Her repeterer vi en del begreper fra vektorkapittelet i R1. I tillegg får du øvd på å regne med vektorer i tre dimensjoner.
De fleste regnereglene for vektorer er like uansett om vektorene er i to eller tre dimensjoner. Husk at du kan gå til vektorkapittelet i matematikk R1 for å repetere.
Oppgavene skal løses uten hjelpemidler om ikke annet er oppgitt.
4.1.10
Hva er forskjellen på en skalar og en vektor? Gi eksempler på tre vektorstørrelser og tre skalare størrelser.
Løsning
En vektor har både en lengde og en retning, mens en skalar er bare ett tall.
Farten til en bil er en vektor. Tyngdekraften er en vektor. Forflytning er en vektor.
Temperatur er en skalar. Volum er en skalar. 100 kroner er en skalar.
4.1.11
Husker du de grunnleggende regnereglene for vektorer?
4.1.12
Vi har gitt punktene og B5,-1,2.
a) Finn posisjonsvektoren OA→ til punktet A.
Løsning
OA→ får samme koordinater som A:
OA→=-2,3,4
b) Finn koordinatene til AB→.
Løsning
AB→=5--2,-1-3,2-4=7,-4,-2
c) Bestem koordinatene til punktet Q når AQ→=0,3,-4.
Løsning
Vi setter Q=x,y,z. Dette gir
AQ→=x--2,y-3,z-4=x+2,y-3,z-4
Videre får vi at
AQ→=0,3,-4x+2,y-3,z-4=0,3,-4
Ut fra dette får vi følgende tre likninger:
x+2=0∧y-3=3∧z-4=-4x=-2∧y=6∧z=0
Vi får at Q=-2,6,0.
d) Bestem koordinatene til punktet S når SB→=0,3,-4.
Løsning
Vi setter S=x,y,z. Dette gir
SB→=5-x,-1-y,2-z
Videre får vi at
SB→=0,3,-45-x,-1-y,2-z=0,3,-4
5-x=0∧-1-y=3∧2-z=-4x=5∧y=-4∧z=6
Vi får at S=5,-4,6.
e) Finn koordinatene til midtpunktet M på AB. Kontroller svaret med CAS.
Løsning
Vi setter M=x,y,z. Det betyr at
AM→=x--2,y-3,z-4=x+2,y-3,z-4
Vi har dessuten at når M er midtpunktet på AB, er
AM→=12AB→=127,-4,-2=72,-2,-1
Disse to uttrykkene for AM→ må være like. Da får vi
x+2=72∧y-3=-2∧z-4=-1x=32∧y=1∧z=3
Vi får at M=32,1,3.
Løsning med CAS:
f) Et punkt C ligger på linja gjennom AB slik at AB=BC. Finn koordinatene til C.
Løsning
Én løsning er at C=A. Den andre løsningen er at B blir midtpunktet på AC. Se figuren nedenfor.
For å finne den andre løsningen kan vi bruke samme framgangsmåte som i forrige oppgave.
Vi setter C=x,y,z. Det betyr at
AC→=x--2,y-3,z-4=x+2,y-3,z-4
Vi har dessuten at når B er midtpunktet på AC, er
AC→=2AB→=27,-4,-2=14,-8,-4
Disse to uttrykkene for AC→ må være like. Da får vi
x+2=14∧y-3=-8∧z-4=-4x=12∧y=-5∧z=0
Vi får at C=A=-2,3,4∨C=12,-5,0.
Den andre løsningen kan kontrolleres med CAS på samme måte som i forrige oppgave.
Skriv vektorene uttrykt ved enhetsvektorene ex→,ey→ og ez→.
a) 2,5,-1
Løsning
2,5,-1=2ex→+5ey→-ez→
b) -3,2,12
Løsning
-3,2,12=-3ex→+2ey→+12ez→
c) -34,0,23
Løsning
-34,0,23=-34ex→+23ey→
4.1.15
I denne oppgaven repeterer vi noen av regnereglene for skalarproduktet mellom to vektorer. Reglene gjelder både for vektorer i to og tre dimensjoner.
4.1.16
Her skal vi utlede, det vil si regne oss fram til, formelen for skalarproduktet mellom to vektorer i tre dimensjoner ved hjelp av de tre enhetsvektorene ex→,ey→ og ez→ i henholdsvis x-, y- og z-retning.
a) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn ex→·ey→,ex→·ez→ og ey→·ez→.
Løsning
ex→·ey→=ex→·ey→·cos90°=1·1·0=0
ex→·ez→=ex→·ez→·cos90°=1·1·0=0
ey→·ez→=ey→·ez→·cos90°=1·1·0=0
b) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn ex→·ex→,ey→·ey→ og ez→·ez→.
Løsning
ex→·ex→=ex→·ex→·cos0°=1·1·1=1
ey→·ey→=ey→·ey→·cos0°=1·1·1=1
ez→·ez→=ez→·ez→·cos0°=1·1·1=1
c) Vi har gitt de generelle vektorene a→=x1,y1,z1 og b→=x2,y2,z2. Sett a→=x1ex→+y1ey→+z1ez→,b→=x2ex→+y2ey→+z2ez→, bruk regneregler for skalarproduktet, og finn en formel for skalarproduktet a→·b→ uttrykt ved koordinatene til a→ og b→.
Bruk pytagorassetningen 2 ganger til å vise at OP→=x2+y2+z2.
Løsning
Siden C ligger i xy-planet rett under P, vil C ha koordinatene x,y,0. Trekanten OCD er rettvinklet. Det betyr at koordinatene til D er x,0,0. Ved å bruke pytagorassetningen får vi at
OC=OD2+DC2=x2+y2
Ved å gjøre tilsvarende med den rettvinklede trekanten OPC får vi at
OP→=OP=OC2+CP2=x2+y2+z2
4.1.18
Gitt a→=1,2,-3 og b→=-3,2,4.
a) Regn ut a→·b→ uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å bruke CAS.
Løsning
a→·b→=1,2,-3·-3,2,4=1·-3+2·2,+-3·4=-3+4-12=-11
b) Regn ut a→ og b→ uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å bruke CAS.
Løsning
a→=12+22+-32=1+4+9=14
b→=-32+22+42=9+4+16=29
I stedet for å bruke kommandoen Lengde(a), kan vi skrive |a|.
c) Finn et eksakt uttrykk for cosinus til vinkelen mellom a→ og b→ uten hjelpemidler.
Løsning
Fra skalarproduktet a→·b→=a→·b→·cosa→,b→ og resultatene i oppgavene a) og b) får vi at
cosa→,b→=a→·b→a→·b→=-1114·29
d) Finn vinkelen mellom a→ og b→.
Løsning
Det er mange måter å gjøre dette på. Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen "Vinkel".
I linje 4 har vi delt på gradsymbolet for å få vinkelen i grader. Alternativt kan vi dele på π og multiplisere med 180°.
Vinkelen mellom a→ og b→ er 123,1°.
4.1.19
Løs oppgavene uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS til slutt.
d) Undersøk om u→ og v→ er parallelle for noen verdier av t. Finn i så fall disse verdiene.
Løsning
Dersom u→ og v→ skal være parallelle, må det finnes en k slik at
u→=k·v→1,2,3=k2,-4,t
Dette gir tre likninger, én for hver av koordinatene.
1=2k∧2=-4k∧3=kt
De to første likningene gir ulik løsning for k. Da finnes det ikke noen verdi for t som gjør at vektorene u→ og v→ er parallelle.
e) Gitt w→=2,s,t. Undersøk om u→ og w→ er parallelle for noen verdier av t og s. Finn i så fall disse verdiene.
Løsning
Dersom u→ og w→ skal være parallelle, må det finnes en k slik at
u→=k·w→1,2,3=k2,s,t
Dette gir tre likninger, én for hver av koordinatene.
1=2k∧2=ks∧3=kt
Den første likningen gir k=12. Den andre likningen gir
s=2k=212=4
Den tredje likningen gir
t=3k=312=6
Vektorene u→ og w→ er parallelle dersom s=4 og t=6.
Løsning av oppgavene med CAS
Merk at vi også kan finne skalarproduktet mellom u→ og v→ med kommandoen Skalarprodukt(u,v). Lengden av v→ kan vi også finne med kommandoen Lengde(v).
4.1.20
Lag et program som regner ut vektorkoordinatene til vektoren mellom to punkter A og B som brukeren av programmet skriver inn.
Tips til oppgaven
Vi kan skrive inn alle koordinatene én og én, men ved hjelp av metoden "split" kan vi skrive inn én og én vektor.
Løsning
Idéen er å få lagret koordinatene til hvert punkt som ei liste og gjøre om listene til en numpy-array slik at vi kan trekke den ene fra den andre i én operasjon. Brukeren av programmet kan skrive inn ett og ett punkt som vi gjør om til ei liste ved hjelp av metoden "split".
Legg merke til at for å få skrevet ut apostrofene i inputsetningene, skriver vi "\" (omvendt skråstrek) foran dem. I siste linje konverterer vi vektoren tilbake til ei liste, for da blir det skrevet ut et komma mellom hvert listeelement (hver koordinat).
Det er mulig å lage kortere kode enn dette eksempelet. Ved å bruke såkalt "list comprehension" kan vi for eksempel slå sammen linje 8 til 10 og linje 13 til 15. Koden nedenfor gjør det samme som linje 8 til 10:
Vi kan videre slå sammen denne linja med linje 7 slik at linjene 7 til 10 kan skrives som