Her får du øvd på å bruke vektorproduktet og høyrehåndsregelen ved hjelp av definisjonen på vektorproduktet.
4.1.30
Figurene viser vektorene og c→. Avklar for hvert tilfelle om det er mulig at c→=a→×b→.
a) På figuren tenker vi oss at a→ og b→ peker på skrå bort fra oss.
Løsning
Siden vektorene a→,b→ og c→ følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at c→=a→×b→.
b) På figuren tenker vi oss at a→ og b→ peker på skrå bort fra oss.
Løsning
c→ kan ikke være kryssproduktet av a→ og b→ siden vektorene a→,b→ og c→ ikke følger høyrehåndsregelen. Da måtte i tilfelle c→ ha pekt oppover på figuren i stedet for nedover.
c) På figuren tenker vi oss at a→ og c→ peker på skrå bort fra oss.
Løsning
c→ kan ikke være kryssproduktet av a→ og b→ fordi c→ ikke står normalt på a→.
d) På figuren tenker vi oss at b→ og c→ peker på skrå bort fra oss.
Løsning
Siden vektorene a→,b→ og c→ følger høyrehåndsregelen, kan vi ha at c→=a→×b→.
e) På figuren tenker vi oss at b→ og c→ peker på skrå bort fra oss.
Løsning
c→ kan ikke være kryssproduktet av a→ og b→ siden vektorene a→,b→ og c→ ikke følger høyrehåndsregelen. Da måtte i tilfelle c→ ha pekt svakt på skrå nedover til høyre på figuren i stedet for svakt oppover til venstre.
f) Studer 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Utgjør koordinataksene et høyrehåndssystem?
Løsning
Før vi kan svare på dette, må vi sette opp en rekkefølge på koordinataksene. Den naturlige rekkefølgen er den alfabetiske, altså x-y-z. I denne rekkefølgen følger koordinataksene høyrehåndsregelen.
4.1.31
På figuren er c→=a→×b→.
a) Hva får vi dersom vi tar b→×a→?
Løsning
Både for a→×b→ og b→×a→ gjelder at resultatet er lik a→·b→·sinθ. Så vektoren b→×a→ må være like lang som c→. Når a→ og b→ bytter plass, gir høyrehåndsregelen at kryssproduktet må være en vektor i motsatt retning av c→. Det betyr at
a→×b→=c→⇔b→×a→=-c→
b) Hva får vi dersom vi tar -a→×b→?
Løsning
-a→ vil gå nedover mot høyre på figuren, det vil si i motsatt retning av a→. Da vil høyrehåndsregelen gi en vektor som peker i motsatt retning av c→. Lengden av -a→×b→ blir
-a→×b→=-a→·b→·sin180°-θ=a→·b→·sinθ=c→
Det betyr at
-a→×b→=-c→
c) Hva får vi dersom vi tar a→×a→?
Løsning
Vi ser på lengden av a→×a→.
a→×a→=a·a·sin0°=0
En vektor med lengde lik 0 kaller vi nullvektoren, eller 0→. En vektor kryssmultiplisert med seg selv gir derfor nullvektoren som resultat. Vi får
a→×a→=0→=0,0,0
d) Hva blir resultatet av u→×v→ dersom u→∥v→?
Løsning
Dersom u→∥v→, får vi
u→×v→=u→·v→·sin0°=0
Det betyr at
u→×v→=0→=0,0,0
4.1.32
a) Finn ex→×ey→ ved å bruke definisjonen på vektorproduktet.
Løsning
Vi har fra oppgave 4.1.30 f) at koordinataksene følger høyrehåndsregelen. Det betyr at vektoren som er resultatet av ex→×ey→, må peke i positiv z-retning siden den skal stå normalt på både ex→ og ey→. Så ser vi på lengden av vektoren:
ex→×ey→=ex→·ey→·sin∠ex→,ey→=1·1·sin90°=1
Vektoren med lengde 1 og retning i positiv z-retning er ez→. Vi får derfor at
ex→×ey→=ez→
b) Finn på tilsvarende måte ey→×ez→.
