Oppgave

Interaktivt innhold

Eksponentiell vekst og eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen er en av matematikkens mest brukte funksjoner. Funksjonsuttrykket inneholder en potens med x i eksponenten. Oppgavene nedenfor viser kjente situasjoner der vi bruker eksponentialfunksjoner. Bruk et hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra, når du skal løse oppgavene.

Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

I denne oppgaven skal du utforske eksponentialfunksjoner ved hjelp av GeoGebra.

a) Begynn i et tomt GeoGebra-ark og skriv inn funksjonen $f (x) = a \cdot b^{x}$ .

Kommentarer til oppgaven

Skriv f(x)=a*b^x i algebrafeltet. Legg merke til at det automatisk blir opprettet to glidere for a og b. Sett $b = 2$ .

Dersom du ikke får opp gliderne automatisk, kan du lage dem først ved å skrive a=1 og trykke linjeskift, deretter b=2 og linjeskift. Så kan du skrive f(x)=a*b^x.

b) Hva skjer når du endrer på a? Dra i glideren for a og observer hva som skjer.

Tips til oppgaven

Skriv inn punktet $(0, f (0))$ i algebrafeltet og se hvordan punktet flytter seg når a endres.

Løsning

Når du endrer på a, flyttes punktet (se i tipsboksen) opp og ned. Jo større a er, jo raskere stiger grafen når $x > 0$ . Vi kan også observere at grafen skjærer y-aksen for $y = a$ .

c) Beskriv formen på grafen ved ulike verdier av vekstfaktoren b.

Løsning

$b < 0$ : Grafen forsvinner. Hvorfor?
$b = 0$ : Grafen ligger på den positive delen av x-aksen og er ikke en eksponentialfunksjon.
$0 < b < 1$ : Grafen er synkende ned mot x-aksen når x øker.
$b = 1$ : Grafen blir den vannrette linja $y = a$ .
$b > 1$ : Grafen er stigende. Grafen nærmer seg x-aksen når x går mot minus uendelig.

Oppgave 2

Bruk funksjonen og GeoGebra-arket i oppgave 1.

a) Sett $a = 1$ og $b = 1, 2$ . Hva blir vekstfaktoren for endringen i funksjonsverdien når x øker fra $x = 0$ til $x = 1$ ?

Tips til oppgaven

Skriv inn punktet $(1, f (1))$ eller bare $f (1)$ for å finne funksjonsverdien når $x = 1$ .

Løsning

Vi får at funksjonsverdien øker fra 1 til 1,2 når x øker fra 0 til 1. Vekstfaktoren for denne økningen er

$\frac{1, 2}{1} = 1, 2$

Vi får at vekstfaktoren for endringen i funksjonsverdi er det samme som tallet b.

b) Sett $a = 2$ og $b = 1, 3$ . Hva blir vekstfaktoren for endringen i funksjonsverdien når x øker fra $x = 0$ til $x = 1$ nå?

Løsning

Vi får at funksjonsverdien øker fra 2 til 2,6 når x øker fra 0 til 1. Vekstfaktoren for denne økningen er

$\frac{2, 6}{2} = 1, 3$

Vi får igjen at vekstfaktoren for endringen i funksjonsverdi er det samme som tallet b.

c) Sett $a = 2$ og $b = 0, 8$ . Hva blir vekstfaktoren for endringen i funksjonsverdien når x øker fra $x = 0$ til $x = 1$ nå?

Løsning

Vi ser av grafen at funksjonsverdien faller fra 2 til 1,6.

Vekstfaktoren for denne reduksjonen er

$\frac{1, 6}{2} = 0, 8$

Vi får som før at vekstfaktoren er det samme som tallet b.

Det er derfor tallet b kalles vekstfaktoren. Funksjonsuttrykket til en eksponentialfunksjon er det samme som vi får når vi setter opp et uttrykk for hva noe vokser/synker til når det endres med en viss prosent over x like perioder.

Oppgave 3

Eksponentialfunksjonene f, g og h er gitt ved

$f (x) = 3 \cdot 0, 6^{x}$

$g (x) = 3 \cdot 1, 2^{x}$

$h (x) = 3 \cdot 2, 1^{x}$

a) Tegn grafene til de tre funksjonene i det samme koordinatsystemet.

Løsning

Tre grafer tegnet i det samme koordinatsystemet med x-verdier fra minus 5 til 6. Grafen f av x er lik 3 multiplisert med 0,6 opphøyd i x er tegnet med blå farge. Grafen er synkende. Grafen h av x er lik 3 multiplisert 2,1 opphøyd i x er tegnet med grønn farge. Grafen er stigende. Grafen g av x er lik 3 multiplisert med 1,2 opphøyd i x er tegnet med rød farge. Denne grafen er også stigende. Alle grafene skjærer y-aksen for y er lik 3. Illustrasjon. — Grafene til f, g og h tegnet i det samme koordinatsystemet

b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hva er grunnen til det?

