Potensfunksjoner

En generell potensfunksjon har funksjonsuttrykket $a·x^b$ der a og b kan være alle mulige tall. Det kan være begrensninger på hvilke x-verdier funksjonen er definert for.

Et eksempel på en potensfunksjon er $f\left(x\right)=1,3x^{1,1}$. Denne funksjonen er ikke definert for negative x-verdier.

Når eksponenten i potensfunksjonen er større enn 0, er grafen til funksjonen stigende og starter i origo. Er den større enn 1, stiger den raskere og raskere. Er den mellom 0 og 1, stiger den mindre og mindre.

Når eksponenten i potensfunksjonen er mindre enn 0, er grafen synkende.

For hvert år multipliserer vi det innestående beløpet med vekstfaktoren x. Fra han er 14 år til han er 20, går det 6 år. Da skal vi multiplisere med vekstfaktoren 6 ganger, som er det samme som å multiplisere de 5 000 kronene med $x^6$. Funksjonsuttrykket blir

$f\left(x\right)=5 000·x^6=5 000x^6$

Ei rente på 0 % betyr at vekstfaktoren er 1. Da øker ikke sparebeløpet. Vi kan vise dette slik: Vekstfaktoren blir

$100 \%+0 \%=100 \%=1$

En prosentvis økning på 10 % betyr at vekstfaktoren er

$100 \%+10 \%=110 \%=1,1$

Dette gir at

$D_f=\left[1,1.1\right]$

Grafisk løsning:

Vi skriver inn funksjonsuttrykket ved hjelp av kommandoen "Funksjon":

f(x)=Funksjon(5000x^6,1,1.1)

Vi observerer at grafen er stigende. Det stemmer med at den største verdien sparebeløpet kan få, er når vekstfaktoren er 1,1. Vi skriver derfor (1.1,f(1.1)) i algebrafeltet og får tegnet punktet A på grafen, se figuren.

Det maksimale Atle kan forvente at pengene kan vokse til, er 8 858 kroner.

Løsning med CAS:

Den største verdien sparebeløpet kan få, er når vekstfaktoren er 1,1. Vi skriver inn funksjonen i CAS og regner ut $f\left(1,1\right)$.

Det maksimale Atle kan forvente at pengene kan vokse til, er 8 858 kroner.

Grafisk løsning:

Vi tegner linja $y=7 500$ og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til f. Vi får punktet B på figuren nedenfor.

B har x-koordinat lik 1,07, som betyr at renta må minst være 7 % for at Atle skal ha minst 7 500 kroner etter de 6 årene.

Løsning med CAS:

Vekstfaktoren er 1,07, som betyr at renta må minst være 7 % for at Atle skal ha minst 7 500 kroner etter de 6 årene.

Den samme prosentvise nedgangen skal skje 7 ganger. Det betyr at vi skal multiplisere nybilprisen med en ukjent vekstfaktor x 7 ganger for at resultatet skal bli verdien på bilen etter 7 år. Det betyr at

$V\left(x\right)=650 000·x^7$

Det minste verditapet er 0 %. Da er vekstfaktoren 1. (Se også oppgave 3.) Vi regner ikke med at bilen kan stige i verdi.

En prosentvis reduksjon på 15 % betyr at vekstfaktoren er

$100 \%-15 \%=85 \%=0,85$

Dette gir at

$D_V=\left[0.85,1\right]$

Den laveste verdien bilen kan ha, er når verditapet er så stort som mulig. Da er vekstfaktoren så liten som mulig, det vil si at den er 0,85.

Den laveste verdien på bilen etter 7 år blir omtrent 208 400 kroner.

Vi ønsker å finne ut for hvilken x-verdi funksjonen V har verdien 350 000 kroner. Det gir oss likningen

$V\left(x\right)=350 000$

Fra linje 5 får vi at det gjennomsnittlige årlige prosentvise tapet på bilen er 8,5 %.

Det kan lette arbeidet hvis du setter inn en ny tredje kolonne for antall runder i løpet av en time.

Vi finner antall runder i løpet av en time ved å multiplisere antall runder per minutt med 60. Fra første linje i tabellen får vi derfor at antall runder per time blir

$18 \mathrm{runder}/\min ·60 \min /\mathrm{h}=1 080 \mathrm{runder}/\mathrm{h}$

Lengde sprunget per time blir derfor antall runder per time multiplisert med 3,25 m, lengde per runde. For å få svaret i km per time må vi dele på 1 000. Fra første linje får vi

$\frac{1 080 \mathrm{runder}/\mathrm{h}·3,25 \mathrm{m}/\mathrm{runde}}{1 000 \mathrm{m}/\mathrm{km}}=3,51 \mathrm{km}/\mathrm{h}$

Ved å gjøre tilsvarende for de andre tallene i tabellen får vi tabellen nedenfor.

Vi skriver inn i regnearkdelen i GeoGebra tallene i første kolonne og tallene i fjerde kolonne. Så markerer vi tallene og velger regresjonsanalyseverktøyet. Her velger vi lineær modell og får at den lineære funksjonen som passer best med tallene, er

$f\left(x\right)=1,176x+0,793$

Dersom den virkelige farten alltid er lik farten vist i displayet, vil alle punktene i diagrammet ha samme x- og y-koordinat. Da vil punktene ligge på linja $y=x$ slik at funksjonen $f\left(x\right)=x$.$$

Den lineære modellen passer ganske bra med punktene. Ett problem er at når $x=0$, får vi at $f\left(0\right)=1,176·0+0,793=0,793$. Det betyr at når farten vist i displayet er 0, er den virkelige farten omtrent 0,8 km/h. Det må vi gå ut ifra at den ikke er. Modellen passer derfor ikke så godt for små verdier av x.

Vi bruker regresjonsanalyseverktøyet igjen og velger "Potens" som regresjonsmodell.

Den potensfunksjonen som passer best, er

$g\left(x\right)=1,518x^{0,924}$

Vi observerer at punktene passer enda bedre enn med den lineære modellen. I tillegg får vi nå at

$g\left(0\right)=1,518·0^{0,924}=0$

som det bør være.

Vi bruker modellen g og finner hva x må være for at $g\left(x\right)=15$. Dette gir oss en likning som vi løser med CAS.

Henrik bør stille tredemølla på 12 km/h dersom han ønsker å løpe i 15 km/h.

På plakaten kan det stå:

Undersøkelser har vist at farten som står i displayet, er lavere enn den virkelige farten. Grafen under viser sammenhengen mellom farten vist i displayet og den virkelige farten.