Njuike sisdollui
Bargobihttá

Vektorer i tre dimensjoner

Her repeterer vi en del begreper fra vektorkapittelet i R1. I tillegg får du øvd på å regne med vektorer i tre dimensjoner.

De fleste regnereglene for vektorer er like uansett om vektorene er i to eller tre dimensjoner. Husk at du kan gå til vektorkapittelet i matematikk R1 for å repetere.

Oppgavene skal løses uten hjelpemidler om ikke annet er oppgitt.

4.1.10

Hva er forskjellen på en skalar og en vektor? Gi eksempler på tre vektorstørrelser og tre skalare størrelser.

Løsning

En vektor har både en lengde og en retning, mens en skalar er bare ett tall.

Farten til en bil er en vektor.
Tyngdekraften er en vektor.
Forflytning er en vektor.

Temperatur er en skalar.
Volum er en skalar.
100 kroner er en skalar.

4.1.11

Husker du de grunnleggende regnereglene for vektorer?

4.1.12

Vi har gitt punktene A-2,3,4 og B5,-1,2.

a) Finn posisjonsvektoren OA til punktet A.

Løsning

OA får samme koordinater som A:

OA=-2,3,4

b) Finn koordinatene til AB.

Løsning

AB=5--2,-1-3,2-4=7,-4,-2

c) Bestem koordinatene til punktet Q når AQ=0,3,-4.

Løsning

Vi setter Q=x,y,z. Dette gir

AQ=x--2,y-3,z-4=x+2,y-3,z-4

Videre får vi at

AQ = 0,3,-4x+2,y-3,z-4 = 0,3,-4

Ut fra dette får vi følgende tre likninger:

x+2 = 0        y-3=3      z-4=-4x = -2      y=6       z=0

Vi får at Q=-2,6,0.

d) Bestem koordinatene til punktet S når SB=0,3,-4.

Løsning

Vi setter S=x,y,z. Dette gir

SB=5-x,-1-y,2-z

Videre får vi at

SB = 0,3,-45-x,-1-y,2-z = 0,3,-4

5-x = 0      -1-y=3      2-z=-4x = 5       y=-4       z=6

Vi får at S=5,-4,6.

e) Finn koordinatene til midtpunktet MAB. Kontroller svaret med CAS.

Løsning

Vi setter M=x,y,z. Det betyr at

AM=x--2,y-3,z-4=x+2,y-3,z-4

Vi har dessuten at når M er midtpunktet på AB, er

AM=12AB=127,-4,-2=72,-2,-1

Disse to uttrykkene for AM må være like. Da får vi

x+2 = 72      y-3=-2      z-4=-1x = 32        y=1        z=3

Vi får at M=32,1,3.

Løsning med CAS:

f) Et punkt C ligger på linja gjennom AB slik at AB=BC. Finn koordinatene til C.

Løsning

Én løsning er at C=A. Den andre løsningen er at B blir midtpunktet på AC. Se figuren nedenfor.

For å finne den andre løsningen kan vi bruke samme framgangsmåte som i forrige oppgave.

Vi setter C=x,y,z. Det betyr at

AC=x--2,y-3,z-4=x+2,y-3,z-4

Vi har dessuten at når B er midtpunktet på AC, er

AC=2AB=27,-4,-2=14,-8,-4

Disse to uttrykkene for AC må være like. Da får vi

x+2 = 14      y-3=-8      z-4=-4x = 12        y=-5        z=0

Vi får at C=A=-2,3,4      C=12,-5,0.

Den andre løsningen kan kontrolleres med CAS på samme måte som i forrige oppgave.

4.1.13

Gitt a=1,2,-3 og b=-3,2,4.

a) Finn koordinatene til 3a.

Løsning

3a=31,2,-3=3·1,3·2,3·-3=3,6,-9

b) Finn koordinatene til a+b.

Løsning

a+b = 1,2,-3+-3,2,4= 1+-3,2+2,-3+4= -2,4,1

c) Finn koordinatene til a-b.

Løsning

a-b = 1,2,-3--3,2,4= 1--3,2-2,-3-4= 4,0,-7

d) Finn koordinatene til a-3b.

Løsning

a-3b = 1,2,-3-3-3,2,4= 1-3·-3,2-3·2,-3-3·41+9,2-6,-3-12= 10,-4,-15

e) Finn koordinatene til c når a-2c=0,43,-7.

Løsning

Vi setter c=x,y,z. Dette gir

a-2c = 1,2,-3-2x,y,z0,43,-7 = 1-2x,2-2y,-3-2z0 = 1-2x      43=2-2y      -7=-3-2z2x = 1      2y=23      2z=4x = 12      y=13      z=2

Vi får c=12,13,2.

4.1.14

Skriv vektorene uttrykt ved enhetsvektorene ex, ey og ez.

a) 2,5,-1

Løsning

2,5,-1= 2ex+5ey-ez

b) -3,2,12

Løsning

-3,2,12=-3ex+2ey+12ez

c) -34,0,23

Løsning

-34,0,23=-34ex+23ey

4.1.15

I denne oppgaven repeterer vi noen av regnereglene for skalarproduktet mellom to vektorer. Reglene gjelder både for vektorer i to og tre dimensjoner.

4.1.16

Her skal vi utlede, det vil si regne oss fram til, formelen for skalarproduktet mellom to vektorer i tre dimensjoner ved hjelp av de tre enhetsvektorene ex, ey og ez i henholdsvis x-, y- og z-retning.

a) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn ex·ey, ex·ez og ey·ez.

Løsning

ex·ey=ex·ey·cos90°=1·1·0=0

ex·ez=ex·ez·cos90°=1·1·0=0

ey·ez=ey·ez·cos90°=1·1·0=0

b) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn ex·ex, ey·ey og ez·ez.

Løsning

ex·ex=ex·ex·cos0°=1·1·1=1

ey·ey=ey·ey·cos0°=1·1·1=1

ez·ez=ez·ez·cos0°=1·1·1=1

c) Vi har gitt de generelle vektorene a=x1,y1,z1 og b=x2,y2,z2. Sett a=x1ex+y1ey+z1ez ,  b=x2ex+y2ey+z2ez, bruk regneregler for skalarproduktet, og finn en formel for skalarproduktet a·b uttrykt ved koordinatene til a og b.

Løsning

a·b = x1ex+y1ey+z1ez·x2ex+y2ey+z2ez                    =x1ex·x2ex+x1ex·y2ey+x1ex·z2ez+y1ey·x2ex+y1ey·y2ey+y1ey·z2ez+z1ez·x2ex+z1ez·y2ey+z1ez·z2ez=x1·x2·ex·ex+x1·y2·ex·ey+x1·z2·ex·ez+y1·x2·ey·ex+y1·y2·ey·ey+y1·z2·ey·ez+z1·x2·ez·ex+z1·y2·ez·ey+z1·z2·ez·ez=x1·x2·1+x1·y2·0+x1·z2·0+y1·x2·0+y1·y2·1+y1·z2·0+z1·x2·0+z1·y2·0+z1·z2·1=x1·x2+y1·y2+z1·z2

4.1.17

a) Vis ut ifra definisjonen av skalarproduktet at

a=a2=a·a

uten å bruke vektorkoordinater.

Løsning

a·a=a·a·cos0=a2   a=a·a

b) Vis ved å bruke skalarproduktet på koordinatform og sette a=x,y,z at

a=x2+y2+z2

Løsning

a = a·a= x,y,z·x,y,z= x·x+y·y+z·z= x2+y2+z2

c) Vi skal finne lengden av OP på figuren nedenfor ved å se på geometrien. Figuren er interaktiv, så du kan rotere på koordinatsystemet.

Bruk pytagorassetningen 2 ganger til å vise at OP=x2+y2+z2.

Løsning

Siden C ligger i xy-planet rett under P, vil C ha koordinatene x,y,0. Trekanten OCD er rettvinklet. Det betyr at koordinatene til D er x,0,0. Ved å bruke pytagorassetningen får vi at

OC=OD2+DC2=x2+y2

Ved å gjøre tilsvarende med den rettvinklede trekanten OPC får vi at

OP=OP=OC2+CP2=x2+y2+z2

4.1.18

Gitt a=1,2,-3 og b=-3,2,4.

a) Regn ut a·b uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å bruke CAS.

Løsning

a·b = 1,2,-3·-3,2,4= 1·-3+2·2,+-3·4= -3+4-12= -11

b) Regn ut a og b uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å bruke CAS.

Løsning

a=12+22+-32=1+4+9=14

b=-32+22+42=9+4+16=29

I stedet for å bruke kommandoen Lengde(a), kan vi skrive |a|.

c) Finn et eksakt uttrykk for cosinus til vinkelen mellom a og b uten hjelpemidler.

Løsning

Fra skalarproduktet a·b=a·b·cosa,b og resultatene i oppgavene a) og b) får vi at

cosa,b = a·ba·b= -1114·29

d) Finn vinkelen mellom a og b.