Løsning

Når $x = 0$ , vil vekstfaktoren opphøyd i 0 bli 1, og funksjonsverdien blir lik tallet a foran potensen i funksjonene. Grafene vil derfor skjære andreaksen for $y = 3$ siden tallet a er 3 for alle funksjonene.

c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen?

Løsning

Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige. (Husk at vi alltid ser i den retningen der x øker.)

Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen synke.

Oppgave 4

Beskrivelse av simuleringen

Simuleringen nedenfor viser hvor raskt det tenkte radioaktive grunnstoffet lurium blir omdannet. Ved tidspunktet $t = 0$ dager har vi 240 atomer lurium, eller 100 %. For hver gang du trykker på knappen, går det ett døgn, og simuleringen viser hvor mye lurium som er igjen.

Last ned simuleringen her hvis den ikke vises(GGB)

Oppgaver til simuleringen

a) Hvor lang tid er det omtrent til luriummengden er halvert (halveringstida)? Prøv å svare med én desimal.

Tips til oppgaven

Kjør simuleringen til du har fått minst ett punkt nedenfor linja som svarer til 50 %. Prøv å anslå omtrent hvor en tenkt graf mellom punktene vil krysse denne linja. Du vil mest sannsynlig få ei halveringstid på et sted mellom 4 og 5 døgn.

b) Omtrent hvor mange prosent av luriumet er det igjen etter 12 døgn?

Tips til oppgaven

Kjør simuleringen i 12 dager og bruk det siste punktet til å lese av hvor mange prosent lurium det er igjen.

c) Hva blir den tilnærmede, gjennomsnittlige prosentvise reduksjonen av lurium per døgn ut ifra svaret på det forrige spørsmålet?

Løsning

Vi antar nå at du fikk at det var igjen 13 % lurium etter 12 døgn. Det betyr at vekstfaktoren for den totale reduksjonen er 0,13. Dersom du fikk en annen prosent, bruker du den.

Vi tenker oss at vi har den samme prosentvise reduksjonen av lurium fra dag til dag, og vi setter vekstfaktoren for endringen fra dag til dag lik x. For hver dag som går, må vi derfor multiplisere restmengden av lurium med x. Etter 12 dager skal produktet av alle vekstfaktorene for én dag bli lik den totale vekstfaktoren etter 12 dager, 0,13. Dette gir oss likningen

$x^{12} = 0, 13$

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet x i tolvte er lik 0,13. Svaret med Løs er x er lik to rotuttrykk som vi finner et tilnærmet uttrykk for på neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 0,84 eller x er lik 0,84. Skjermutklipp.

Vekstfaktoren blir 0,84, eller 84 %, som betyr at luriummengden blir redusert med 16 % fra dag til dag i gjennomsnitt.

d) Bruk svaret i det forrige spørsmålet til å lage en eksponentialfunksjon som viser restmengden av lurium i prosent som funksjon av antall døgn.

Løsning

Funksjonen for restmengden må være lik den opprinnelige luriummengden multiplisert med vekstfaktoren opphøyd i antall døgn. Dersom vi kaller restmengden i prosent for r og antall døgn for t, får vi med våre tall

$r (t) = 100 \cdot 0, 84^{t}$

e) Bruk funksjonen til å regne ut halveringstida til lurium.

Løsning

Vi ønsker å finne ut når funksjonen r har blitt halvert, det vil si når den har verdien 50. Dette gir oss likningen $r (t) = 50$ , som vi løser med CAS.

På linje 3 i CAS-vinduet i GeoGebra er funksjonen r av t er lik 100 multiplisert med 0,84 opphøyd i t definert. På linje 4 er r av t satt lik 50. Svaret med Løs er t er lik et uttrykk som vi regner ut tilnærmet verdi for på neste linje. På linje 5 er det skrevet dollartegn 4. Svaret med tilnærming er t er lik 3,98. Skjermutklipp.

Med våre tall tar det omtrent 4 døgn før luriummengden er halvert.

Oppgave 5

Miriam kjøpte en skuter for 10 000 kroner i begynnelsen av 2020. Vi regner med at verdien synker med 15 % per år.

a) Lag et funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser hvor mye skuteren er verdt etter x år.

Løsning

Vekstfaktoren ved 15 % nedgang er

$100 % - 15 % = 85 % = 0, 85$

Funksjonsuttrykket blir

$S (x) = 10 000 \cdot 0, 85^{x}$

b) Tegn grafen til S. Velg $x$ mellom 0 og 8.

Løsning

Vi tegner grafen ved å skrive S(x)=Funksjon(10000*0.85^x,0,8) i algebrafeltet i GeoGebra.

Grafen til funksjonen S av x er lik 10000 multiplisert med 0,85 opphøyd i x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 8. Grafen er synkende. Illustrasjon.

c) Finn grafisk skuterens verdi når den er tre år gammel.

Løsning

Vi skriver inn punktet $(3, S (3))$ , se punkt A på grafen.

Skuterens verdi etter tre år er 6 141 kroner.

d) Finn grafisk når skuterens verdi er 3 000 kroner.

Løsning

Vi tegner linja $y = 3 000$ . Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til S med verktøyet "Skjæring mellom to objekt", se punkt B på grafen.

Grafen til funksjonen S av x er lik 10000 multiplisert med 0,85 opphøyd i x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 8. Linja y er lik 3000 er også tegnet, og skjæringspunktet B mellom linja og grafen til S er markert og har koordinatene 7,41 og 3000. Punktet A med koordinatene 3 og 6141,25 på grafen til S er også tegnet. Illustrasjon. — Graf som viser hvordan verdien på en skuter faller

Det tar nesten 7,5 år før skuterens verdi er 3 000 kroner.

e) 5 år etter at Miriam kjøpte skuteren, solgte hun den for 4 000 kroner. Hva var det gjennomsnittlige årlige verditapet i prosent?

Løsning

Her kan vi ikke bruke grafen til å løse oppgaven fordi vi ikke vet det årlige prosentvise verditapet, og vi kan derfor ikke lage en funksjon. Vi setter den ukjente vekstfaktoren for det årlige prosentvise verditapet lik x. Et uttrykk for verdien til skuteren etter 5 år er da

$10 000 \cdot x^{5}$

Verdien skal være lik 4 000 kroner, som skuteren ble solgt for. Dette gir oss en likning som vi løser med CAS.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er 10000 multiplisert med x i femte satt lik 4000. Svaret med NLøs er x er lik 0,833. På linje 2 er 1 minus p delt på 100 satt lik 0,833. Svaret med NLøs er p er lik 16,7. Skjermutklipp.

Det årlige prosentvise verditapet ble 16,7 %.

f) Hva måtte Miriam ha solgt skuteren for dersom det årlige prosentvise verditapet skulle bli 15 %, som var det opprinnelige utgangspunktet i oppgaven?

Løsning

Nå kan vi bruke den opprinnelige funksjonen og regne ut $S (5)$ . Vi kan gjøre dette grafisk, men vi velger å gjøre det med CAS.

På linje 3 i CAS-vinduet i GeoGebra er S av 5 regnet ut med tilnærming til 4437,053. Skjermutklipp.

Oppgave 6

Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved

$T (x) = 3 \cdot 1, 15^{x}$

der x er antall timer etter strømbruddet.

a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet?

Løsning

Når strømbruddet skjer, er $x = 0$ . Vi setter inn i 0 uttrykket og får $T (0) = 3 \cdot 1, 15^{0} = 3 \cdot 1 = 3$ . Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet var 3 grader celsius.

b) Hva var temperaturen i kjøleskapet fem timer etter strømbruddet?

Løsning

Fem timer etter strømbruddet er $x = 5$ . Vi får $T (5) = 3 \cdot 1, 15^{5} \approx 6, 03$ . Fem timer etter strømbruddet er temperaturen i kjøleskapet 6 grader celsius.

c) Tegn grafen til T. La x variere mellom 0 og 18.

Løsning

Grafen til T av x er lik 3 multiplisert med 1,15 opphøyd i x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 18. Grafen stiger, og stigningen er økende. Langs x-aksen står det x, timer etter strømbrudd, og langs y-aksen står det y, temperatur i grader celsius. Skjermutklipp.

d) Hvor lang tid går det før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader etter modellen T?

Løsning

Vi tegner linja $y = 10$ . Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til T med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Det tar omtrent 8,6 timer før det er 10 grader i kjøleskapet.

e) Hva betyr tallet 1,15 i funksjonen $T (x)$ ?

Løsning

Siden $T (x)$ er en eksponentialfunksjon, kan vi se på tallet 1,15 som en vekstfaktor. 1,15 er vekstfaktoren ved 15 % stigning, så etter modellen stiger temperaturen med 15 % for hver time.

f) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (i mer enn ett døgn)? Begrunn svaret ditt.

Løsning

Vi kan sette x lik for eksempel 24 og 30 timer, og vi finner temperaturen i kjøleskapet:

$T (24) = 31, 63$

$T (30) = 69, 21$

Ut fra denne modellen vil temperaturen stige sterkt etter ett døgn, noe som er lite sannsynlig. Modellen viser at det etter 30 timer vil være nesten 70 grader i kjøleskapet. Vi forventer at temperaturen i kjøleskapet tilpasser seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk dersom strømbruddet varer over en lengre periode.

g) Lag en mer troverdig skisse på papir av hvordan du tror temperaturen i kjøleskapet vil utvikle seg.

Løsning

Det er mest sannsynlig at temperaturen stiger mest i starten. Når temperaturen nærmer seg romtemperatur, vil stigningen avta. En mulig graf for temperaturutviklingen er tegnet nedenfor.

Grafen til en ukjent funksjon er tegnet for x-verdier mellom 0 og 13. Grafen er stigende hele veien, men den stiger mindre og mindre etter hvert som x blir større og større. Illustrasjon. — Grafen til T(x)

Oppgave 7

Covid-19 er en smittsom sykdom forårsaket av koronaviruset. En liten by, Alubia, brukte en modell lagd av anerkjente forskere for å beregne antall smittede per dag.

a) 9. februar 2021 var vekstfaktoren for smitte 1,22. Hva betyr det for utvikling av koronaviruset i Alubia?

Løsning

Spredningen av koronaviruset økte med 22 % per dag etter 9. februar.

b) Gå ut ifra at det allerede var 371 smittede før 9. februar. Lag et funksjonsuttrykk, $A (x)$ , som viser antall smittede i Alubia x dager etter 9. februar.

Løsning

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{x}$

c) Hvor mange smittede var det i Alubia på valentinsdagen 14. februar?

Løsning

$A (x) = 371 \cdot 1, 22^{5} \approx 1 002, 7$

Det var 1 003 smittede i Alubia på valentinsdagen.

d) I nabobyen, Tiblix, hadde de 735 smittede 9. februar. Beregninger viste at antall smittede økte med 8 % for hver dag. Lag et funksjonsuttrykk, $T (x)$ , som viser antall smittede i Tiblix x dager etter 9. februar.

Løsning

Vekstfaktoren for 8 % økning er 1,08. Funksjonsuttrykket blir

$T (x) = 735 \cdot 1, 08^{x}$

e) Tegn grafene $A (x)$ og $T (x)$ i det samme koordinatsystemet.

Løsning

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 10 og y-aksen går fra 0 til 2000. Langs x-aksen står det dager etter 9. februar. Langs y-aksen står det antall smittede. En rød graf, A av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøyd i x, er stigende, og den skjærer y-aksen i 371. En blå graf, T av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøyd i x, er også stigende, og den skjærer y-aksen i 735. Grafene krysser hverandre på omtrent x er lik 5,5. Illustrasjon. — Grafene til A(x) og T(x)

f) Selv om Tiblix hadde nesten dobbelt så mange smittede som Alubia, ble situasjonen omvendt etter noen dager. Når ble det flere smittede i Alubia enn i Tiblix?

Løsning

Vi velger verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og får punktet (5.61, 1 131.77). Seks hele dager etter 9. februar var det altså flere smittede i Alubia enn i Tiblix.

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen går fra 0 til 2500. Langs x-aksen står det dager etter 9. februar. Langs y-aksen står det antall smittede. En rød graf, A av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøyd i x, er stigende, og den skjærer y-aksen i 371. En blå graf, T av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøyd i x, er også stigende, og den skjærer y-aksen i 735. Grafene krysser hverandre i punktet der x er lik 5,61 og y er lik 1131,77. Illustrasjon. — Grafene til A(x) og T(x)

g) Hvor mange smittede var det i byene Alubia og Tiblix 18. februar 2021? Løs oppgaven grafisk.

Løsning

18. februar er ni dager etter 9. februar. Vi skriver inn linja $x = 9$ og velger verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne punktene der linja skjærer grafene. Vi leser av verdien på skjæringspunktene. 18. februar var det 2 221 smittede i Alubia og 1 469 smittede i Tiblix.

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen går fra 0 til 3000. Langs x-aksen står det dager etter 9. februar. Langs y-aksen står det antall smittede. En blå graf, A av x er lik 371 multiplisert med 1,22 opphøyd i x, er stigende, og den skjærer y-aksen i 371. En rød graf, T av x er lik 735 multiplisert med 1,08 opphøyd i x, er også stigende, og den skjærer y-aksen i 735. Ei rett linje er tegnet inn for x er lik 9. Linja skjærer den røde grafen i punktet der x er lik 9 og y er lik 1469,3. Linja skjærer den blå grafen i punktet der x er lik 9 og y er lik 2221,3. Illustrasjon. — Grafene til A(x) og T(x)

Oppgave 8

Salim får 15 000 kroner i gave fra bestefar. Han setter pengene i banken og får ei årlig rente på 5,3 %.

a) Lag et funksjonsuttrykk, $S (x)$ , som viser hvor mye penger Salim har i banken etter x år.

