Oppgave

Polynomfunksjoner

Oppgavene nedenfor skal løses med bruk av hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra, hvis det ikke står noe annet. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved $f (x) = - 0, 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 3$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkter
bunnpunkter
skjæringspunkter med koordinataksene

Løsning

Koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik minus 0,5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3 er tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 5,5. Grafen skjærer y-aksen i punktet med koordinatene 0 og 3. Grafen skjærer x-aksen i punktet med koordinatene 5,05 og 0. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene 0,59 og 2,17. Grafen har et toppunkt med koordinatene 3,41 og 7,83. Illustrasjon.

Vi finner grafisk bunnpunktet (0.59, 2.17) og toppunktet (3.41, 7.83) med verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi finner grafisk med verktøyet "Nullpunkt" i GeoGebra at funksjonen har nullpunktet $x = 5, 05$ .

Skjæringspunktet med andreaksen er (0, 3), som vi finner ved å skrive (0,f(0)).

b) Tegn grafen til funksjonen $g$ gitt ved $g (x) = 0, 20 x^{3} - 0, 60 x^{2} + 4$ . Analyser funksjonen.

Løsning

Å analysere en funksjon betyr at vi finner ut mest mulig om den. Her betyr det å finne eventuelle

toppunkter
bunnpunkter
skjæringspunkter med koordinataksene

Koordinatsystem. Grafen til funksjonen g av x er lik 0,2 x i tredje minus 0,6 x i andre pluss 4 er tegnet for x-verdier mellom minus 2,5 og 3,5. Grafen skjærer y-aksen i punktet med koordinatene 0 og 4. Dette punktet er også et toppunkt. Grafen skjærer x-aksen i punktet med koordinatene minus 2 og 0. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene 2 og 3,2. Illustrasjon.

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finner vi at funksjonen har et toppunkt i (0, 4) og et bunnpunkt i (2, 3.2). Toppunktet er samtidig skjæringspunkt med y-aksen.

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt", finner vi at funksjonen har nullpunktet $x = - 2$ .

c) Tegn grafen til funksjonen h gitt ved $h (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ . Analyser funksjonen.

Løsning

Koordinatsystem. Grafen til funksjonen h av x er lik x i fjerde minus 3 x i tredje pluss 4 x er tegnet for x-verdier mellom minus 1,3 og 2,7. Grafen skjærer y-aksen i punktet med koordinatene 0 og 0. Grafen skjærer x-aksen i punktet med koordinatene minus 1 og 0, punktet med koordinatene 0 og 0 og punktet med koordinatene 2 og 0. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene minus 0,59 og minus 1,62, et toppunkt med koordinatene 0,84 og 2,08 og et nytt bunnpunkt med koordinatene 2 og 0. Illustrasjon.

Ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" finner vi at funksjonen har et toppunkt i (0.84, 2.08) og bunnpunkter i $(- 0.59, - 1.62)$ og i (2, 0).

Ved å bruke verktøyet "Nullpunkt" finner vi at funksjonen har nullpunktene $x = - 1, x = 0$ og $x = 2$ . Legg merke til at grafen har et bunnpunkt i det ene nullpunktet.

Fra nullpunktene har vi at grafen skjærer andreaksen i (0, 0) (origo).

Oppgave 2

En tredjegradsfunksjon kan skrives på formen $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ der a, b, c og d er konstanter.

Lag en funksjon i GeoGebra der du har glidere for hver av konstantene.

a) Forklar med egne ord hva som skjer dersom du lar a variere mellom negative og positive tall.

Løsning

Hvis a er negativ, kommer grafen fra pluss uendelig og går mot minus uendelig. Hvis a er positiv, blir det omvendt: Grafen kommer fra minus uendelig og går mot pluss uendelig.

b) Forklar med egne ord hva som skjer når d varierer.

Løsning

d er konstantleddet og flytter hele grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

c) Hva skjer med grafen hvis a er negativ og du lar b variere i intervallet $[- 5, 5]$ ? Hva skjer hvis a er positiv?

Løsning

Her er det litt avhengig av b, så her er det bare å teste ut!

d) Hva skjer hvis du lar c variere mellom $- 5$ og 5? Har størrelsen og fortegnet på b noe å si for hvordan grafen endrer seg når du endrer c?

Løsning

Test ut!

Oppgave 3

Grafen viser temperaturen fra midnatt fram til klokka 12 et døgn i mars.

