Njuike sisdollui
Bargobihttá

Areal og volum med vektorproduktet

Her får du øvd på å bruke vektorer til å regne ut areal og volum.

4.1.50

Løs oppgaven for hånd. Kontroller svarene til slutt med CAS.

Vi har gitt punktene A-1,1,-2, B2,0,1, C1,-2,2 og D-1,-1,2 i et koordinatsystem.

a) Finn arealet av trekanten ABC ved å ta utgangspunkt i vektorene AB og AC.

Løsning

Vi finner først koordinatene til AB og AC.

AB=2--1,0-1,1--2=3,-1,3
AC=1--1,-2-1,2--2=2,-3,4

Vi må regne ut A=12AB×AC og regner først ut vektorproduktet. Du kan ha nytte av å sette opp en slik tabell som nedenfor når du skal regne ut vektorproduktet uten hjelpemidler.

exeyezexeyez3-133-132-342-34

AB×AC
   = [-1·4--3·3,3·2-4·3,3·-3-2·-1]= 5,-6,-7

Vi får

A = 12AB×AC= 1272+42+132= 1249+16+169= 12234= 129·26= 3226

b) Finn arealet av trekanten ABC ved å ta utgangspunkt i vektorene BA og BC.

Løsning

Vi finner først koordinatene til BA og BC.

BA=-AB=1,-5,1
BC=0-3,7-5,2-1=-3,2,1

A=12BA×BC

BA×BC
   = [-5·1-2·1,1·-3-1·1,1·2--3·-5]= -7,-4,-13= -7,4,13= -AB×AC

Vi får samme resultat for kryssproduktet som da vi regnet ut AB×AC, bortsett fra fortegnet. Arealet blir derfor det samme som i oppgave a) – som det burde.

c) Finn volumet av parallellepipedet utspent av vektorene AB, AC og AD.

Løsning

Volumet kan regnes ut med V=AB×AC·AD.

Vi regner først ut koordinatene til AD:

AD=3-4,5-0,4-2=-1,5,2

Vi får

V = AB×AC·AD= 7,4,13·-1,5,2= -7+20+26= 39

Kontroll av svarene med CAS

Forslag til utregning med CAS:

Dette er bare én av flere måter å gjøre disse beregningene på. For eksempel kan du definere vektorene ved å skrive AB:=Vektor(A,B) og tilsvarende for de andre vektorene, eller du kan utelate å definere de fire punktene og skrive AB:=Vektor((4,2,0),(3,5,1)). I begge tilfeller kan du for arealet i oppgave a) skrive Areal_a:=1/2*abs(Vektorprodukt(AB,AC)).

4.1.51

a) Forklar hva som skjer om vi bytter om på a og b i formelen for volumet av et parallellepiped, der formelen er

V=a×b·c

Løsning

Vi har at b×a=-a×b. Det betyr at

b×a·c=-a×b·c=a×b·c=V

Minustegnet forsvinner når vi tar absoluttverdien. Det spiller altså ingen rolle om vi bytter om på vektorene i kryssproduktet i formelen for volumet av et parallellepiped.

b) Bruk CAS til å vise at det ikke spiller noen rolle generelt om vi bytter om på vektorene når vi skal regne ut volumet av et parallellepiped.

Tips til oppgaven

Sett a=x1,y1,z1 og tilsvarende for de to andre vektorene.

Løsning

I linje 4 og 5 tester vi ved å skrive dobbelt likhetstegn at det som står på hver side, er likt, noe svarene sier at det er.

4.1.52

Figuren nedenfor viser en trekantet og en firkantet pyramide utspent av vektorene a, b og c.

a) Ta utgangspunkt i den generelle formelen for volumet av en pyramide og finn formler for volumet av de to pyramidene ved hjelp av vektorene.

Løsning

Den generelle formelen for volumet til en pyramide er V=13G·h der G·h er volumet til det tilsvarende prismet utspent av de samme vektorene. For en firkantet pyramide får vi derfor at

V=13a×b·c

For en trekantet pyramide, der grunnflaten er halvparten av grunnflaten i den firkantete, får vi at

V=12·13a×b·c=16a×b·c

b) Vil formelen for volumet av en firkantet pyramide gjelde for alle firkantete pyramider?