Løsning

Vekstfaktoren for 5,3 % økning er 1,053. Funksjonsuttrykket blir

$S (x) = 15 000 \cdot 1, 053^{x}$

b) Vennen til Salim, Isak, satte 17 000 kroner i banken samtidig med Salim. Isak brukte en annen bank og fikk ei årlig rente på 2,7 %. Lag et funksjonsuttrykk, $I (x)$ , som viser hvor mye penger Isak har på sin bankkonto etter x år.

Løsning

Vekstfaktoren for 2,7 % økning er 1,027. Funksjonsuttrykket blir

$I (x) = 17 000 \cdot 1, 027^{x}$

c) Tegn grafene til $S (x)$ og $I (x)$ i det samme koordinatsystemet.

Løsning

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen går fra 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskudd. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. En blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøyd i x, er stigende. En rød graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøyd i x, er også stigende. Illustrasjon. — Grafene til I(x) og S(x)

d) Etter hvor mange år har Salim for første gang mer penger på sin bankkonto enn Isak?

Løsning

Vi bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne punktet der grafene skjærer hverandre. Punktet viser at etter litt over fem år vil Salim ha mer penger på kontoen enn Isak.

Grafisk løsning:

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 30 og y-aksen går fra 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskudd. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. En blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøyd i x, er stigende. En rød graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøyd i x, er også stigende. Grafene krysser hverandre i punktet der x er lik 5 og y er lik 19425,6. Illustrasjon. — Grafene til S(x) og I(x)

e) Etter hvor mange år vil Salim for første gang ha over 30 000 kroner på bankkontoen sin?

Løsning

Vi løser oppgaven grafisk. Vi lager ei horisontal linje ved å skrive $y = 30 000$ inn i algebrafeltet. Vi bruker igjen verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til S.

To grafer i et koordinatsystem der x-aksen går fra 0 til 18 og y-aksen går fra 0 til 35000. Langs x-aksen står det x, år etter innskudd. Langs y-aksen står det y, kroner på bankkonto. En blå graf, S av x er lik 15000 multiplisert med 1,053 opphøyd i x, er stigende. En rød graf, I av x er lik 17000 multiplisert med 1,027 opphøyd i x, er også stigende. Det er tegnet ei rett linje y er lik 30000. Denne linja krysser grafen S av x i punktet der x er lik 13,4 og y er lik 30000. Illustrasjon. — Grafene til S(x) og I(x)

Etter 14 år vil Salim for første gang ha over 30 000 kroner på kontoen sin.

f) Da Salim sjekket kontoen etter 10 år, hadde pengene vokst til 23 102,50 kroner. Renta hadde ikke vært fast på 5,3 % disse årene. Hvor stor hadde den årlige rentesatsen vært i gjennomsnitt?

Løsning

Vi kan ikke bruke funksjonen S til dette siden vi ikke vet renta og dermed ikke vekstfaktoren. Men vi kan sette opp et uttrykk for hvor mye penger det er på kontoen etter 10 år, ved å sette den ukjente vekstfaktoren til x. Uttrykket blir

$15 000 \cdot x^{10}$

Dette uttrykket skal bli lik 23 102,50 kroner, og vi får en likning som vi løser med CAS.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er 15000 multiplisert med x i tiende satt lik 23102,5. Svaret med NLøs er x er lik minus 1,044 eller x er lik 1,044. På linje 2 er 1 pluss p delt på 100 satt lik 1,044. Svaret med NLøs er p er lik 4,4. Skjermutklipp.

Den gjennomsnittlige årlige rentesatsen var 4,4 %.

Oppgave 9

a) Eksponentialfunksjonen f er gitt som

$f (x) = a \cdot 2^{x}$

Bestem uten hjelpemidler a slik at funksjonen får verdien 160 når $x = 4$ .

Løsning

Oppgaven ber oss om å løse likningen

$f (4) = 160$

Dette gir oss

$\begin{array}{rcl} a \cdot 2^{4} & = & 160 \\ a \cdot 16 & = & 160 \\ a & = & \frac{160}{16} \\ = & 10 \end{array}$

b) Eksponentialfunksjonen g er gitt som

$g (x) = 20 \cdot b^{x}$

Bestem uten hjelpemidler b slik at funksjonen får verdien 540 når $x = 3$ .

