Njuike sisdollui
Bargobihttá

Vektorproduktet. Høyrehåndsregelen

Her får du øvd på å bruke vektorproduktet og høyrehåndsregelen ved hjelp av definisjonen på vektorproduktet.

4.1.30

Figurene viser vektorene a, b og c. Avklar for hvert tilfelle om det er mulig at c=a×b.

a) På figuren tenker vi oss at a og b peker på skrå bort fra oss.

Løsning

Siden vektorene a, b og c følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at c=a×b.

b) På figuren tenker vi oss at a og b peker på skrå bort fra oss.

Løsning

c kan ikke være kryssproduktet av a og b siden vektorene a, b og c ikke følger høyrehåndsregelen. Da måtte i tilfelle c ha pekt oppover på figuren i stedet for nedover.

c) På figuren tenker vi oss at a og c peker på skrå bort fra oss.

Løsning

c kan ikke være kryssproduktet av a og b fordi c ikke står normalt på a.

d) På figuren tenker vi oss at b og c peker på skrå bort fra oss.

Løsning

Siden vektorene a, b og c følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at c=a×b.

e) På figuren tenker vi oss at b og c peker på skrå bort fra oss.

Løsning

c kan ikke være kryssproduktet av a og b siden vektorene a, b og c ikke følger høyrehåndsregelen. Da måtte i tilfelle c ha pekt svakt på skrå nedover til høyre på figuren i stedet for svakt oppover til venstre.

f) Studer 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Utgjør koordinataksene et høyrehåndssystem?

Løsning

Før vi kan svare på dette, må vi sette opp en rekkefølge på koordinataksene. Den naturlige rekkefølgen er den alfabetiske, altså x-y-z. I denne rekkefølgen følger koordinataksene høyrehåndsregelen.

4.1.31

På figuren er c=a×b.

a) Hva får vi dersom vi tar b×a?

Løsning

Både for a×b og b×a gjelder at resultatet er lik a·b·sinθ. Så vektoren b×a må være like lang som c. Når a og b bytter plass, gir høyrehåndsregelen at kryssproduktet må være en vektor i motsatt retning av c. Det betyr at

a×b=c      b×a=-c

b) Hva får vi dersom vi tar -a×b?

Løsning

-a vil gå nedover mot høyre på figuren, det vil si i motsatt retning av a. Da vil høyrehåndsregelen gi en vektor som peker i motsatt retning av c. Lengden av -a×b blir

-a×b=-a·b·sin180°-θ=a·b·sinθ=c

Det betyr at

-a×b=-c

c) Hva får vi dersom vi tar a×a?

Løsning

Vi ser på lengden av a×a.

a×a=a·a·sin0°=0

En vektor med lengde lik 0 kaller vi nullvektoren, eller 0. En vektor kryssmultiplisert med seg selv gir derfor nullvektoren som resultat. Vi får

a×a=0=0,0,0

d) Hva blir resultatet av u×v dersom uv?

Løsning

Dersom uv, får vi

u×v=u·v·sin0°=0

Det betyr at

u×v=0=0,0,0

4.1.32

a) Finn ex×ey ved å bruke definisjonen på vektorproduktet.

Løsning

Vi har fra oppgave 4.1.30 f) at koordinataksene følger høyrehåndsregelen. Det betyr at vektoren som er resultatet av ex×ey, må peke i positiv z-retning siden den skal stå normalt på både ex og ey. Så ser vi på lengden av vektoren:

ex×ey=ex·ey·sinex,ey=1·1·sin90°=1

Vektoren med lengde 1 og retning i positiv z-retning er ez. Vi får derfor at

ex×ey=ez

b) Finn på tilsvarende måte ey×ez.

Løsning

Siden koordinataksene følger høyrehåndsregelen i rekkefølgen x-y-z, vil de også gjøre det i rekkefølgen y-z-x. Ved å la pekefingeren peke i positiv y-retning og langfingeren i positiv z-retning vil tommelfingeren peke i positiv x-retning. Ved å følge tilsvarende resonnement som i a) får vi at

ey×ez=ex

c) Finn på tilsvarende måte ey×ey.

Løsning

I oppgave 4.1.31 c) så vi at en vektor kryssmultiplisert med seg selv gir nullvektoren som svar. Da får vi

ey×ey=0

d) Skriv opp et vektorprodukt mellom to av enhetsvektorene slik at resultatet blir ey.

Løsning

Vi trenger riktig rekkefølge på koordinataksene når rekkefølgen skal slutte på y. Det må bli z-x-y. Det betyr at

ey=ez×ex

e) Skriv opp et vektorprodukt mellom to av enhetsvektorene slik at resultatet blir -ex.

Løsning

Vi har fra oppgave b) at ex=ey×ez. I oppgave 4.1.21 a) så vi at

a×b=c      b×a=-c

Det betyr når vi bytter om på vektorene som kryssmultipliseres, får vi den samme vektoren, men motsatt rettet. Da får vi

-ex=ez×ey

4.1.33

Hvorfor har vektorproduktet i utgangspunktet ingen mening i et todimensjonalt koordinatsystem?

Forklaring

I en todimensjonal verden kan vi ikke tenke oss en vektor som står normalt på to vektorer som ikke er parallelle, for da må vi bevege oss ut i den tredje dimensjonen.

4.1.34

Vi har gitt vektorene a=1,2,3 og b=-2,1,-3. Bruk definisjonen av vektorproduktet og finn koordinatene til a×b. Prøv å løse oppgaven uten hjelpemidler først. Kontroller svaret med CAS etterpå.

Løsning

Løsning uten hjelpemidler

Vi begynner med å finne lengden a×b.

a×b=a·b·sinθ

der θ er vinkelen mellom a og b.

a=12+22+32=1+4+9=14

b=-22+12+-32=4+1+9=14

Vi kan bruke skalarproduktet av a og b til først å finne cosθ for deretter å finne sinθ ved hjelp av enhetsformelen.

a·b = a·b·cosθcosθ = a·ba·b= 1,2,3·-2,1,-314·14= -2+2-914= -914

cos2θ+sin2θ = 1sinθ = 1-cos2θ= 1--9142= 1-81196= 196-81196= 114115

Kommentar: Enhetsformelen gir også at sinθ=-1-cos2θ, men siden vinkelen mellom to vektorer ikke kan være større enn 180°, trenger vi ikke denne løsningen. Vi får

a×b = a·b·sinθ= 14·14·114115= 115

Nå setter vi a×b=x,y,z. Vi har tre ukjente vi skal finne, og vi trenger tre likninger. Vi kan sette opp disse kravene:

  1. a·a×b = 01,2,3·x,y,z = 0x+2y+3z = 0 

  2. b·a×b = 0-2,1,-3·x,y,z = 0-2x+y-3z = 0

  3. a×b = 115x2+y2+z2 = 115

Vi kan starte med å legge sammen de to første likningene for å eliminere z. Da får vi

x+2y+3z-2x+y-3z = 0-x+3y = 0x = 3y

Vi setter resultatet inn i likning 1.

3y+2y+3z = 03z = -5yz = -53y

Vi setter disse to resultatene inn i likning 3.

x2+y2+z2 = 1153y2+y2+-53y2 = 11510y2+259y2 = 1152y2+59y2 = 2318y2+5y2 = 20723y2 = 207y2 = 9y = ±3

Det er bare den ene løsningen som kan være riktig. For å finne hvilken av disse løsningene som er riktig, kan vi se på i hvilken del av koordinatsystemet a og b ligger i. Vi lager en rask skisse som viser omtrent hvor de to vektorene ligger.

a ligger i den delen av koordinatsystemet der alle koordinatene er positive. b ligger i den delen med negativ x- og z-koordinat og positiv y-koordinat.

Ut ifra bildet gir høyrehåndsregelen at a×b må peke til venstre i bildet og ha negativ x-koordinat. Siden x=3y, har x og y samme fortegn. Derfor slår vi fast at

y=-3

Da får vi videre at

z=-53y=-53·-3=5

og

x=3y=3·-3=-9

Vi får til slutt at

a×b=-9,-3,5

Løsning med CAS

Som ved løsning uten hjelpemidler må vi inn med en skisse og prøve å bestemme hvilken av løsningene som er riktig, det vil si hvilken av løsningene som gjør at a, b og a×b følger høyrehåndsregelen. Med samme resonnement får vi samme løsning:

a×b=-9,-3,5

Sluttkommentar: Dette er en veldig tungvint måte å finne koordinatene til a×b på. På teorisiden "Vektorproduktet. Koordinatformel" kan du lære en mye raskere metode.


Guoskevaš sisdoallu

Fágaávdnasat
Vektorproduktet. Koordinatformel

Vi regner vektorproduktet på koordinatform og bruker definisjonen av vektorproduktet til å komme fram til en formel.