Hopp til innhald
Oppgåve

Metoden med fullstendige kvadrat

Her kan du jobbe med fullstendige kvadrat. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Undersøk om uttrykka er fullstendige kvadrat. Skriv dei fullstendige kvadrata på faktorisert form.

a) x2+6x+9

Løysing

Vi observerer først at vi har positivt andregradsledd og konstantledd. Det midtarste leddet er positivt, og vi kan dermed gå vidare med å undersøke om vi kan skrive uttrykket på forma k+p2=k2+2kp+p2.

k =x2=xp = 9=36x = 2·3·x =2kp

Vi ser at x2+6x+9 =x+32, og dermed har vi eit fullstendig kvadrat.

b) x2-6x-9

Løysing

Her ser vi at konstantleddet er negativt, dermed har vi ikkje eit fullstendig kvadrat.

c) -x2+6x-9

Løysing

Her har vi negativt andregradsledd og negativt konstantledd. Då har vi ikkje eit fullstendig kvadrat. Legg likevel merke til at vi kan bruke andre kvadratsetning til å faktorisere uttrykket ved å trekke -1 utanfor ein parentes:

-x2+6x-9 = -(x2-6x+9) = -x-32

d) 16x2+24x+9

Løysing

k = 16x2=4xp = 9=324x = 2·3·4x=2kp

Vi ser at vi har eit fullstendig kvadrat:

16x2+24x+9=4x+32

e) x2-23x+19

Løysing

k = x2=xp = 19 = 1323x = 2·13·x=2kp

Vi ser at x2-23x+19=x-132, og dermed har vi eit fullstendig kvadrat.

f) x2-5x+25

Løysing

k = x2=xp = 25=255x = 2·52·x2kp

Vi ser at det midtarste leddet ikkje følger mønsteret, og vi har ikkje eit fullstendig kvadrat.

Oppgåve 2

Finn talet du må legge til uttrykka for å få fullstendige kvadrat.

a) x2+4x

Løysing

Vi har at k=x2=x og at 2ab=4x. Vi reknar ut p:

2kp = 4x2xp = 4x    |:2xp = 2

Vi får at vi må legge til p2=22=4.

Det fullstendige kvadratet blir x2+4x+4=x+22.

b) x2-10x

Løysing

2kp = 10x2xp = 10x    |:2xp = 5

Vi ser at vi må legge til p2=52=25.

Det fullstendige kvadratet blir x2-10x+25.

c) 16x2+8x

Løysing

k  = 16x2=4x2kp = 2·4x·p=8xp8x = 8xpp=1

Vi ser at vi må legge til p2=11=1.

Det fullstendige kvadratet blir 16x2+8x+1.

Oppgåve 3

Faktoriser uttrykka ved hjelp av konjugatsetninga.

a) (x+1)2-4

Løysing

(x+1)2-4 = x+12-22= x+1+2x+1-2= x+3x-1

b) x-52-81

Løysing

x-52-81 = x-52-92= x-5-9x-5+9= x-14x+4

c) x-0,52-2,25

Løysing

x-0,52-2,25 = x-0,52-1,52= x-0,5+1,5x-0,5-1,5= x+1x-2

d) x+132-169

Løysing

x+132-169 = x+132-132= x+13+13x+13-13= x+26x+0= xx+26

Oppgåve 4

Faktoriser uttrykka ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrat.

a) x2-2x-3

Løysing

x2-2x-3 = x2-2·1x+12-12-3= x2-2·1·1x+12-4= x-12-22= x-1+2x-1-2= x+1x-3

b) x2-6x+5

Løysing

x2-6x+5 = x2-2·3·x+32-32+5= x2-2·3·x+32-4= x-32-22= x-3+2x-3-2= x-1x-5

c) x2-14x+48

Løysing

x2-14x+48 = x2-2·7·x+72-72+48 = x2-2·7·x+72-1= x-72-12= x-7+1x-7-1= x-6x-8

d) x2-8x-9

Løysing

x2-8x-9 = x2-2·4·x+42-42-9= x2-2·4·x+42-25= x-42-52= x-4+5x-4-5= x+1x-9

e) 4x2+4x-15

Løysing

Sidan vi har ein koeffisient framfor andregradsleddet, kan det vere lurt å vere litt grundigare når vi svarer på oppgåva:

k = 4x2=2x2kp = 2·2x·p = 4xp p=1

4x2+4x-15 = 2x2+2·1·2x+12-12-15=  2x2+2·1·2x+12-16= 2x+12-42= 2x+1+42x+1-4= 2x+52x-3

f) x2-x-0,75

Løysing

x2-x-0,75 = x2-2·12·x+122-122-34=  x2-2·12·x+122-14-34= x-122-1= x-12+1x-12-1= x+12x-32 = x+0,5x-1,5

g) 2x2-8x-42

Løysing

Her har vi ein koeffisient i andregradsleddet, men vi ser at 2 er felles faktor i alle ledd, så vi kan faktorisere han ut først:

2x2-8x-42 = 2x2-4x-21= 2x2-2·2·x+22-22-21= 2x-22-25= 2x-2+5x-2-5= 2x+3x-7

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.