Vi kan utlede en formel for vektorproduktet hvor vi bruker vektorkoordinatene.
Koordinatformel for vektorproduktet
Det er vanskelig å komme fram til koordinatene til et vektorprodukt mellom to vektorer ved å bruke definisjonen på vektorproduktet. Det har du sett om du har prøvd deg på oppgave 4.1.34. Vi vil finne en måte å regne ut koordinatene på ved hjelp av koordinatene til vektorene i vektorproduktet.
Vi setter og b→=x2,y2,z2. Vi starter slik vi gjør for å komme fram til en formel til skalarproduktet: Vi uttrykker vektorene ved hjelp av enhetsvektorene. I tillegg trenger vi flere av regnereglene for vektorproduktet, som du finner nederst på teorisiden "Vektorproduktet. Høyrehåndsregelen".
I utregningene nedenfor har vi brukt rød farge på det som har med x å gjøre, blå farge på det som har med y å gjøre, og grønn farge på det som har med z å gjøre. Vi får
Klarer du å fortsette utregningen over på egen hånd? Prøv før du ser på løsningen nedenfor. Utregningen er også gjennomgått i den første videoen nederst på siden.
Videre utregning
I utregningen videre har vi kuttet ut fargene på de skalare størrelsene x1,y2 og så videre. Vi får
I siste linje i boksen over har vi skrevet resultatet på koordinatform.
Koordinatformel for vektorproduktet
Vi har gitt a→=x1,y1,z1 og b→=x2,y2,z2. Da er
a→×b→=y1z2-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1
Det er ikke noe problem å huske dette resultatet, eller …?
Praktisk framgangsmåte ved utregning av vektorproduktet
Du trenger egentlig ikke å pugge resultatet over. Det er enklere å bruke en tabell som den nedenfor når du skal regne ut et vektorprodukt med koordinater.
I tabellen er det satt opp ei rekke med enhetsvektorene og koordinatene to ganger. Nedenfor har vi vist hvordan vi bruker tabellen:
Skriv en framgangsmåte for hvordan tabellen kan brukes. Forklar hva pilene betyr.
Framgangsmåte og forklaring
x-koordinaten til kryssproduktet er y1z2-y2z1. Denne får vi ved å følge pila på skrå nedover fra ex→ til y1. Vi fortsetter på skrå nedover i pilretningen og multipliserer y1 og z2. Vi følger den stiplede pila fra z2 til y2, fortsetter på skrå opp til høyre til z1 og trekker fra produktet y2z1.
Vi kan skrive en tilsvarende framgangsmåte for y-koordinaten ved å starte ved ey→.
Pilene betyr derfor dette:
Stiplede piler viser retning.
Pil på skrå nedover (rød) viser et produkt som skal legges til.
Pil på skrå oppover (blå) viser et produkt som skal trekkes fra.
Nederst på siden kan du se en video som viser dette mer i detalj.
Vi håper du skjønner systemet! Vi skal se på et eksempel.
Eksempel
Prøv å lage en slik tabell som over når du skal finne vektorproduktet nedenfor.
Vi trenger ikke første og siste kolonne i tabellen siden de ikke brukes i utregningen.
Kontroll av utregningen av vektorproduktet
Det kan være lurt å gjøre det til en vane å bruke skalarproduktet til å kontrollere at den vektoren vi finner, er vinkelrett på de to vektorene vi startet med. Det er fort gjort, og det vil avsløre om vi eventuelt har regnet feil.
Gjør denne kontrollen med både a→ og b→ før du ser på løsningen nedenfor.
Siden skalarproduktene blir null, vet vi at a→⊥c→∧b→⊥c→, og at vi mest sannsynlig har regnet riktig da vi regnet ut vektorproduktet.
Med litt trening kan du regne ut vektorproduktet av to vektorer uten å måtte sette opp hele tabellen.
Vektorproduktet med CAS
I CAS i GeoGebra får vi samme resultat. Kommandoen Vektorprodukt(a,b) gir oss vektorproduktet mellom a→ og b→. Vi kan også fra skjermtastaturet i GeoGebra hente opp vektorproduktet med symbolet som er et kryss i en sirkel, se linje 4 nedenfor. På en Windows-pc kan i tillegg hurtigtasten "shift + alt + 8" brukes for å hente dette symbolet.
Video om koordinatformelen for vektorproduktet
Video om utregning av koordinatene til vektorproduktet uten hjelpemidler