Fag

Emne

Ikke-lineære funksjoner

Fagstoff

Interaktivt innhold

Video

Potensfunksjoner

Her skal vi undersøke hva en potensfunksjon er, og hvordan den henger sammen med eksponentiell vekst.

Potensfunksjoner

En funksjon f gitt ved $f (x) = a \cdot x^{b}$ hvor $x > 0$ og a og b er konstante tall, kalles en potensfunksjon.

Legg merke til at når b er et ikke-negativt helt tall, er potensfunksjonen også en polynomfunksjon, som for eksempel $2 x, 3 x^{2}$ og så videre.

Når b er et negativt helt tall, er potensfunksjonen en rasjonal funksjon, som for eksempel $x^{- 4} = \frac{1}{x^{4}}, 2 x^{- 1} = \frac{2}{x}$ og så videre.

Nedenfor har vi tegnet grafene til noen funksjoner gitt på formen $2 x^{b}$ . I tillegg kan du dra i glideren for å se hvordan funksjonen ser ut for andre verdier av b.

🤔 Tenk over: Hvorfor går alle grafene gjennom punktet $(1, 2)$ ?

Forklaring

Alle funksjonene er på formen $p (x) = 2 x^{b}$ . Vi regner ut $p (1)$ :

$p (1) = 2 \cdot 1^{b} = 2 \cdot 1 = 2$

Uansett hva vi opphøyer 1 i, blir svaret 1.

🤔 Tenk over: Hvordan ser grafen ut når $b = 1$ i den generelle potensfunksjonen $f (x) = a \cdot x^{b}$ ?

Når b = 1

Setter vi $b = 1$ i den generelle potensfunksjonen, får vi

$f (x) = a x^{b} = a x^{1} = a x$

Vi får en førstegradsfunksjon med stigningstallet a.

Grafene endrer hovedform etter om $b \in ⟨ \leftarrow, 0 ⟩$ , $b \in ⟨ 0, 1 ⟩$ eller $b \in ⟨ 1, \to ⟩$ .

Legg merke til at grafen til en potensfunksjon f gitt ved $f (x) = a \cdot x^{b}$ alltid går gjennom punktet $(1, a)$ fordi $f (1) = a \cdot 1^{b} = a$ .

Eksempel: Banksparing

Live arver 300 000 kroner. Hun vil spare pengene.

Den lokale banken tilbyr ei årlig rente på 3 % per år. Dette svarer til en vekstfaktor på 1,03. Live regner det som sannsynlig at hun vil få bruk for pengene om 10 år. Hvor mye vil beløpet ha vokst til, etter 10 år?

$300 000 \cdot 1, 03^{10} = 403 175$

Beløpet vil ha vokst til cirka 403 175 kroner.

🤔 Tenk over: Hva kalles slik vekst som dette?

Løsning

Dette er eksponentiell vekst.

Live vet at det finnes alternativer til banksparing, og hun vil undersøke hva beløpet kan vokse til etter 10 år, hvis renta er høyere enn 3 %. Hun lager seg derfor en funksjon B ut ifra regnestykket over der vekstfaktoren er den ukjente variabelen x. Funksjonen blir

$B (x) = 300 000 \cdot x^{10}$

Legg merke til at selv om vi har tatt utgangspunkt i uttrykket for eksponentiell vekst, er funksjonen B en potensfunksjon fordi den frie variabelen x er grunntallet i en potens med konstant eksponent.

🤔 Tenk over: Funksjonen B kan også klassifiseres som en annen type funksjon. Hvilken?

Forklaring

Siden vi bare har den ukjente opphøyd i det positive hele tallet 10, kan vi også si at funksjonen B er en polynomfunksjon av grad 10.

Live antar at den største mulige renta eller avkastningen hun kan få, er 12 %.

🤔 Tenk over: Hva blir definisjonsmengden til funksjonen B da?

Definisjonsmengden til B

Siden grensene for renta er 3 % og 12 %, blir grensene for vekstfaktoren 1,03 og 1,12. Definisjonsmengden blir $D_{B} = [1.03, 1.12]$ .

Live tegner grafen til B.

Grafen til funksjonen B av x er lik 300000 multiplisert med x opphøyd i 10 er tegnet for x-verdier mellom 1,03 og 1,12. Grafen er stigende og stiger raskere og raskere. Tre punkter på grafen er markert. Punktene har koordinatene 1,03 og 403000, 1,08 og 648000 og til slutt 1,11 og 852000. Illustrasjon.

Av grafen kan hun se at ved ei årlig rente på 3 % vil beløpet vokse til cirka 403 000 kroner etter 10 år. Hvis renta er på 8 % per år, vil beløpet vokse til cirka 648 000 kroner, og hvis hun kan få ei rente på 11 % per år, altså at vekstfaktoren er 1,11, vil hun sitte igjen med cirka 852 000 etter 10 år.

🤔 Tenk over: Hva er det største beløpet Live kan sitte igjen med etter 10 år?

Største mulige beløp

Det største mulige beløpet får vi når renta er 12 %. Da må vi finne $B (1, 12)$ , som vi kan regne ut med

$B (12) = 300 000 \cdot 1, 12^{10} = 931 754$

På det meste kan Live forvente å sitte igjen med 932 000 kroner.

Eksempel: Svingende pendel

Når en pendel svinger, er svingetida, det vil si den tida det tar fra pendelen slippes til den kommer tilbake til utgangspunktet, avhengig av lengden på snora som pendelkula henger i.

Fra naturfag kjenner du kanskje formelen for svingetida T målt i sekunder som funksjon av snorlengden x målt i meter?

$T (x) = 2, 0 \cdot \sqrt{x}$

En annen måte å skrive $\sqrt{x}$ på er $x^{\frac{1}{2}}$ . Vi forklarer ikke denne sammenhengen her, men nøyer oss med å si at en kvadratrotfunksjon også er en potensfunksjon. Det betyr at funksjonen $T (x)$ også kan skrives som

Grafen til T av x er lik 2,0 multiplisert med x opphøyd i 0,5 er tegnet for x-verdier mellom 0 og 2,5. Grafen er stigende, men stiger mindre og mindre etter som x øker. Illustrasjon.

$T (x) = 2, 0 \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Svingetida til en pendel er altså en potensfunksjon av snorlengden. På bildet har vi tegnet grafen til funksjonen T.

Vi kan for eksempel bruke funksjonen til å finne ut hvor lang pendelen skal være for at svingetida skal være ett sekund. Med CAS kan det se slik ut:

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er T av x definert som 2 x opphøyd i en halv. På linje 2 er T av x satt lik 1. Svaret med Løs er x er lik 1 fjerdedel. Skjermutklipp.

Svingetida til pendelen er 1 s når snorlengden er 25 cm.

Video om eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0