Areal og volum med vektorproduktet

Arealsetningen for trekanter

Husker du arealsetningen for trekanter? Den bruker vi når vi kjenner to av sidene i trekanten og den mellomliggende vinkelen.

Studer figuren. Arealsetningen, som gir oss arealet $$ A_{△}$$ av trekanten $$ ABC$$, er gitt ved

$$ A_{△}=\frac{1}{2}·a·b·\sin C$$

Arealsetningen for trekanter med vektorproduktet

Nå tenker vi oss den samme trekanten, men utspent av vektorene $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$, se figuren. Vi kaller vinkelen mellom vektorene for $$ \theta $$. Kan du omforme arealsetningen ved å bruke de nye navnene på sidene?

Tenk over

Uttrykket i boksen over er svært likt lengden av vektorproduktet mellom $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$. Hva er forskjellen?

Siden $$ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \theta $$, får vi derfor følgende formel for arealet $$ A_{△}$$ ut ifra $$ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$$:

Arealsetningen for parallellogrammer

Figuren viser et parallellogram utspent av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$.

Tenk over

Forklar hvorfor figuren er et parallellogram.

Tenk over

Hva er forskjellen på arealet $$ A_{▱}$$ av parallellogrammet og arealet $$ A_{△}$$ av trekanten lenger opp på siden?

Da kan vi skrive opp formelen for arealet $$ A_{▱}$$ av parallellogrammet utspent av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ :

Tenk over

Gjelder formelen i boksen over for rektangler?

Volumet av et parallellepiped

Et parallellepiped er et sekskantet legeme der to og to sideflater er like og parallelle. Du kjenner det kanskje som "skrått prisme" fra tidligere.

Nedenfor har vi tegnet et parallellepiped utspent av de tre vektorene $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{c}$$ på tilsvarende måte som vektorene $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ spenner ut et parallellogram i to dimensjoner. Figuren er interaktiv, så du kan dra i den for å studere den fra flere sider.

Vi ønsker å finne volumet av parallellepipedet uttrykt ved vektorene $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{c}$$. Formelen for volumet av et parallellepiped er den samme som for et firkantet prisme:

$$ V=G·h$$

der $$ G$$ er arealet av den flaten vi velger som grunnflate, og $$ h$$ er avstanden mellom grunnflaten og det som blir toppflaten.

Nå velger vi flaten som spennes ut av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ som grunnflate. Da er det $$ h$$ på figuren som blir høyden eller avstanden mellom grunnflate og toppflate.

Arealet $$ G$$ av grunnflaten, som har form som et parallellogram, blir

$$ G=\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$$

Tenk over

Vi trenger videre å finne et uttrykk for høyden $$ h$$. Hva blir uttrykket for $$ h$$ gitt ut ifra $$ \overrightarrow{c}$$ og vinkelen $$ \alpha $$?

Nå kan vi lage en formel for volumet av parallellepipedet:

$$ \begin{array}{rcl}V & =& G·h\\ & =& \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|·\left|\overrightarrow{c}\right|·\cos \alpha \end{array}$$

Dette er det samme som skalarproduktet mellom vektorene $$ \overrightarrow{c}$$ og $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ siden $$ \alpha $$ er vinkelen mellom disse. Resultatet blir at volumet kan skrives som en kombinasjon av et vektorprodukt og et skalarprodukt!

$$ V=\left|\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)·\overrightarrow{c}\right|$$

Siden vi kan ha tilfeller der $$ \alpha >90°$$, som gjør at skalarproduktet blir negativt, må vi ta absoluttverdien av skalarproduktet.

Tenk over

Spiller rekkefølgen av de tre vektorene noen rolle for resultatet av utregningen av volumet?

Volumet av pyramider

Figuren nedenfor viser en trekantet og en firkantet pyramide utspent av vektorene $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{c}$$.

Gå til oppgave 4.1.52 på oppgavesiden "Areal og volum med vektorproduktet" for å komme fram til formlene for volumet.

Nedenfor har vi oppsummert formlene på denne siden.