Løsning
Siden koordinataksene følger høyrehåndsregelen i rekkefølgen x-y-z, vil de også gjøre det i rekkefølgen y-z-x. Ved å la pekefingeren peke i positiv y-retning og langfingeren i positiv z-retning vil tommelfingeren peke i positiv x-retning. Ved å følge tilsvarende resonnement som i a) får vi at
ey→×ez→=ex→
c) Finn på tilsvarende måte ey→×ey→.
Løsning
I oppgave 4.1.31 c) så vi at en vektor kryssmultiplisert med seg selv gir nullvektoren som svar. Da får vi
ey→×ey→=0→
d) Skriv opp et vektorprodukt mellom to av enhetsvektorene slik at resultatet blir ey→.
Løsning
Vi trenger riktig rekkefølge på koordinataksene når rekkefølgen skal slutte på y. Det må bli z-x-y. Det betyr at
ey→=ez→×ex→
e) Skriv opp et vektorprodukt mellom to av enhetsvektorene slik at resultatet blir -ex→.
Løsning
Vi har fra oppgave b) at ex→=ey→×ez→. I oppgave 4.1.21 a) så vi at
a→×b→=c→⇔b→×a→=-c→
Det betyr når vi bytter om på vektorene som kryssmultipliseres, får vi den samme vektoren, men motsatt rettet. Da får vi
-ex→=ez→×ey→
4.1.33
Hvorfor har vektorproduktet i utgangspunktet ingen mening i et todimensjonalt koordinatsystem?
Forklaring
I en todimensjonal verden kan vi ikke tenke oss en vektor som står normalt på to vektorer som ikke er parallelle, for da må vi bevege oss ut i den tredje dimensjonen.
4.1.34
Vi har gitt vektorene a→=1,2,3 og b→=-2,1,-3. Bruk definisjonen av vektorproduktet og finn koordinatene til a→×b→. Prøv å løse oppgaven uten hjelpemidler først. Kontroller svaret med CAS etterpå.
Løsning
Løsning uten hjelpemidler
Vi begynner med å finne lengden a→×b→.
a→×b→=a→·b→·sinθ
der θ er vinkelen mellom a→ og b→.
a→=12+22+32=1+4+9=14
b→=-22+12+-32=4+1+9=14
Vi kan bruke skalarproduktet av a→ og b→ til først å finne cosθ for deretter å finne sinθ ved hjelp av enhetsformelen.
Kommentar: Enhetsformelen gir også at sinθ=-1-cos2θ, men siden vinkelen mellom to vektorer ikke kan være større enn 180°, trenger vi ikke denne løsningen. Vi får
a→×b→=a→·b→·sinθ=14·14·114115=115
Nå setter vi a→×b→=x,y,z. Vi har tre ukjente vi skal finne, og vi trenger tre likninger. Vi kan sette opp disse kravene:
a→·a→×b→=01,2,3·x,y,z=0x+2y+3z=0
b→·a→×b→=0-2,1,-3·x,y,z=0-2x+y-3z=0
a→×b→=115x2+y2+z2=115
Vi kan starte med å legge sammen de to første likningene for å eliminere z. Da får vi
Det er bare den ene løsningen som kan være riktig. For å finne hvilken av disse løsningene som er riktig, kan vi se på i hvilken del av koordinatsystemet a→ og b→ ligger i. Vi lager en rask skisse som viser omtrent hvor de to vektorene ligger.
a→ ligger i den delen av koordinatsystemet der alle koordinatene er positive. b→ ligger i den delen med negativ x- og z-koordinat og positiv y-koordinat.
Ut ifra bildet gir høyrehåndsregelen at a→×b→ må peke til venstre i bildet og ha negativ x-koordinat. Siden x=3y, har x og y samme fortegn. Derfor slår vi fast at
y=-3
Da får vi videre at
z=-53y=-53·-3=5
og
x=3y=3·-3=-9
Vi får til slutt at
a→×b→=-9,-3,5
Løsning med CAS
Som ved løsning uten hjelpemidler må vi inn med en skisse og prøve å bestemme hvilken av løsningene som er riktig, det vil si hvilken av løsningene som gjør at a→, b→ og a→×b→ følger høyrehåndsregelen. Med samme resonnement får vi samme løsning: