En utvidelse fra to til tre dimensjoner gjør ikke den grunnleggende vektorregningen vanskeligere, men gir noen flere muligheter.
De fleste regnereglene for vektorer er like uansett om vektorene er i to eller tre dimensjoner. Se gjerne på vektorkapittelet i matematikk R1 hvis du trenger repetisjon før du setter i gang.
Vektoren mellom to punkter
I to dimensjoner
Husker du hvordan man finner koordinatene til vektoren mellom to punkter, for eksempel punktene og B(7,1)? Finn koordinatene til AB→, og sjekk med framgangsmåten nedenfor.
Utregning av vektorkoordinater i to dimensjoner
Vi tar koordinatene til B og trekker fra koordinatene til A.
AB→=7-2,1-4=5,-3
Det betyr at for å komme fra A til B, må vi gå 5 enheter i positiv x-retning og 3 enheter i negativ y-retning. Du kan lese mer om dette i faget R1 på teorisiden "Posisjonsvektor og vektor mellom punkter" hvis du vil.
I tre dimensjoner
Vi tenker på samme måte når vi skal finne vektoren mellom to punkter i tre dimensjoner. Prøv å finne koordinatene til AB→ når punktene erA(4,2,1) og B(-1,4,3).
Koordinatene til vektoren mellom A og B i tre dimensjoner
Vi tar koordinatene til B og trekker fra koordinatene til A som for vektorer i to dimensjoner.
AB→=-1-4,4-2,3-1=-5,2,2
Tegning av vektorer i tre dimensjoner
Bruk GeoGebra. Tegn punktene A og B fra forrige avsnitt. Tegn AB→ ved å bruke kommandoen Vektor(A,B) i algebrafeltet.
Tegning av vektorer i 3D-grafikkfeltet
Vi skriver først inn punktene i algebrafeltet før vi bruker vektorkommandoen. Resultatet kan se slik ut, her har vi skrevet inn navnet på vektoren og koordinatene manuelt i koordinatsystemet:
Roter på koordinatsystemet ditt for å se hvordan vektoren ser ut fra flere kanter.
Posisjonsvektoren
Prøv kommandoen v=(-5,2,2) og kommandoen P=(-5,2,2) i algebrafeltet. Hva får du?
Punkt og vektor i GeoGebra
Den første kommandoen lager den samme vektoren som AB→, men nå tegnet ut fra origo. Vektorpila ender i punktet P. Hvis vi kaller origo for O, vil vektoren vi har tegnet, kalles OP→ og være posisjonsvektoren til punktet P.
Merk at når vi bruker en liten bokstav på navnet slik som i den første av de to kommandoene, lager GeoGebra automatisk en vektor. Bruker vi stor bokstav, lager GeoGebra et punkt.
Vektorer uttrykt ved hjelp av enhetsvektorene
I R1 uttrykker vi vektorer i to dimensjoner ved hjelp av enhetsvektorene slik:
a→=2,3=2·ex→+3·ey→
Her er ex→=1,0 og ey→=0,1enhetsvektorene i henholdsvis x- og y-retning.
Enhetsvektorer i tre dimensjoner
I et tredimensjonalt koordinatsystem må enhetsvektorene ha 3 koordinater. I tillegg må vi ha en tredje enhetsvektor for z-retningen. Lengden på vektorene skal fortsatt være 1.
Skriv opp navn og koordinater til de tre enhetsvektorene i tre dimensjoner.
Enhetsvektorene i tre dimensjoner
ex→=1,0,0ey→=0,1,0ez→=0,0,1
Skalarproduktet
Husker du definisjonen på skalarproduktet mellom to vektorer a→ og b→ når vinkelen mellom vektorene er α?
Definisjon på skalarproduktet
a→·b→=a→·b→·cosα
Denne definisjonen gjelder enten vektorene er i to eller tre dimensjoner. Husk at a→ betyr lengden av a→.
Skalarproduktet på koordinatform i to dimensjoner
Skalarproduktet mellom vektorene a→=x1,y1 og b→=x2,y2 på koordinatform er
a→·b→=x1,y1·x2,y2=x1·x2+y1·y2
Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjoner
Hva tror du skalarproduktet mellom vektorene a→=x1,y1,z1 og b→=x2,y2,z2 på koordinatform blir? Gå til oppgave 4.1.16 for å utforske dette.
Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjoner
Skalarproduktet regnes ut på tilsvarende måte i tre dimensjoner som i to dimensjoner.
a→·b→=x1,y1,z1·x2,y2,z2=x1·x2+y1·y2+z1·z2
Lengden av en vektor
Lengden av a→=x,y, a→, er
a→=x2+y2
Hva tror du formelen for lengden av a→=x,y,z er? Gå til oppgave 4.1.17 a), b) og c) for å utforske dette før du ser på fasiten nedenfor.
Lengden av en vektor i tre dimensjoner
a→=x2+y2+z2
Tenk over
Hvorfor kalles vektorene ex→,ey→og ez→enhetsvektorer?
Om enhetsvektorene
Lengden på enhetsvektorene er 1. Kontroller at det stemmer.
Oppsummering
Vektoren mellom to punkter A og B
Gitt A=x1,y1,z1 og B=x2,y2,z2. Da er
AB→=x2-x1,y2-y1,z2-z1
Posisjonsvektoren til et punkt P
Gitt P=x,y,z. Da er posisjonsvektoren OP→ til punktet