Faktorisering av andregradsuttrykk
Å faktorisere eit uttrykk vil seie å skrive uttrykket som eit produkt av faktorar. Vi kan til dømes skrive talet 6 som produktet av 2 og 3 sidan . Eit døme på eit andregradsuttrykk som kan skrivast som eit produkt av faktorar, er
Dersom uttrykket vi skal faktorisere berre har eitt ledd, faktoriserer vi ved å skilje ut to eller fleire enkeltfaktorar. Vi kan ofte faktorisere eit ledd på fleire ulike måtar, til dømes kan talet 12 skrivast både som
Døme
Vi skal faktorisere uttrykket
Det er mange ulike måtar å faktorisere fleirledda uttrykk på. Vi byrjar her med nokre metodar du kanskje kan frå før, før vi går vidare.
Uttrykk med felles faktorar i alle ledda
For uttrykk som inneheld fleire ledd med felles faktorar, kan vi "gå den motsette vegen" av det vi gjer når vi multipliserer eit tal med eit parentesuttrykk. Det betyr at dersom alle ledda i uttrykket inneheld den same faktoren, kan vi setje denne felles faktoren utanfor parentes. Det kan lønne seg å byrje med å faktorisere kvart ledd så langt som mogleg først. Etter kvart vil du kunne sjå direkte kva som er felles faktorar.
Døme
Uttrykket er no faktorisert til eitt ledd og består av produktet av faktorane
Vi kan kontrollere at faktoriseringa er rett ved å multiplisere faktorane:
Vi får tilbake det opphavlege uttrykket.
Pass på dersom du set eit negativt tal utanfor ein parentes. Då må du skifte forteikn inne i parentesen, slik som i det neste dømet:
Det som skjer matematisk, er at vi har
Eit uttrykk som kan skrivast på forma
Eit døme på eit andregradsuttrykk er
Eit andregradsuttrykk inneheld alltid eit andregradsledd, det vil seie at vi må ha at koeffisienten
Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, har vi ulike framgangsmåtar ut frå korleis uttrykket vårt ser ut. Vi viser nokre døme.
Når konstantleddet manglar
Når konstantleddet manglar, får vi eit uttrykk på forma
Når førstegradsleddet manglar
Dersom
Døme
🤔 Tenk over: Vi kan bruke konjugatsetninga når konstantleddet, c, er negativt. Kan vi faktorisere uttrykket dersom c er positiv?
Når vi kan bruke kvadratsetningane
Nokre uttrykk er enkle å faktorisere fordi vi kan kjenne dei igjen som fullstendige kvadrat, det vil seie uttrykk som kan faktoriserast med to like faktorar. Her kan vi bruke kvadratsetningane baklengs.
Vi har at
Vi ser no på uttrykket
Ved hjelp av "stiremetoden"
Veldig mange andregradsuttrykk kan faktoriserast nokså enkelt sjølv om vi ikkje kan bruke nokon av metodane over. Her på NDLA har vi valt å kalle dette for "stiremetoden", andre kjenner han kanskje som "osteholsmetoden", "heiltalsmetoden" eller eit heilt anna namn. Uansett kva vi vel å kalle han, er det viktig å vite at det ikkje er noko magisk eller mystisk som skjer, vi ser ("stirer") på uttrykket og leiter rett og slett etter tal som kan passe i faktoriseringa.
Vi ser på det generelle uttrykket for andregradsuttrykk der
Vi reknar på uttrykket og får
Dette betyr at dersom
Døme 1
Vi ser på uttrykket
Vi må finne to tal, d og e, slik at
Den einaste moglege kombinasjonen for d og e av desse som gir
Døme 2
Vi skal faktorisere uttrykket
Først set vi talet 2 utanfor ein parentes og får
Så kan vi faktorisere
Vi har her fleire kombinasjonar av to tal som gir produkt lik
Det er berre
Faktorisering i GeoGebra
I CAS i GeoGebra kan du faktorisere ved å klikke på knappen "Faktoriser" i verktøylinja eller ved å skrive kommandoen "Faktoriser".