Hopp til innhald
Oppgåve

Forenkling av rasjonale uttrykk

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan også prøve å løyse oppgåvene med CAS.

Oppgåve 1

Forkort brøkane.

a) x2-25x+5

Løysing

x2-25x+5=x+5x-5x+5=x-5

b) x2-813x+27

Løysing

x2-813x+27=x+9x-93x+9=x-93

c) 16x2-644x+8

Løysing

16x2-644x+8=16x2-44x+2=4·4x+2x-24x+2=4x-8

d) 100x2-110x-1

Løysing

100x2-110x-1=10x+110x-110x-1=10x+1

e) 2a2-5018a-90

Løysing

2a2-5018a-90=2a2-2518a-5=2a2-522·9a-5=2a-5a+52·9a-5=a+59

f) 2x2-8x-2

Løysing

2x2-8x-2=2x2-22x-2=2x-2x+2x-2=2x+4

Oppgåve 2

Forkort brøkane.

a) x2-142x-1

Løysing

x2-142x-1=x-12x+122x-12=x+122=x2+14

b) x2-4x+4x-2

Løysing

x2-4x+4x-2=x-2x-2x-2=x-2

c) 3x2-18x+272x-6

Løysing

3x2-18x+272x-6=3x2-6x+92x-3=3x-3x-32x-3=3x-32

d) x2-x+142x-1

Løysing

x2-x+142x-1=x-12x-122x-12=x-122=2x-14=x2-14

e) 2x2-296x-2

Løysing

2x2-296x-2=2x-13x+132·3x-13=x+133=3x+19=x3+19

Oppgåve 3

Forkort brøkane.

a) 1-xx-1

Løysing

1-xx-1=--1+xx-1=-x-1x-1=-1

b) 1-x2x2-1

Løysing

1-x2x2-1=--1+x2x2-1=-1

c) 1-xx2-1

Løysing

1-xx2-1=--1+xx-1x+1=-1x+1

d) x-12+2x-12x2-2

Løysing

Her kan vi setje x-1 utanfor parentes sidan uttrykket er felles faktor i begge ledda i teljaren.

x-12+2x-12x2-2=x-1x-1+22x2-1=x-1x+12x-1x+1=12

Oppgåve 4

Trekk saman og forkort.

a) 2x-1-1x+1

Løysing

 = 2x+1x-1x+1-1x-1x+1x-1=2x+2-x-1x-1x+1=2x+2-x+1x-1x+1=x+3x-1x+1

b) 42x-1-84x2-1

Løysing

 = 42x+12x-12x+1-82x-12x+1=8x+4-82x-12x+1=8x-42x-12x+1=42x-12x-12x+1=42x+1

c) 4x-2-3x+10x2-4

Løysing

 = 4x+2x-2x+2-3x+10x-2x+2=4x+8-3x-10x-2x+2=x-2x-2x+2=1x+2

d) 42x-10-3x2+152x2-25

Løysing

 = 42x-5-3x·22+15·222x-5x+5=42x-5-3x+52x-5x+5=4-32x-5=12x-5

Oppgåve 5

a) Løys oppgåve 4 c) digitalt.

Løysing

b) Løys oppgåve 4 d) digitalt.

Løysing

Her kan vi bruke knappen for faktorisering etterpå (sjå linje 2 i CAS-biletet nedanfor) for å få det forenkla uttrykket på same form som i oppgåve 1.5.11 b).

Oppgåve 6

Rekn ut og forkort.

a) x2+6x+9x-2·x2-4x2+2x-3

Løysing

x2+6x+9x-2·x2-4x2+2x-3 = x+3x+3x-2·x+2x-2x+3x-1= x+3x+3x+2x-2x-2x+3x-1= x2+5x+6x-1 

b) x2+2x-8x2-16:x2-4x2-2x-8

Løysing

x2+2x-8x2-16:x2-4x2-2x-8 = x2+2x-8x2-16·x2-2x-8x2-4= x+4x-2x-4x+2x+4x-4x+2x-2= 1

Oppgåve 7

Trekk saman og forkort.

a) 1x+2-3x-2+6xx2-4

Løysing

1x+2-3x-2+6xx2-4 = 1x+2-3x-2+6xx+2x-2= 1·x-2x+2·x-2-3·x+2x-2·x+2+6xx+2x-2= x-2-3(x+2)+6xx+2·x-2 = 4x-8x+2·x-2=4x-2x+2·x-2= 4x+2

b) 2x2x-2-22(x+1)+2xx2-1

Løysing

2x2x-2-22(x+1)+2xx2-1 = 2x2x-1-22(x+1)+2xx+1x-1= 2x·x+12x-1·x+1-2·x-12(x+1)·x-1+2x·2x+1x-1·2= 2x2+2x-2x+2+4x2·x+1·x-1= 2x2+4x+22·x+1·x-1=2x2+2x+12·x+1·x-1= 2x+122·x+1·x-1=2x+1x+12·x+1·x-1= x+1x-1

c) xx2+4x+3-2x2-2x-3+3x2-9

Løysing

xx2+4x+3-2x2-2x-3+3x2-9 = xx+3x+1-2x+1x-3+3x+3x-3= x·x-3x+3x+1·x-3-2·x+3x+1x-3·x+3+3·x+1x+3x-3·x+1= x·x-3-2·x+3+3·x+1x+3x+1·x-3= x2-3x-2x-6+3x+3x+3x+1·x-3= x2-2x-3x+3x+1·x-3= x-3x+1x+3x+1·x-3=1x+3

Oppgåve 8

Trekk saman og forkort.

a) xx-1-x-32x-2

Løysing

xx-1-x-32x-2 = 2·x2(x-1)-x-32x-1=2x-x+32x-1                                   = x+32x-2

b) 2x-1+xx2-3x+2

Løysing

2x-1+xx2-3x+2 = x-2·2x-2x-1+xx-2x-1 = 2x-4+xx-1x-2= 3x-4x-1x-2

c) xx-1+2-xx+3-x-2x2+2x-3

Løysing

xx-1+2-xx+3-x-2x2+2x-3= x+3·xx+3x-1+x-12-xx-1x+3-x-2x+3x-1= x2+3x+2x-x2-2+x-x+2x+3x-1= x2+3x+2x-x2-2+x-x+2x+3x-1= 5xx+3x-1

d) 12x-2-2x-1x-2+3x2-3x+2

Løysing

12x-2-2x-1x-2+3x2-3x+2 = x-2·1x-2·2x-1-2x-12x-12x-1x-2+2·32x-1x-2= x-2-22x2-x-2x+1+62x-1x-2= x-2-4x2+2x+4x-2+62x-1x-2= -4x2+7x+22x-1x-2= -4x+14x-22x-1x-2= 4x+12x-1

Oppgåve 9

a) Bestem a slik at brøken kan forkortast.

x-ax2-6x+8

Løysing

Først faktoriserer vi nemnaren.

x2-6x+8=x-2x-4.

Skal brøken kunne forkortast, må a anten vere 2 eller 4.

b) Bestem t slik at brøken kan forkortast.

2x-tx2-2x+1

Løysing

Først faktoriserer vi nemnaren.

x2-2x+1=x-1x-1.

Skal brøken kunne forkortast, må anten x+1 eller x-1 vere faktor i teljaren. Vi faktoriserer ut 2-talet frå teljaren:

2x-t =2x-t2

Det betyr at vi har:

t2 = ±1t = ±2

Skal brøken kunne forkortast, må t vere 2, slik at vi har 2x-2=2(x-1).