Njuike sisdollui
Bargobihttá

Koordinatsystem i tre dimensjoner. Avstand mellom punkter

Her kan du jobbe med oppgaver om punkter i et tredimensjonalt koordinatsystem.

4.1.1

a) Tegn en skisse for hånd av et koordinatsystem med tre akser, x, y og z. Skriv på tall på aksene.

Løsning

Skissen kan for eksempel se ut som på bildet.

b) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger på hver av de tre aksene.

Tegn punktene inn på skissen fra oppgave a).

Tegn punktene i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ved å skrive dem inn i algebrafeltet. Dra i koordinatsystemet med musepekeren for å se punktene fra flere sider.

Løsning

Punkter som ligger på x-aksen, må ha y- og z-koordinat lik 0. Vi velger 5,0,0 og -2,0,0.

Punkter som ligger på y-aksen, må ha x- og z-koordinat lik 0. Vi velger 0,4,0 og 0,-3,0.

Punkter som ligger på z-aksen, må ha x- og y-koordinat lik 0. Vi velger 0,0,3 og 0,0,-2.

c) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i

  • xy-planet

  • xz-planet

  • yz-planet

Tegn punktene inn for hånd på en ny skisse av et tredimensjonalt koordinatsystem.

Tegn punktene i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ved å skrive dem inn i algebrafeltet. Dra i koordinatsystemet med musepekeren for å se punktene fra flere sider.

Løsning

I xy-planet må z-koordinaten være lik 0. Vi velger punktene 5,2,0 og 0,4,0.

I xz-planet må y-koordinaten være lik 0. Vi velger punktene -1,0,-2 og -2,0,1.

I yz-planet må x-koordinaten være lik 0. Vi velger punktene 0,2,-2 og 0,-3,1.

4.1.2

a) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både xy-planet og i xz-planet.

Løsning

xy-planet og xz-planet skjærer hverandre i ei linje – x-aksen. Vi velger punktene 5,0,0 og -2,0,0 fra oppgave 4.1.1 b) over.

b) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både xy-planet og i yz-planet.

Løsning

xy-planet og yz-planet skjærer hverandre i ei linje – y-aksen. Vi velger punktene 0,4,0 og 0,-3,0 fra oppgave 4.1.1 b) over.

c) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både xz-planet og i yz-planet.

Løsning

xz-planet og yz-planet skjærer hverandre i ei linje – z-aksen. Vi velger punktene 0,0,3 og 0,0,-2 fra oppgave 4.1.1 b) over.

d) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både xy-planet, xz-planet og i yz-planet.

Løsning

De tre koordinatplanene møtes i ett punkt: origo. Det finnes derfor ikke to punkter som oppfyller kriteriene, bare ett.

4.1.3

Tegn punktene A1,1,0 og B5,4,0 i GeoGebra.

a) Hvilket koordinatplan ligger punktene i?

Løsning

Siden z-koordinatene er 0, vil begge punktene ligge i xy-planet.

b) Finn uten hjelpemidler et nytt punkt C i xy-planet slik at punktet danner en rettvinklet trekant med A og B. Kontroller at resultatet stemmer, ved å tegne punktet og bruke vinkelverktøyet i GeoGebra.

Løsning

Punktet C kan for eksempel ha x-koordinaten til B og y-koordinaten til A, det vil si at C=5,1,0.

Finner du flere løsninger?

c) Finn uten hjelpemidler et nytt punkt D utenfor xy-planet slik at punktet danner en rettvinklet trekant med A og B. Kontroller at resultatet stemmer, ved å tegne punktet og bruke vinkelverktøyet i GeoGebra.

Løsning

Dersom punktet D ligger rett over enten A eller B, vil de tre punktene utgjøre en rettvinklet trekant. Hvis D ligger for eksempel rett over A med avstand 2, betyr det at koordinatene til D er lik koordinatene til A med unntak av at z-koordinaten til D må være 2. Vi får at D=1,1,2.

4.1.4

Finn koordinatene til punktet i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor.

Tips til oppgaven

Du kan snu på koordinatsystemet ved å dra i det.

Løsning

Punktet har koordinatene -2,3,1.

4.1.5

Vi skal komme fram til et uttrykk eller en formel for avstanden OP fra origo til punktet Px,y,z. I den interaktive figuren nedenfor kan du rotere på koordinatsystemet.

a) Skriv opp koordinatene til punktene C og D, og finn lengden av linjestykkene OD og CD.

Tips til oppgaven

Ta utgangspunkt i at P=x,y,z.

Løsning

Siden C ligger i xy-planet rett under punktet P, må z-koordinaten til C være lik 0, mens de to andre koordinatene må være lik tilsvarende koordinater i P. Derfor får vi

C=x,y,0

Siden D ligger på x-aksen, må y- og z-koordinaten til punktet være 0. Linjestykket CD står normalt (vinkelrett) på x-aksen. Da må de to punktene C og D ha samme x-koordinat. Derfor får vi

D=x,0,0

OD har derfor lengde lik |x|. Siden CD er parallell med y-aksen, må lengden av linjestykket være lik forskjellen i y-koordinater mellom C og D, altså |y|. Vi får

OD = |x|CD = |y|

b) Finn et uttrykk for avstanden OC fra origo til punktet C.

Løsning

Vi kan bruke pytagorassetningen på linjestykkene OC, OD og CD siden de utgjør en rettvinklet trekant. Da får vi

OC=OD2+CD2=x2+y2=x2+y2

c) Finn et uttrykk for avstanden OP fra origo til punktet P ved å bruke resultatet i oppgave b).

Løsning

Vi kan igjen bruke pytagorassetningen på linjestykkene OP, OC og CP. Siden CP er parallell med z-aksen, må lengden av linjestykket være lik forskjellen i z-koordinater mellom C og P, altså |z|. Vi får

OP=OC2+CP2=x2+y22+z2=x2+y2+z2

4.1.6

Vi skal komme fram til et uttrykk eller en formel for avstanden mellom to punkter Ax1,y1,z1 og Bx2,y2,z2. I den interaktive figuren nedenfor kan du rotere på koordinatsystemet.

Finn en slik formel.

Tips til oppgaven

Vi kan bruke samme framgangsmåte som i forrige oppgave.

Løsning

Linjestykket AD er parallelt med x-aksen og vil derfor ha lengde lik absoluttverdien av forskjellen i x-koordinater. Tilsvarende får vi for linjestykket CD. Vi får

AD = x2-x1CD = y2-y1

Dette gir oss

AC = AD2+CD2= x2-x12+y2-y12

Tilsvarende får vi at BC=z2-z1. Dersom vi bruker pytagorassetningen på nytt, får vi

AB = AC2+BC2= x2-x12+y2-y12+z2-z12

4.1.7

a) Hva er avstanden fra punktet A-5,4,3 til hvert av de tre koordinatplanene?

Løsning

Med avstand menes alltid den korteste mulige avstanden. Avstanden fra A til xy-planet er lik avstanden fra punktet A til punktet B på figuren nedenfor. Vi kan bruke formelen vi fant i forrige oppgave, men siden B ligger i xy-planet rett under A, blir avstanden lik absoluttverdien av z-koordinaten til A. Se figuren nedenfor.

Ved å gjøre tilsvarende betraktning med de to andre koordinatplanene får vi at avstanden fra A til xz-planet blir lik absoluttverdien av y-koordinaten til A, og avstanden fra A til yz-planet blir lik absoluttverdien til z-koordinaten til A. Dette gir disse resultatene:

  • Avstand fra A til xy-planet: z=3

  • Avstand fra A til xz-planet: y=4

  • Avstand fra A til yz-planet: x=5

b) Hva er avstanden fra punktet A til hver av de tre koordinataksene?

Løsning

Vi begynner med avstanden til x-aksen. Den korteste mulige avstanden til x-aksen blir lengden av linjestykket APx på figuren nedenfor.

Sammen med punktet B danner punktene A og Px en rettvinklet trekant der katetene har lengde lik y og z. Det betyr at avstanden fra A til x-aksen blir

y2+z2=42+32=25=5

Tilsvarende blir avstanden fra A til y-aksen lik lengden av linjestykket APy:

x2+z2=-52+32=34

Vi kan tilsvarende tenke oss et punkt Pzz-aksen slik at linjestykket APz står vinkelrett på z-aksen. Avstanden fra A til z-aksen blir derfor

x2+y2=-52+42=41

c) Hva er avstanden fra punktet A til origo?

Løsning

Her kan vi bruke formelen for avstand mellom et punkt og origo. Avstanden blir

x2+y2+z2 = -52+42+32= 50= 2·25= 52

4.1.8

Vi har gitt punktene A3,2,1, B-1,3,12 og C4,-2,-1.

a) Finn avstanden til origo fra hvert punkt.

Løsning

Her bruker vi avstandsformelen x2+y2+z2. Vi kaller origo O.

Punkt A:

OA=32+22+12=9+4+1=14

Punkt B:

OB=-12+32+122=1+9+14=414=1241

Punkt C:

OA=42+-22+-12=16+4+1=21

b) Finn lengden av linjestykkene AB, AC og BC.

Løsning

Her bruker vi avstandsformelen x2-x12+y2-y12+z2-z12

AB = -1-32+3-22+12-12= 16+1+14= 694=1269

AC = 4-32+-2-22+-1-12= 1+16+4= 21

BC = 4--12+-2-32+-1-122= 25+25+94= 2094= 12209

c) Kontroller svarene i a) og b) med CAS.

Løsning