Løsning

Det er mange måter å gjøre dette på. Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen "Vinkel".

I linje 4 har vi delt på gradsymbolet for å få vinkelen i grader. Alternativt kan vi dele på π og multiplisere med 180°.

Vinkelen mellom a og b er 123,1°.

4.1.19

Løs oppgavene uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS til slutt.

Gitt vektorene u=1,2,3 og v=2,-4,t.

a) Bestem t slik at u·v=0.

Løsning

Vi regner ut skalarproduktet og setter det lik 0.

u·v = 01,2,3·2,-4,t = 02-8+3t = 03t-6 = 0t = 2

b) Bestem t slik at u+v=3,-2,4.

Løsning

u+v = 3,-2,41,2,3+2,-4,t = 3,-2,41+2,2-4,3+t= 3,-2,43,-2,3+t = 3,-2,4

x- og y-koordinatene er like på venstre og høyre side. z-koordinatene må også være like for at likningen skal være oppfylt. Dette gir

3+t = 4t = 1

c) Bestem t slik at |v|=6.

Løsning

|v| = 62,-4,t =622+-42+t2 = 64+16+t2 = 36t2 = 36-20= 16t = -4      t=4

d) Undersøk om u og v er parallelle for noen verdier av t. Finn i så fall disse verdiene.

Løsning

Dersom u og v skal være parallelle, må det finnes en k slik at

u = k·v1,2,3 = k2,-4,t

Dette gir tre likninger, én for hver av koordinatene.

1=2k      2=-4k      3=kt

De to første likningene gir ulik løsning for k. Da finnes det ikke noen verdi for t som gjør at vektorene u og v er parallelle.

e) Gitt w=2,s,t. Undersøk om u og w er parallelle for noen verdier av t og s. Finn i så fall disse verdiene.

Løsning

Dersom u og w skal være parallelle, må det finnes en k slik at

u = k·w1,2,3 = k2,s,t

Dette gir tre likninger, én for hver av koordinatene.

1=2k      2=ks      3=kt

Den første likningen gir k=12. Den andre likningen gir

s=2k=212=4

Den tredje likningen gir

t=3k=312=6

Vektorene u og w er parallelle dersom s=4 og t=6.

Løsning av oppgavene med CAS

Merk at vi også kan finne skalarproduktet mellom u og v med kommandoen Skalarprodukt(u,v). Lengden av v kan vi også finne med kommandoen Lengde(v).

4.1.20

Lag et program som regner ut vektorkoordinatene til vektoren mellom to punkter A og B som brukeren av programmet skriver inn.

Tips til oppgaven

Vi kan skrive inn alle koordinatene én og én, men ved hjelp av metoden "split" kan vi skrive inn én og én vektor.

Løsning

Idéen er å få lagret koordinatene til hvert punkt som ei liste og gjøre om listene til en numpy-array slik at vi kan trekke den ene fra den andre i én operasjon. Brukeren av programmet kan skrive inn ett og ett punkt som vi gjør om til ei liste ved hjelp av metoden "split".

python
1import numpy as np
2
3print("Dette programmet finner vektoren mellom to punkter A og B.")
4A = input("Skriv inn koordinatene til startpunktet A på formen \"x,y,z\": ")
5B = input("Skriv inn koordinatene til endepunktet B på formen \"x,y,z\": ")
6
7A = A.split(",")
8for i in range(len(A)):
9  A[i] = float(A[i])
10A = np.array(A)
11
12B = B.split(",")
13for i in range(len(B)):
14  B[i] = float(B[i])
15B = np.array(B)
16
17vektor = B - A
18print(f"Vektoren mellom A og B blir {list(vektor)}.")

Legg merke til at for å få skrevet ut apostrofene i inputsetningene, skriver vi "\" (omvendt skråstrek) foran dem. I siste linje konverterer vi vektoren tilbake til ei liste, for da blir det skrevet ut et komma mellom hvert listeelement (hver koordinat).

Det er mulig å lage kortere kode enn dette eksempelet. Ved å bruke såkalt "list comprehension" kan vi for eksempel slå sammen linje 8 til 10 og linje 13 til 15. Koden nedenfor gjør det samme som linje 8 til 10:

python
1A = np.array([float(k) for k in A])

Vi kan videre slå sammen denne linja med linje 7 slik at linjene 7 til 10 kan skrives som

python
1A = np.array([float(k) for k in A.split(",")])