Graf i koordinatsystem som viser temperaturen i grader celsius x timer etter midnatt. Når x er lik 0, er temperaturen 0. Så stiger grafen til cirka 0,3 grader når x er lik 2, så synker den til cirka minus 0,7 når x er lik 7,5. Deretter stiger grafen bratt til 1,9 grader når x er lik 12. Illustrasjon.

a) Finn ekstremalpunktene til grafen.

Løsning

Ekstremalpunktene finner vi i toppunktet A(1.8, 0.3) og i bunnpunktet B(7.6, -0.7).

b) Når har vi den høyeste og den laveste temperaturen i dette tidsrommet, og hva er temperaturen da?

Løsning

Den høyeste temperaturen har vi i det høyre endepunktet på grafen, det vil si klokka 12. Vi leser av grafen at temperaturen da er nesten 2 °C. Den laveste temperaturen er i bunnpunktet. $7, 6 h = 7 h 0, 6 \cdot 60 \min = 7 h 36 \min$ . Den laveste temperaturen er klokka 07.36, og da er temperaturen minus 0,7.

c) Finn når grafen har nullpunkt.

Løsning

Vi har nullpunkt for $x = 0$ , $x = 4$ og $x = 10$ .

d) Hva betyr nullpunkta her?

Løysing

Nullpunkta viser når temperaturen var 0 °C. Det var han ved midnatt, klokka 4 og klokka 10.

Oppgave 4

Tabellen viser temperatursvingningene gjennom et flott sommerdøgn i Mandal. Temperaturen T er gitt i grader, og x er antall timer etter midnatt.

Temperatur
x	0	1	4	7	9	10	12	13	15	17	20	22	24
T (°C)	19	17	15	17	19	21	25	26	27	26	34	22	18

a) Hvilken matematisk modell tror du kan passe med disse punktene?

Løsning

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra, velger "Regresjonsanalyse" og observerer punktene i regresjonsanalysevinduet. Punktene ser ut omtrent som på figuren nedenfor. Da kan en tredjegradsfunksjon passe.

Punktene fra oppgaven er tegnet inn i et koordinatsystem. Punktene kan se ut til å følge en kurve som først synker, så stiger og til slutt synker igjen. Illustrasjon.

b) Finn en matematisk modell som beskriver temperaturen i Mandal dette døgnet.

Løsning

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at tredjegradsfunksjonen

$T (x) = - 0, 008 x^{3} + 0, 261 x^{2} - 1, 5 x + 18, 3$

passer godt som modell for temperaturutviklingen.

Graf som viser temperatur. Punktene fra oppgaven er også tegnet inn. Punktene passer ganske godt med grafen. Illustrasjon.

Vi observerer at modellen passer best fram til klokka 15. Så synker temperaturen raskere enn det modellen gir.

c) Vurder gyldigheten av modellen du fant ovenfor, når vi lar tida $x$ etter midnatt bli mer enn 24 timer.

Løsning

Modellen vi fant, beskriver temperaturen de første 24 timene etter midnatt på en god måte. Utover 24 timer er modellen ubrukelig fordi tredjegradsfunksjonen bare er synkende etter toppunktet rett etter klokka 17.

Oppgave 5

Tenk deg at du skal lage ei eske uten lokk av ei kvadratisk papplate med sidelengder
60 cm. Du må da klippe bort et kvadrat i hvert hjørne av papplata.

Du må altså klippe bort de fire mørkeblå kvadratene på tegningen nedenfor. De lyseblå rektanglene bretter du opp, og du får da ei eske med det lyse kvadratet i midten som bunn.

To figurer. Figuren til venstre består av to kvadrater inni hverandre. Det ytre kvadratet har sidekanter lik 60. Sidekantene til det indre kvadratet er forlenget ut til det ytre. Det indre kvadratet er lyst. Det rektangelformede området på sidene av det indre kvadratet er lyseblått, og de små kvadratiske områdene som ligger mellom et hjørne på det indre kvadratet og det nærmeste hjørnet på det ytre kvadratet, er mørkeblå. Sidekantene i dette kvadratet er x. Den høyre figuren er lik den venstre, men de små, mørkeblå kvadratene er tatt bort. Illustrasjon.

Formen på eska avhenger av hvor store kvadrater du klipper bort. Vi kaller sidene i kvadratene du klipper bort, for x. Hvis x er stor, vil eska få en liten bunn, men blir desto høyere. Hvis x er liten, vil eska få stor bunn, men den vil bli lav. Vi ønsker at eska skal få så stort volum som mulig.

Volumet av eska vil være avhengig av x. Det vil si at volumet er en funksjon av x. Vi vil finne en formel for denne funksjonen.

a) Start med å finne et uttrykk for lengden l av bunnen til eska.

Løsning

Bunnen blir et kvadrat. For å finne lengden av sidekanten må vi ta 60 og trekke fra bredden av to lyseblå rektangler, som hver har bredde lik x. Da får vi at

$l = 60 - 2 x$

b) Finn uten hjelpemidler en funksjon $V (x)$ for volumet av eska uttrykt ved x.

Løsning

Arealet G til bunnen, det vi kaller grunnflata, blir også en funksjon av x. Vi får

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & {(60 - 2 x)}^{2} \\ = & 60^{2} - 2 \cdot 60 \cdot 2 x + {(2 x)}^{2} \\ = & 3 600 - 240 x + 4 x^{2} \end{array}$

Høyden på eska blir x. Vi må multiplisere grunnflata med høyden for å få volumet, her kalt V.

$\begin{array}{rcl} V (x) & = & G (x) \cdot h \\ = & (3 600 - 240 + 4 x^{2}) \cdot x \\ = & 3 600 x - 240 x^{2} + 4 x^{3} \\ = & 4 x^{3} - 240 x^{2} + 3 600 x \end{array}$

Volumet er altså en polynomfunksjon av tredje grad.

c) Hva blir definisjonsmengden til funksjonen $V (x)$ ?

Løsning

Vi ser også at x må ligge mellom 0 cm og 30 cm for at vi skal få ei eske. Hvis $x = 0$ , klipper vi ikke bort noe, og hvis $x = 30$ , får vi ingen bunn, vi klipper bort hele papplata. Definisjonsmengden er da

$D_{V} = ⟨ 0, 30 ⟩$

d) Tegn grafen til volumfunksjonen V. Hva blir det største volumet eska kan få, og hvor store kvadrater må vi klippe bort da?

Løsning

Vi skriver V(x)=Funksjon(4x^3-240x^2+3600x,0,30) i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" for å finne eventuelle ekstremalpunkter.

Grafen til funksjonen V av x er lik 4 x i tredje minus 240 x i andre pluss 3600 x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 30. Grafen har et toppunkt med koordinatene 10 og 16000. Illustrasjon.

Vi får et toppunkt i $(10, 16 000)$ . Det vil si at det største volumet eska kan få, er $16 000 {cm}^{3}$ . Da må vi klippe bort kvadrater med sidekant 10 cm fra hjørnene på papplata.

e) Hva blir verdimengden til funksjonen $V (x)$ ?

Løsning

Siden toppunktet er $(10, 16 000)$ og volumet ikke kan være 0, får vi at verdimengden er

$V_{V} = ⟨ 0, 16 000]$

f) Du ønsker å lage esker som har volumet $10 000 {cm}^{3}$ . Hvor mye skal du klippe bort av papplata da? Løs oppgaven grafisk.

Løsning

Vi må finne ut når volumfunksjonen har verdien 10 000, det vil si vi må løse likningen

$V (x) = 10 000$

Vi løser likningen ved å tegne linja $y = 10 000$ og finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til $V (x)$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Grafen til funksjonen V av x er lik 4 x i tredje minus 240 x i andre pluss 3600 x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 30. Linja y er lik 10000 er også tegnet inn. Det er to skjæringspunkter mellom grafen til V og den rette linja. Det ene har koordinater 3,58 og 10000, det andre har koordinater 18,32 og 10000. Illustrasjon.

Vi må klippe bort kvadrater med sidekant 3,6 cm eller 18,3 cm fra hjørnene på papplata for at volumet av eska skal bli $10 000 {cm}^{3}$ .

g) Løs oppgave b), d) og f) med CAS.

Løsning

Utklipp fra CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen V av x definert som parentes 60 minus 2 x parentes slutt i andre multiplisert med x. På linje 2 er kommandoen Ekstremalpunkt med argumentet V skrevet inn. Svaret er punktet med koordinatene 10 og 16000 og punktet med koordinatene 30 og 0. På linje 3 er V av x satt lik 10000. Svaret med Løs er x er lik 3,58 eller x er lik 18,32 eller x er lik 38,1. Skjermutklipp.

På linje 1 skriver vi inn volumfunksjonen ved å skrive inn grunnflata multiplisert med høyden. Legg merke til at vi normalt ikke skriver inn funksjoner med begrensninger i definisjonsmengden i CAS, siden CAS takler dette dårlig. Fra linje 2 får vi at det største volumet eska kan få, er $16 000 {cm}^{3}$ , og da må vi klippe bort kvadrater med sidekant 10 cm fra hjørnene på papplata. Fra linje 3 får vi at volumet av eska blir $10 000 {cm}^{3}$ når vi klipper bort kvadrater med sidekanter på 3,6 cm eller 18,3 cm. Den siste løsningen er utenfor det aktuelle området for x.

Oppgave 6

Kiosken Furefoss har fulgt med på issalget i august. Salgstallene ser slik ut:

Salg av is i august
Dato i august	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Antall solgte is	78	65	58	54	46	42	40	41	35

a) Bruk regresjonsverktøyet i GeoGebra og finn en andregradsfunksjon f som passer godt med tallene.

Løsning

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger "Regresjonsanalyse". Vi velger modellen "Polynom" med grad 2.

Utklipp fra GeoGebra. Venstre side av bildet viser regnearkdelen med en tabell der salgstallene er skrevet inn. Høyre side av bildet viser regresjonsanalyseverktøyet, der regresjonsmodellen Polynom med grad 2 er valgt. Modellfunksjonen er y er lik 0,6169 x i andre minus 11,0355 x pluss 86,6429. Koordinatsystemet viser at modellen passer ganske bra med tallene i tabellen. Skjermutklipp.

En andregradsfunksjon som passer godt med tallene, er

$f (x) = 0, 617 x^{2} - 11, 0 x + 86, 6$

b) Hva blir salget av is den 15. august med modellen i a)?

Løsning

Vi bruker den symbolske utregningen i regresjonsanalysevinduet og får at antall solgte is den 15. august blir 60.

I regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra er modellfunksjonen funnet til y er lik 0,62 x i andre minus 11,04 x pluss 86,64. I den symbolske utregningen er x satt lik 15 og y regnet ut til 59,9091. Skjermutklipp.

c) Vurder om modellen vil være gyldig utover høsten.

Løsning

Av formen på grafen i a) får vi at salget vil fortsette å stige utover høsten. Det er ikke veldig sannsynlig når det blir gradvis kaldere.

d) Finn en tredjegradsfunksjon g som passer godt med tallene. Gjenta oppgave b) og c) med denne modellen. Vurder om modellen er bedre enn modellen i a).

Løsning

I regresjonsanalyseverktøyet er modellfunksjonen funnet til y er lik minus 0,08 x i tredje pluss 1,78 x i andre minus 15,93 x pluss 91,75. I den symbolske utregningen er x satt lik 15 og y regnet ut til minus 8,3939. Skjermutklipp.

Vi velger grad 3 på modellen "Polynom" i regresjonsanalyseverktøyet og får at en tredjegradsfunksjon som passer godt med tallene, er

$g (x) = - 0, 08 x^{3} + 1, 78 x^{2} - 15, 93 x + 91, 75$

Den symbolske utregningen gir at salget av is den 15. august er negativt. Modellen passer enda dårligere enn modellen i oppgave a) fordi en tredjegradsfunksjon med negativ koeffisient foran tredjegradsleddet går mot minus uendelig ettersom x blir større.

Oppgave 7

Vi skal undersøke funksjonen

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$

Tegn grafen til f, og finn nullpunktene og ekstremalpunktene til funksjonen. Hva er spesielt med det ene nullpunktet?

Løsning

Vi skriver inn funksjonen i algebrafeltet til GeoGebra og bruker verktøyene "Nullpunkt" og "Ekstremalpunkt" til å finne nullpunktene til funksjonen og topp- og bunnpunktene på grafen.

Grafen til funksjonen f av x er lik x i tredje minus x i andre minus 5 x minus 3 er tegnet for x-verdier mellom minus 2,5 og 3,3. Grafen har et toppunkt med koordinatene minus 1 og 0. Grafen skjærer i tillegg x-aksen i punktet med koordinatene 3 og 0. Grafen har et bunnpunkt med koordinatene 1,67 og minus 9,48. Illustrasjon.

Nullpunkt: $x = - 1$ og $x = 3$

Toppunkt: $(- 1, 0)$

Bunnpunkt: $(1.67, - 9.48)$

Det spesielle er at nullpunktet $(- 1, 0)$ samtidig er et toppunkt.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Polynomfunksjoner(DOCX)
Polynomfunksjoner(PDF)

Ikke-lineære funksjoner