Løsning

Oppgaven ber oss om å løse likningen

$g (3) = 540$

Dette gir oss

$\begin{array}{rcl} 20 \cdot b^{3} & = & 540 \\ b^{3} & = & \frac{540}{20} \\ = & 27 \\ b & = & \sqrt[3]{27} \\ = & 3 \end{array}$

Oppgave 10

Antall bakterier i en bakteriekultur øker med 20 % for hver time. I starten var det 1 000 bakterier.

a) Lag en funksjon B som viser hvor mange bakterier det er i bakteriekulturen etter t timer.

Løsning

Vekstfaktoren for 20 % økning er 120 %, eller 1,2. Siden det var 1 000 bakterier i starten, blir funksjonen

$B (t) = 1 000 \cdot 1, 2^{t}$

b) Hvor lang tid tar det før antallet bakterier har doblet seg?

Løsning

Vi må finne ut når funksjonen B har verdien 2 000. Det gir oss likningen

$B (t) = 2 000$ , som vi kan løse med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vinduet i GeoGebra er B av t definert som 1000 multiplisert med 1,2 opphøyd i t. På linje 2 er B av t satt lik 2000. Svaret med Løs er t er lik et uttrykk som vi regner ut tilnærmet verdi til på neste linje. På linje 3 er det skrevet dollartegn 2. Svaret med tilnærming er t er lik 3,8. Skjermutklipp.

Det tar 3,8 timer før antallet bakterier har doblet seg.

Oppgaven kan også løses grafisk ved å tegne grafen til funksjonen B, tegne linja $y = 2 000$ og finne skjæringspunktet mellom grafen og linja.

c) Hvor lang tid tar det før antallet bakterier fordobler seg igjen? Hva tyder dette svaret på?

Løsning

Vi kan finne ut når funksjonen B har verdien 4 000. Det gir oss likningen

$B (t) = 4 000$ , som vi kan løse med CAS i GeoGebra.

På linje 4 i CAS-vinduet i GeoGebra er B av t satt lik 4000. Svaret med Løs er t er lik et uttrykk som vi regner ut tilnærmet verdi til på neste linje. På linje 5 er det skrevet dollartegn 4. Svaret med tilnærming er t er lik 7,6. Skjermutklipp.

Vi får at det tar dobbelt så lang tid å doble antallet bakterier to ganger som én gang. Det betyr at den andre doblingen også tar 3,8 timer. Det kan se ut som at uansett hvor mange bakterier det er på et tidspunkt, tar det 3,8 timer før antallet bakterier er doblet.

d) Vis uten hjelpemidler at uansett hvor mange bakterier det er på et tidspunkt, vil det ta like lang tid før antallet bakterier fordobler seg fordi vi ender opp med samme likning. Løs likningen med CAS etterpå.

Løsning

Vi setter antallet bakterier på et tidspunkt lik konstanten B og ser nå bort ifra at vi tidligere i oppgaven har brukt dette navnet om en funksjon. Vi vet at antall bakterier øker med vekstfaktoren 1,2 uavhengig av tida t. Etter ei viss tid t er derfor antallet bakterier lik $B \cdot 1, 2^{t}$ . For å få en likning der løsningen er hvor lang tid det tar for antallet bakterier å dobles, setter vi dette uttrykket lik 2B. Da får vi likningen

$\begin{array}{rcl} B \cdot 1, 2^{t} & = & 2 B \\ 1, 2^{t} & = & 2 \end{array}$

Vi får en likning som er uavhengig av hvor mange bakterier det er. Vi løser likningen med CAS.

På linje 8 i CAS-vinduet i GeoGebra er det skrevet 1,2 opphøyd i t er lik 2. Svaret med Løs er t er lik et uttrykk som vi regner ut en tilnærmet verdi til på neste linje. På linje 9 er det skrevet dollartegn 8. Svaret med tilnærming er t er lik 3,8. Skjermutklipp.

I S1 og R1 viser vi hvordan vi kan løse slike likninger uten hjelpemidler.

e) I forrige oppgave fant vi at antallet bakterier bruker like lang tid (3,8 timer) på å doble seg uansett tidspunkt. Undersøk om antallet bakterier bruker like lang tid på å øke med en vilkårlig prosent p uansett hvor mange bakterier det er.

Løsning

Prosentfaktoren når noe øker med p prosent, er $\frac{p}{100}$ . Vekstfaktoren når noe øker med p prosent, er derfor $1 + \frac{p}{100}$ . Vi setter igjen antallet bakterier på et tidspunkt lik B. Etter ei viss tid t er antallet bakterier fortsatt lik $B \cdot 1, 2^{t}$ . Dette skal nå være lik B multiplisert med vekstfaktoren $1 + \frac{p}{100}$ , og vi får likningen

$\begin{array}{rcl} B \cdot 1, 2^{t} & = & B \cdot (1 + \frac{p}{100}) \\ 1, 2^{t} & = & 1 + \frac{p}{100} \end{array}$

Igjen får vi en likning som er uavhengig av antallet bakterier B. Det betyr at antallet bakterier bruker like lang tid på å øke med en vilkårlig prosent p uansett hvor mange bakterier det er.

Oppgave 11

Tabellen viser daglig bruk av tid på hjemme-pc i perioden 1994 til 2006 i minutter for ei bestemt gruppe personer. Tallene er fra Statistisk sentralbyrå (SSB).

Tid brukt på hjemme-pc
Årstall	1994	1998	1999	2003	2006
Tid i minutter	10	13	18	35	50

a) Legg punktene i et koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1994 og $T (x)$ bruk av tid på hjemme-pc. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.

Løsning

Vi får plottet både punktene og grafen når vi bruker regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra. Vi lager en ny rad i tabellen der vi regner ut antall år etter 1994.

Tid brukt på hjemme-pc
Årstall	1994	1998	1999	2003	2006
x	0	4	5	9	12
Tid i minutter	10	13	18	35	50

Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 8,91 multiplisert med 1,15 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 13. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Illustrasjon. — Tid brukt på hjemme-pc per dag fra 1994 og utover

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $T (x) = 8, 91 \cdot 1, 15^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan tidsbruken med hjemme-pc har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene (punktene).

b) Hvor stor er den gjennomsnittlige, årlige prosentvise økningen i bruk av hjemme-pc etter modellen?

Tips til oppgaven

Bruk vekstfaktoren i modellen.

Løsning

Vekstfaktoren er grunntallet i potensen i modellen, altså 1,15. Det tilsvarer en økning på 15 % for hver enhet på x-aksen. Siden enheten på x-aksen er år, blir den årlige prosentvise økningen på 15 %.

c) Bruk modellen du fant i a), og finn ut hvor mye tid som ble brukt på hjemme-pc i 2010 og 2020.

Løsning

År 2010 er 16 år etter 1994, og år 2020 er 26 år etter 1994. Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn de aktuelle x-verdiene i modellen.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet T av 16. Svaret med tilnærming er 87,84. På linje 2 er det skrevet T av 26. Svaret med tilnærming er 367,26. Skjermutklipp.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktene $(16, T (16))$ og $(26, T (26))$ .

d) Vurder gyldigheten av modellen fram i tid.

Løsning

Modellen virker troverdig å bruke i 2010, men at tidsbruken var 367 minutter, det vil si over 7 timer i 2020, virker litt usannsynlig. Modellen vil kun være gyldig i noen få år.

e) Hvordan ville modellen ha sett ut hvis vi bruker som utgangspunkt at det i 1994 ble brukt i gjennomsnitt 10 minutter til bruk av hjemme-pc, og dersom den årlige prosentvise økningen skulle være 9,5 prosent?

Løsning

En økning på 9,5 % gir en vekstfaktor på 1,095. Hvis vi kaller den nye funksjonen $T_{2} (x)$ , får vi at

$T_{2} (x) = a \cdot 1, 095^{x}$

Året 1994 tilsvarer $x = 0$ . Det betyr at dersom vi prøver å regne ut $T_{2} (0)$ , skal vi få 10 til svar. Dette gir oss en likning.

$\begin{array}{rcl} T_{2} (0) & = & 10 \\ a \cdot 1, 095^{0} & = & 10 \\ a \cdot 1 & = & 10 \\ a & = & 10 \end{array}$

Modellen blir derfor i dette tilfellet

$T_{2} (x) = 10 \cdot 1, 095^{x}$

f) Denne statistikken ble av SSB avsluttet etter 2014. (Hva er grunnen til det, tror du?)

Gå til SSBs nettsider, og finn tallene ved å søke på "hjemme-pc". Velg "Minutter brukt til hjemme-pc" som statistikkvariabel, velg alle årene under "År", og velg "Personer med i utvalget i alt" under "Befolkningsgruppe" for å få med hele befolkningsgruppa. Trykk "Vis tabell" nederst.

Støtter de siste målingene i tabellen det vi konkluderte med i oppgave c)?

Oppgave 12

Tabellen viser utslippene av karbondioksid ${CO}_{2}$ i verden målt i millioner tonn for noen utvalgte år mellom 1980 og 2006.

