Hopp til innhald
Fagartikkel

Kvadratsetningane. Konjugatsetninga

Kvadratsetningane er særs sentrale i algebra.

Dei tre kvadratsetningane

Generelt har vi at

a+b·c+d=ac+ad+bc+bd

Korleis blir resultatet dersom parentesuttrykka er like eller nesten like?

Før du les vidare, kan du prøve sjølv å rekne ut uttrykka nedanfor og sjå om du kan finne ein forenkla måte å rekne ut slike uttrykk på.

a+ba+b=a-ba-b=a+ba-b=

Den første kvadratsetninga

Når vi multipliserer a+b med seg sjølv, får vi kvadratet a+b2.

a+b2 = a+b·a+b         =a·a+a·b+b·a+b·b         =a2+ab+ab+b2         =a2+2ab+b2

Når vi multipliserer ut parentesane, får vi to like ledd, ab+ab, som vi slår saman til 2ab.

Geometrisk ser du at arealet av det store kvadratet ovanfor med sidelengder a+b er lik summen av areala av dei to like store lyse rektangla og dei to mørke kvadrata.

Dette resultatet er kjent som den første kvadratsetninga.

Den andre kvadratsetninga

Vi multipliserer vidare a-b med seg sjølv og får kvadratet a-b2.

a-b2 = a-b·a-b         =a·a-a·b-b·a+b·b         =a2-ab-ab+b2         =a2-2ab+b2

Her får vi to like ledd, -ab-ab, som vi slår saman til -2ab.

Ser du at vi kan illustrere dette geometrisk dersom vi tek utgangspunkt i eit kvadrat med sider a?

Dette resultatet er kjent som den andre kvadratsetninga.

Konjugatsetninga

Vi multipliserer så a+b med a-b.

a+b·a-b = a·a-a·b+b·a-b·ba+b·a-b=a2-ab+ab-b2a+b·a-b=a2-b2

Her får vi ledda ab og -ab, som til saman blir lik null og fell bort.

Ser du at vi kan illustrere dette geometrisk òg ved å starte med eit kvadrat med sidekantar a?

a2-b2 svarer til det lyse området i den første figuren nedanfor.

Dersom vi så tenker oss at vi flyttar rektangelet som er merkt med ei stjerne, ser vi at det lyse området òg svarer til a+ba-b.

Dette resultatet er kjent som konjugatsetninga, men blir òg kalla den tredje kvadratsetninga (sjølv om ho ikkje beskriv eit kvadrattal).

Oppsummering

Første kvadratsetning:

a+b2=a2+2ab+b2

Andre kvadratsetning:

a-b2=a2-2ab+b2

Konjugatsetninga:

a+ba-b=a2-b2

Det er freistande å la vere å pugge kvadratsetningane og heller multiplisere kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre parentesen. Det vil ikkje vere særleg lurt. Kvadratsetningane er nemleg spesielt nyttige til å faktorisere andregradsuttrykk, og då må du bruke dei motsett veg.

Døme på bruk av kvadratsetningane

4x+22 + 2x-32-3x-2x+2 = 4x2+2·x·2+22+2x2-2·2x·3+32-3x2-22=4x2+4x+4+4x2-12x+9-3x2-4=4x2+16x+16+4x2-12x+9-3x2-12=4x2+16x+16+4x2-12x+9-3x2+12=5x2+4x+37

Med CAS i GeoGebra: