Koordinatsystem i tre dimensjoner. Avstand mellom punkter
På vg1 og vg2 jobbet du med koordinatsystemer i to dimensjoner. Men verden er ikke todimensjonal, og på vg3 blir matematikken tredimensjonal.
I matematikk R2 skal vi studere ulike objekter som vektorer, plan og kuler i tre dimensjoner eller i rommet, som vi også sier. Når vi skal tegne disse objektene, bruker vi 3D-grafikkfeltet i GeoGebra.
Punkter i et tredimensjonalt koordinatsystem med GeoGebra
Øvelse
Vi begynner i det vanlige todimensjonale koordinatsystemet og tegner punktet ved å skrive (3,2) i algebrafeltet i GeoGebra. Gå til innstillingene til punktet og endre slik at det er koordinatene til punktet (verdien) som vises, ikke navnet. Da skal det vanlige todimensjonale grafikkfeltet i GeoGebra se ut omtrent som den øverste figuren.
Slå på visning av 3D-grafikkfeltet. Da får vi et nytt koordinatsystem der vi i tillegg til x- og y-aksen har fått en tredje akse: z-aksen. Dersom koordinataksene ikke automatisk får navn, kan du høyreklikke på en tom plass i 3D-grafikkfeltet, velge "Grafikkfelt 3D ..." og skrive inn navn på de tre koordinataksene på samme måte som du gjør i det vanlige grafikkfeltet. Punktet vi skrev inn, vises, og det ligger i det vi kaller xy-planet, som er ett av de tre koordinatplanene. Dobbeltklikk på punktet i 3D-grafikkfeltet. Da får plutselig punktet en tredje koordinat, 0. Se den andre figuren.
Den tredje koordinaten er z-koordinaten til punktet når vi er i et tredimensjonalt koordinatsystem.
Tenk over
Hva forteller z-koordinaten til et punkt?
Betydningen til z-koordinaten
z-koordinaten forteller hvor stor avstanden er til xy-planet.
Skriv en tilsvarende forklaring om hva x- og y-koordinaten til et punkt forteller.
Betydningen til x- og y-koordinaten
x-koordinaten forteller hvor stor avstanden til yz-planet er. y-koordinaten forteller hvor stor avstanden til xz-planet er.
Nytt punkt
Skriv inn punktet 3,2,3 i algebrafeltet og kontroller at punktet vises i 3D-grafikkfeltet.
Hvorfor vises ikke det nye punktet i 2D-grafikkfeltet?
Forklaring
Punktet vises ikke fordi det ikke ligger i xy-planet slik som det første punktet. Det todimensjonale grafikkfeltet til GeoGebra vil bare vise objekter som ligger i xy-planet.
Tenk over
Er det lett å finne avstanden mellom punktene 3,2,0 og 3,2,3? Hva blir avstanden?
Avstand mellom punktene
Vi antar nå at det første punktet heter A og det andre B. Siden B ligger rett over A sett fra xy-planet, må avstanden være lik z-koordinaten til B, altså 3. For å kontrollere dette kan du skrive Avstand(A,B) i algebrafeltet eller i CAS-feltet (dersom punktene heter A og B).
Tilpasning av 3D-grafikkfeltet
Du kan rotere og flytte på det tredimensjonale koordinatsystemet i GeoGebra ved å "dra" med musepekeren. Prøv dette:
Roter på aksene slik at du sikter langs xy-planet.
Roter på aksene slik at du sikter ned langs z-aksen i negativ retning, altså at du ser rett ned på xy-planet. Ser du begge punktene nå?
Hold Shift-knappen nede på tastaturet mens du drar. Hva skjer?
Legg også merke til at når 3D-grafikkfeltet er aktivt, kommer en ny verktøyrad opp.
Avstanden mellom to punkter
Avstanden mellom to punkter i xy-planet
Husker du hva formelen for avstanden mellom to punkter Ax1,y1 og Bx2,y2 i to dimensjoner er? Kan du finne den ut ifra figuren?
Avstand mellom punkter i planet
Avstanden, eller linjestykket AB, danner hypotenusen i en rettvinklet trekant der den vannrette kateten har lengde x2-x1 og den loddrette kateten har lengde y2-y1. Vi kan derfor bruke pytagorassetningen på sidene i trekanten, og lengden av hypotenusen blir derfor
AB2=x2-x12+y2-y12AB=x2-x12+y2-y12
Avstanden mellom to punkter i rommet
Formler for avstand mellom punkter i rommet er gitt i boksene under. Utledningen av formlene skal du gjøre i oppgave 4.1.5 og 4.1.6, som du finner på oppgavesiden. Det lønner seg å gjøre oppgavene før du ser for nøye på formlene i boksen!
Avstand OP fra origo til punktet Px,y,z:
OP=x2+y2+z2
Avstanden AB mellom punktene Ax1,y1,z1 og Bx2,y2,z2: