank prosentvis litt mindre i verdi de første fire årene enn i de fire årene Kari eide bilen.

Ikke-lineære funksjoner