CO₂-utslipp
Årstall	1980	1990	2000	2005	2006
Utslipp av ${CO}_{2}$ i millioner tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver utslippene av ${CO}_{2}$ . La $x$ være antall år etter 1980 og $U (x)$ utslippene av ${CO}_{2}$ .

Løsning

Vi lager en ny rad i tabellen, der vi regner ut antall år etter 1980.

CO₂-utslipp
Årstall	1980	1990	2000	2005	2006
x	1	10	20	25	26
Utslipp av ${CO}_{2}$ i millioner tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

Grafen til funksjonen U av x er lik 17847 multiplisert med 1,02 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 30. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt stigende i hele området. Illustrasjon. — Verdens utslipp av CO₂ i millioner av tonn

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $U (x) = 17 847 \cdot 1, 02^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan verdens utslipp av ${CO}_{2}$ har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene, men kanskje vi kunne ha brukt lineær regresjon også?

b) Hvilken årlig prosentvis økning i ${CO}_{2}$ -utslipp gir modellen?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,02. Siden enheten på x-aksen er år, får vi at den årlige prosentvise økning i ${CO}_{2}$ -utslippet er på 2 %.

c) Mange land har vedtatt å senke utslippet av ${CO}_{2}$ i tida framover. Vurder gyldigheten framover i tid av modellen du fant i oppgave a).

Løsning

Uttrykket vi fant i oppgave a), er eksponentielt, det vil si at mengden av ${CO}_{2}$ -utslipp vil øke mer og mer. Mest sannsynlig vil ${CO}_{2}$ -utslippet etter hvert flate ut, og modellen vår blir antakelig ikke korrekt langt fram i tid.

d) Finn nyere tall på utslipp av ${CO}_{2}$ . Ta med i modellen tallene for 2010, 2015, 2020 og det nyeste tallet du finner.

Hvordan blir modellen påvirket av dette?

Oppgave 13

Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.

Høyden på en solsikke
Etter x uker	1	2	3	4	5	6	7	8
Høyde i cm	16	20	27	40	56	68	107	140

a) Plott punktene i et koordinatsystem, og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene.

Løsning

Grafen til funksjonen H av x er lik 11 multiplisert med 1,37 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 8. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt stigende i hele området. Illustrasjon. — Høyden til en solsikke som funksjon av antall uker solsikken har vokst

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $H (x) = 11 \cdot 1, 37^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan solsikken har vokst. Modellen passer ganske bra med tallene.

b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?

Løsning

Vekstfaktoren er 1,37. Siden enheten på x-aksen er uker, får vi at den ukentlige veksten i høyden av solsikken er 37 %.

c) Vurder gyldigheten til modellen du fant i oppgave a), etter som tida går.

Løsning

Vi kan undersøke hvor høy solsikken er, etter 16 uker ved å skrive H(16) i algebrafeltet eller i CAS. Resultatet er 1 694 cm, det vil si nesten 17 meter. Så høy blir ikke en solsikke. Modellen kan i alle fall ikke være gyldig så langt ut i tid.

Oppgave 14

Punktene i koordinatsystemet nedenfor viser fem observasjoner av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høyder over havet.

Fem punkter er tegnet inn i et koordinatsystem. Punktene har koordinatene 0 og 1000, 2 og 800, 4 og 600, 7 og 400 og til slutt 10 og 300. Illustrasjon. — Lufttrykk målt ved noen høyder over havet

a) Finn en matematisk modell som beskriver lufttrykket målt i millibar.

Løsning

Vi leser av koordinatene til punktene i koordinatsystemet og får den følgende tabellen:

Lufttrykket
Høyde over havet i km	0	2	4	7	10
Lufttrykk målt i millibar	1 000	800	600	400	300

Grafen til funksjonen f av x er lik 998 multiplisert med 0,88 opphøyd i x er tegnet i GeoGebra for x-verdier mellom 0 og 14. Punktene som funksjonen er basert på, er også tegnet inn. Grafen er eksponentielt avtagende. Illustrasjon. — Lufttrykk i millibar som funksjon av høyde over havet i km

Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket $f (x) = 998 \cdot 0, 88^{x}$ . Vi sier at dette er en modell for hvordan lufttrykket endrer seg med høyden over havet. Modellen ser ut til å passe ganske bra.

b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?

Løsning

Vekstfaktoren i modellen er 0,88. Det tilsvarer en prosentvis nedgang på 12 %. Siden enheten på x-aksen er km, får vi at lufttrykket reduseres med 12 % for hver km vi beveger oss rett oppover i lufta.

Norges høyeste fjell, Galdhøpiggen, ligger 2 469 meter over havet.

c) Hva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fant i oppgave a)?

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn den aktuelle $x$ -verdien inn i modellen.