Løsning

Nei, grunnflaten må være et parallellogram dersom formelen skal gjelde. Dersom grunnflaten er et trapes eller en irregulær firkant, har vi ikke nok informasjon om grunnflaten ut ifra to av sidene.

4.1.53

Vi har gitt punktene A0,0,0, B3,0,0, C0,4,0 og D0,0,5.

a) Tegn punktene i et koordinatsystem. Hva slags figur blir parallellepipedet utspent av vektorene AB, AC og AD?

Løsning

Siden A ligger i origo og de tre andre punktene ligger på hver sin koordinatakse, vil parallellepipedet utspent av vektorene AB, AC og AD være et rett prisme med rektangulær grunnflate.

b) Finn volumet av parallellepipedet utspent av vektorene AB, AC og AD ved å bruke vektorregning uten hjelpemidler. Kontroller svaret ved å regne ut volumet på en enklere måte.

Løsning

Siden A ligger i origo, blir de tre vektorene AB, AC og AD posisjonsvektorene til B, C og D.

AB=3,0,0, AC=0,4,0 og AD=0,0,5

Vi trenger kryssproduktet av AB og AC for å finne volumet.

AB×AC
= [0·0-4·0,0·0-0·3,3·4-0·0]= 0,0,12

Volumet blir

V = AB×AC·AD= 0,0,12·0,0,5= 12·5= 60

Kontroll:

Sidekantene i grunnflaten er 3 og 4. Høyden er 5. Da er volumet

V=G·h=3·4·5=60

c) Finn volumet V av pyramiden med en firkantet grunnflate utspent av AB, AC og AD.

Løsning

Volumet V av den firkantete pyramiden blir 13 av volumet av prismet.

V  = 13·60= 20

d) Finn volumet V av pyramiden med en trekantet grunnflate utspent av AB, AC og AD.

Løsning

Volumet V av den trekantete pyramiden blir 16 av volumet av hele prismet.

V = 16·60= 10

4.1.54

Vi har gitt punktene A2,0,1, B4,-1,0, C4,2,3 og D6,-5,-4.

a) Bruk vektorregning uten hjelpemidler til å avgjøre om de fire punktene kan være hjørner i et parallellepiped.

Løsning

Vi antar at punktene gir et parallellepiped og prøver å regne ut volumet. Vi finner først koordinatene til AB, AC og AD.

AB=4-2,-1-0,0-1=2,-1,-1
AC=4-2,2-0,3-1=2,2,2
AD=6-2,-5-0,-4-1=4,-5,-5

Vi trenger kryssproduktet av AB og AC for å finne volumet.

AB×AC=[-1·2-2·-1,-1·2-2·2,2·2-2·-1]=0,-6,6

Volumet blir

V = AB×AC·AD= 0,-6,6·4,-5,-5= 0·4-6·-5+6·-5= 0+30-30= 0

Punktene gir ikke et parallellepiped siden punktene ikke gir noe volum.

b) Hva kan du si om punktene A, B, C og D ut fra svaret i a)?

Løsning

Siden volumet er lik null og vi ikke har et parallellepiped, må det bety at punktene ligger i den samme flaten, eller det samme planet. Plan lærer du mer om i fagartikkelen "Plan i rommet".

Nedenfor har vi tegnet de fire punktene sammen med planet de ligger i, i et interaktivt GeoGebra-ark. Prøv å rotere på koordinatsystemet og overbevise deg selv om at punktene ligger i samme plan.

4.1.55

Lag et program som beregner volumet av enten et parallellepiped, en firkantet pyramide eller et tetraeder ut ifra 4 punkter A, B, C og D som danner de tre vektorene AB, AC, og AD, som i sin tur utspenner pyramiden eller tetraederet. Brukeren av programmet skal kunne velge hva slags legeme hen ønsker å finne volumet av.

Tips til oppgaven

For å regne ut skalarproduktet mellom to vektorer i form av listene eller tabellene a og b, kan du importere numpy som "np" og bruke numpy-kommandoen "dot" slik:

np.dot(a,b)

Løsning

Brukeren av programmet må skrive inn de fire punktene etter tur og deretter velge om legemet er et tetraeder, en firkantet pyramide eller et parallellepiped.

python
1import numpy as np
2
3print("Dette programmet regner ut volumet av et tetraeder "
4  "eller en firkantet pyramide eller et parallellepiped "
5  "ut ifra fire punkter A, B, C og D.")
6A = input("Skriv inn koordinatene til punkt A på formen \"x,y,z\": ")
7B = input("Skriv inn koordinatene til punkt B på formen \"x,y,z\": ")
8C = input("Skriv inn koordinatene til punkt C på formen \"x,y,z\": ")
9D = input("Skriv inn koordinatene til punkt D på formen \"x,y,z\": ")
10
11form = input("Skriv \"t\" for tetraeder, \"f\" for firkantet pyramide "
12  "eller \"p\" for parallellepiped: ")
13  
14A = A.split(",")
15A = np.array([float(k) for k in A])
16B = B.split(",")
17B = np.array([float(k) for k in B])
18C = C.split(",")
19C = np.array([float(k) for k in C])
20D = D.split(",")
21D = np.array([float(k) for k in D])
22
23AB = B - A
24AC = C - A
25AD = D - A
26
27ABxAC = np.cross(AB,AC)
28parallellepiped = abs(np.dot(ABxAC,AD))
29
30if form == "p":
31  print(f"Volumet av parallellepipedet er {parallellepiped:.2f}.")
32elif form == "f":
33  print(f"Volumet av den firkantete pyramiden er {parallellepiped/3:.2f}.")
34else:
35  print(f"Volumet av tetraederet er {parallellepiped/6:.2f}.")
36

Her har vi brukt "list comprehension" på linjene 15, 17, 19 og 21 for å få koden kortere. Alternativt kan du skrive ei vanlig for-løkke der du lager desimaltall av hvert element i listene og etterpå gjør listene om til numpy-tabeller med metoden "array". Se for eksempel løsningen til oppgave 4.1.20 på oppgavesiden "Vektorer i tre dimensjoner".

4.1.56

Figuren nedenfor viser et spesialtilfelle av et parallellepiped, nemlig et rett prisme med rektangulær grunnflate. Figuren er interaktiv, så du kan dra i den for å se prismet fra ulike kanter.

Bruk vektorformelen for volumet av et parallellepiped til å vise at volumet V av prismet er

V=a·b·c.

Løsning

V = a×b·c= a·b·sin90°·c·cos0°= a·b·c

Resultatet er kanskje ikke så overraskende? Merk at fordi ca, b, får vi at ca×b, som gjør at vi får cos0° i skalarproduktet.

4.1.57

Figuren viser et parallellepiped ABCDEFGH utspent av vektorene AB=a, AD=b og AE=c

Figuren er interaktiv, så du kan rotere på den ved å dra med musepeker.

a) Den ene av diagonalene i parallellepipedet, diagonalen AG, er tegnet inn sammen med midtpunktet sitt, som er kalt M.

Hva heter de tre andre diagonalene?

Løsning

De tre andre diagonalene er BH, CE og DF.

b) Finn et uttrykk for de fire diagonalvektorene AG, BH,CE og DF ved hjelp av a, b og c.

Løsning

AG=AB+BC+CG=a+b+c
BH=BA+AD+DH=-a+b+c
CE=CD+DA+AE=-a-b+c
DF=DC+CB+BF=a-b+c

c) Finn et uttrykk for AM ved hjelp av a, b og c.

Løsning

Siden M er midtpunktet på AG, får vi at

AM=12AG=12a+b+c

d) Vis at de fire diagonalene skjærer hverandre i ett punkt.

Løsning

Vi må vise at de andre diagonalene også har M som midtpunkt. Det betyr at vi for eksempel må vise at BM=12BH.

BM = -a+AM= -a+12a+12b+12c= -12a+12b+12c= 12-a+b+c= 12BH

Tilsvarende får vi at

CM = -b-a+AM= -b-a+12a+12b+12c= -12a-12b+12c= 12-a-b+c= 12CE

og

DM = -b+AM= -b+12a+12b+12c= 12a-12b+12c= 12a-b+c= 12DF

e) Finn volumet av pyramiden ABCDM uttrykt ved a, b og c.

Løsning

Siden ABCDM er en firkantet pyramide utspent av vektorene a, b og 12c, blir volumet

V=13·a×b·12c=16·a×b·c

f) Finn volumet av pyramiden ABEFM uttrykt ved a, b og c. Kommenter svaret.

Løsning

Siden ABEFM er en firkantet pyramide utspent av vektorene a, c og 12b, blir volumet

V=13·a×c·12b=16·a×c·b=16·a×b·c

I den siste overgangen har vi brukt resultatet fra oppgave 4.1.51. Vi får det samme som volumet av pyramiden ABCDM i forrige deloppgave. Vi kan dele hele parallellepipedet i 6 slike pyramider med dette volumet, én pyramide for hver av sideflatene i parallellepipedet. Til sammen blir volumet av de 6 pyramidene

V=6V=6·16a·b·c=a·b·c

som det må være.

4.1.58

Vi har gitt punktene A-1,3,2, B2,1,1 og C-2,1,3.

Finn avstanden fra C til linja gjennom A og B uten hjelpemidler. Kontroller svaret med CAS.

Tips til oppgaven

Tegn hjelpefigur.

Løsning

Vi kan se på avstanden fra C til linja gjennom A og B som høyden h i trekanten ABC, se figuren nedenfor.

Vi kan finne arealet med vektorproduktet AB×AC og beregne høyden h ut ifra dette.

Vi finner først koordinatene til AB og AC.

AB=2--1,1-3,1-2=3,-2,-1
AC=-2--1,1-3,3-2=-1,-2,1

A=12AB×AC

AB×AC=[-2·1--2·-1,-1·-1-1·3,3·-2--1·-2]=-4,-2,-8

Vi får

A = 12AB×AC= 12-42+-22+-82= 1216+4+64= 1284= 124·21= 21

Dette gir at høyden h i trekanten blir

h = 2Ag= 2AAB= 2·2132+-22+-12= 2·2114= 2·32= 6

Med CAS blir dette enklere:

4.1.59

Vi har gitt punktene A4,0,2, B3,5,1, C0,7,2 og D3,5,4 i et koordinatsystem.

Finn avstanden fra D til planet eller flaten dannet av A, B og C.

Løsning

Vi kan se på ABCD som en trekantet pyramide (tetraeder) med grunnflate ABC og toppen i punktet D. Oppgaven spør etter høyden h i pyramiden. Den kan vi finne på tilsvarende måte som i forrige oppgave ved å beregne volumet av pyramiden og arealet av grunnflaten med vektorregning.

V = 16AB×AC·AD13G·h = 16AB×AC·AD13·12AB×AC·h = 16AB×AC·ADAB×AC·h = AB×AC·AD

Vi løser resten av oppgaven med CAS.

Avstanden fra D til planet gjennom A, B og C er 262.

4.1.60

Punktene A-1,1,-2, B2,0,1,1, D1,-2,2 og E-1,-1,2 er fire av punktene i parallellepipedet ABCDEFGH. Punktene ABCD danner grunnflaten i parallellepipedet, se figuren nedenfor.

a) Finn koordinatene til punktet C uten hjelpemidler.

Løsning

Vi setter C=x,y,z. Videre har vi at siden grunnflaten er et parallellogram, må

AB = DC2--1,0-1,1--2 = x-1,y--2,z-23,-1,3 = x-1,y+2,z-2x-1 = 3,  y+2=-1,  z-2=3x = 4,  y=-3,  z=5

Vi får at C=4,-3,5.

b) Finn vinklene i trekanten ABE.

Løsning

Vi løser oppgaven med CAS.

Vi minner om at gradsymbolet i CAS er det samme som konstanten π180. Vi får at vinklene er

BAE=44,1°, ABE=69,8°, AEB=66,1°

c) Finn avstanden mellom grunnflaten ABCD og toppflaten EFGH.

Tips 1 til oppgaven

Finn avstanden fra punktet E til grunnflaten.

Tips 2 til oppgaven

Sett opp to ulike måter å regne ut volumet av parallellepipedet på.

Løsning

Den generelle formelen for volumet av et parallellepiped er V=G·h der h er den avstanden vi skal finne. Vi kan regne ut G med AB×AD. I tillegg vet vi at vi kan regne ut volumet av parallellepipedet med formelen V=AB×AD·AE. Vi løser oppgaven med CAS.

Vi får at avstanden mellom toppflaten og grunnflaten i parallellepipedet er 8·11055.