Skalarproduktet mellom to vektorer gir en skalar, et tall, til svar. Det finnes også et produkt mellom to vektorer som gir en ny vektor til svar: vektorproduktet. Et vektorprodukt kan brukes til mye både innenfor matematikk og fysikk.
Definisjon av vektorproduktet
Vektorproduktet eller kryssproduktet mellom to vektorer a→ og b→ er en ny vektor som står vinkelrett på både a→ og b→. Vektorproduktet er definert slik at lengden av vektoren a→×b→ er gitt ved
a→×b→=a→·b→·sinθ
der θ (den greske bokstaven "theta") er vinkelen mellom a→ og b→. Retningen på a→×b→ finner vi ved å bruke det vi kaller høyrehåndsregelen, som betyr at vektorene følger et høyrehåndssystem.
Før vi går videre med vektorproduktet, ser vi på hva vi mener med et høyrehåndssystem.
Høyrehåndssystem
I et høyrehåndssystem av vektorene a→,b→ og c→ – i den rekkefølgen – står den tredje vektoren, c→, vinkelrett på begge de to andre vektorene slik at vektorene følger høyrehåndsregelen:
La pekefingeren på høyre hånd peke i retningen til den første vektoren, a→.
La langfingeren peke i retningen til den andre vektoren, b→, slik som på bildet.
Strekk ut tommelen. Da peker den i retningen til den tredje vektoren, c→.
Siden vektorene a→,b→ og a→×b→ skal følge høyrehåndsregelen, må vektoren a→×b→ peke i samme retning som c→.
Studer den øverste figuren. Kontroller ved hjelp av reglene over at de tre vektorene a→,b→ og a→×b→ danner et høyrehåndssystem. Da sier vi at vektorene følger høyrehåndsregelen.
Tenk over
Er det andre mulige retninger en vektor c→ kan ha og samtidig stå normalt på både a→ og b→?
Forklaring
Vi kan se for oss at a→ og b→ ligger i xy-planet i et tredimensjonalt koordinatsystem slik som på figuren øverst. Da peker a→×b→ i negativ z-retning. En vektor c→ i positivz-retning vil også stå normalt på a→ og b→. Men da følger ikke vektorene a→,b→ og c→ høyrehåndsregelen lenger. Undersøk at dette stemmer!
Vektorproduktet oppsummert
a→×b→ er en vektor som oppfyller disse kravene:
a→×b→ står vinkelrett på både a→ og b→ slik at vektorene a→,b→ og a→×b→ danner et høyrehåndssystem.
a→×b→=a→·b→·sinθ der θ er vinkelen mellom a→ og b→.
Regneregler for vektorproduktet
Vektorproduktet oppfyller den distributive loven med hensyn på vektoraddisjon. Det betyr at
u→×v→+w→=u→×v→+u→×w→
Dersom k er en skalar, gjelder videre at
k·u→×v→=u→×k·v→=k·u→×v→
Vi viser ikke disse to reglene her.
Tenk over
Hva blir b→×a→ hvis a→×b→=c→?
Regel for ombytting av vektorene i et kryssprodukt
Dersom de to vektorene som skal kryssmultipliseres, bytter plass, gir høyrehåndsregelen at kryssproduktet blir en vektor i motsatt retning av den opprinnelige. Siden lengdene av vektorene og vinkelen er den samme, blir lengden av kryssproduktvektoren den samme som opprinnelig. Det betyr at
dersom a→×b→=c→, blir b→×a→=-c→.
Eksempel fra fysikk: ladd partikkel i magnetfelt
En positivt ladd partikkel med ladning q kommer med fart v→ inn i et magnetfelt med styrke B→, se figuren. Fartsvektoren v→ danner vinkelen θ med vektoren B→ for magnetfeltet. Partikkelen vil da utsettes for en kraft F→.
En av fysikkens lover sier at kraften F→ på partikkelen oppfyller disse kravene:
F→=q·v·B·sinθ
F→ står normalt på både v→ og B→ (F→⊥v→ og F→⊥B→) slik at v→, B→ og F→ følger høyrehåndsregelen.
Kraften på en ladd partikkel skrevet på vektorform
Hvordan skriver vi kraften på en ladd partikkel i eksempelet over på vektorform ved hjelp av vektorproduktet?
Kraften skrevet ved hjelp av vektorproduktet
Siden vektorene v→, B→ og F→ følger de to reglene over, kan vi skrive
F→=q·v→×B→
Legg merke til at slik vektorproduktet er definert, vil denne likningen inneholde informasjonen både om absoluttverdienF→ til kraften og retningen til F→.
Legg også merke til at ladningen q er en skalar størrelse som ikke inngår direkte i vektorproduktet.
Regler i forbindelse med vektorproduktet
Definisjon av vektorproduktet (kryssproduktet)
a→×b→ er en vektor som oppfyller disse kravene:
a→×b→ står vinkelrett på både a→ og b→ slik at vektorene a→,b→ og a→×b→ danner et høyrehåndssystem.
a→×b→=a→·b→·sinθ der θ er vinkelen mellom a→ og b→.