Hopp til innhald
Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk

Her skal du lære om å faktorisere andregradsuttrykk.

Kva er faktorisering?

Å faktorisere eit uttrykk vil seie å skrive uttrykket som eit produkt av faktorar. Vi kan til dømes skrive talet 6 som produktet av 2 og 3 sidan 2·3=6. Eit døme på eit andregradsuttrykk som kan skrivast som eit produkt av faktorar, er (x+3)(3x-4). Uttrykket er skrive som eitt ledd, men vi ser at kvar av faktorane inneheld to ledd. Dersom vi reknar ut og trekker saman uttrykket, får vi eit andregradsuttrykk på den generelle forma ax2+bx+c. Her skal vi lære ulike metodar for å gå frå den generelle forma til ei faktorisert form.

Faktorisering av einledda uttrykk

Dersom uttrykket vi skal faktorisere berre har eitt ledd, faktoriserer vi ved å skilje ut to eller fleire enkeltfaktorar. Vi kan ofte faktorisere eit ledd på fleire ulike måtar, til dømes kan talet 12 skrivast både som 2·6 og som 3·4. Ofte kan det vere lurt å faktorisere så mykje som mogleg for å sjå alle moglegheitene.

Døme

Vi skal faktorisere uttrykket 36a(ab)2. Dersom vi skal faktorisere så mykje som mogleg, får vi

36aab2=2·2·3·3·a·a·b·a·b=2·2·3·3·a·a·a·b·b

Faktorisering av fleirledda uttrykk

Det er mange ulike måtar å faktorisere fleirledda uttrykk på. Vi byrjar her med nokre metodar du kanskje kan frå før, før vi går vidare.

Uttrykk med felles faktorar i alle ledda

For uttrykk som inneheld fleire ledd med felles faktorar, kan vi "gå den motsette vegen" av det vi gjer når vi multipliserer eit tal med eit parentesuttrykk. Det betyr at dersom alle ledda i uttrykket inneheld den same faktoren, kan vi setje denne felles faktoren utanfor parentes. Det kan lønne seg å byrje med å faktorisere kvart ledd så langt som mogleg først. Etter kvart vil du kunne sjå direkte kva som er felles faktorar.

Døme

2x4-12x2 = 2·x·x·x·x-2·2·3·x·x= 2·x·xx·x-2·3= 2x2x2-6

Uttrykket er no faktorisert til eitt ledd og består av produktet av faktorane 2, x2 og (x26).

Vi kan kontrollere at faktoriseringa er rett ved å multiplisere faktorane:

2x2x2-6=2x2·x2-2x2·6=2x4-12x2

Vi får tilbake det opphavlege uttrykket.

Pass på dersom du set eit negativt tal utanfor ein parentes. Då må du skifte forteikn inne i parentesen, slik som i det neste dømet:

-2x3-4x=-2xx2+2

Det som skjer matematisk, er at vi har -1 som faktor, og heile denne faktoren, med forteiknet, set du utanfor parentesen:

-2x3-4x =  (-1)·2·x·x·x+(-1)·2·2·x= (-1)·2·xx·x+2= -2xx2+2

Faktorisering av andregradsuttrykk

Eit uttrykk som kan skrivast på forma ax2+bx+c der a0, kallar vi eit andregradsuttrykk.

Eit døme på eit andregradsuttrykk er x2+4x-5. Leddet x2 kallar vi andregradsleddet, og her er a=1. 4x kallar vi førstegradsleddet, og b=4. -5 kallar vi konstantleddet, og c=-5.

Eit andregradsuttrykk inneheld alltid eit andregradsledd, det vil seie at vi må ha at koeffisienten a0. I dei andre ledda kan koeffisientane, det vil seie b og/eller c, vere lik 0 slik at førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle. To døme på det siste er x2+4 og 3x2+2x.

Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, har vi ulike framgangsmåtar ut frå korleis uttrykket vårt ser ut. Vi viser nokre døme.

Når konstantleddet manglar

Når konstantleddet manglar, får vi eit uttrykk på forma ax2+bx. Då vil faktoren x vere i begge ledda, og vi kan setje x utanfor parentesen slik vi gjorde over:

2x2-6x=2xx-3

Når førstegradsleddet manglar

Dersom b=0, får vi eit uttrykk på forma ax2+c. Dersom c<0, kan vi faktorisere ved hjelp av konjugatsetninga: (a+b)(a-b)=a2-b2.

Døme

x2-4 = x2-22 = x+2x-24x2-25 =2x2-52 = 2x+52x-5-2x2+18 = -2x2-9=-2x+3x-3x2-3 = x2-32=x+3x-3x+12-9 = x+12-32=x+1+3x+1-3=x+4x-2

🤔 Tenk over: Vi kan bruke konjugatsetninga når konstantleddet, c, er negativt. Kan vi faktorisere uttrykket dersom c er positiv?

Forklaring

Dersom både andregradsleddet og konstantleddet er positive, kan vi ikkje faktorisere uttrykket. Vi gongar saman to generelle parentesar for å vise kvifor:

(ax+b)(cx+d) = ac+adx+bcx+bd

Vi ser at dersom adx+bcx skal kunne bli lik 0, må produkta ad og bc vere like store med motsett forteikn. For å få til det må anten éin eller tre av konstantane a,b,c og d vere negativ.

Når vi kjem til faktorisering ved hjelp av nullpunktmetoden, vil det bli endå lettare å forstå kvifor eit uttrykk som til dømes x2+4 ikkje kan faktoriserast. Du kan lese meir om nullpunktmetoden på teorisida "Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden".

Når vi kan bruke kvadratsetningane

Nokre uttrykk er enkle å faktorisere fordi vi kan kjenne dei igjen som fullstendige kvadrat, det vil seie uttrykk som kan faktoriserast med to like faktorar. Her kan vi bruke kvadratsetningane baklengs.

Vi har at a+b2 = a2+2ab+b2, og at a-b2 = a2-2ab+b2.

Vi ser no på uttrykket x2+6x+9. Vi legg merke til at førstegradsleddet er eit partal, og at konstantleddet er eit kvadrattal. Vi kan skrive om uttrykket og kjenne igjen ei kvadratsetning:

x2+6x+9 = x2+2·3x+32= x2+3x+3x+32= x+32

Ved hjelp av "stiremetoden"

Veldig mange andregradsuttrykk kan faktoriserast nokså enkelt sjølv om vi ikkje kan bruke nokon av metodane over. Her på NDLA har vi valt å kalle dette for "stiremetoden", andre kjenner han kanskje som "osteholsmetoden", "heiltalsmetoden" eller eit heilt anna namn. Uansett kva vi vel å kalle han, er det viktig å vite at det ikkje er noko magisk eller mystisk som skjer, vi ser ("stirer") på uttrykket og leiter rett og slett etter tal som kan passe i faktoriseringa.

Vi ser på det generelle uttrykket for andregradsuttrykk der a=1, det vil seie x2+bx+c. Korleis kan vi få splitta dette opp i to faktorar, slik at vi får uttrykket på forma x+dx+e?

Vi reknar på uttrykket og får

x+dx+e=x2+ex+dx+ab = x2+d+ex+de

Dette betyr at dersom de=c og d+e=b, har vi at

x2+bx+c=x+dx+e

Døme 1

Vi ser på uttrykket x2+5x+6.

Vi må finne to tal, d og e, slik at de=6 og d+e=5. Det lønner seg å starte med å faktorisere konstantleddet. Her kan vi få fleire ulike faktoriseringar:

6 = 2·3= 1·6= -2·(-3)= (-1)·-6

Den einaste moglege kombinasjonen for d og e av desse som gir d+e=5, er d=2 og e=3 (eller omvendt). Det betyr at vi kan faktorisere uttrykket vårt:

x2+5x+6=x+2x+3

Døme 2

Vi skal faktorisere uttrykket 2x2-8x-42.

Først set vi talet 2 utanfor ein parentes og får

2x2-8x-42=2x2-4x-21

Så kan vi faktorisere x2-4x-21.

Vi har her fleire kombinasjonar av to tal som gir produkt lik -21:

-21 = 3·-7= -3·7= -1·21= 1·-21

Det er berre 3+-7 som er lik -4. Det betyr at

2x2-8x-42=2x2-4x-21=2x+3x-7

Faktorisering i GeoGebra

I CAS i GeoGebra kan du faktorisere ved å klikke på knappen "Faktoriser" i verktøylinja eller ved å skrive kommandoen "Faktoriser".

Video om faktorisering av einledda uttrykk

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Video om faktorisering av fleirledda uttrykk

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0