Undersøk om uttrykka er fullstendige kvadrat. Skriv dei fullstendige kvadrata på faktorisert form.
a)
Løysing
Vi observerer først at vi har positivt andregradsledd og konstantledd. Det midtarste leddet er positivt, og vi kan dermed gå vidare med å undersøke om vi kan skrive uttrykket på forma k+p2=k2+2kp+p2.
k =x2=xp = 9=36x = 2·3·x = 2kp
Vi ser at x2+6x+9 =x+32, og dermed har vi eit fullstendig kvadrat.
b) x2-6x-9
Løysing
Her ser vi at konstantleddet er negativt, dermed har vi ikkje eit fullstendig kvadrat.
c) -x2+6x-9
Løysing
Her har vi negativt andregradsledd og negativt konstantledd. Då har vi ikkje eit fullstendig kvadrat. Legg likevel merke til at vi kan bruke andre kvadratsetning til å faktorisere uttrykket ved å trekke -1 utanfor ein parentes:
-x2+6x-9 = -(x2-6x+9) = -x-32
d) 16x2+24x+9
Løysing
k = 16x2=4xp = 9=324x = 2·3·4x=2kp
Vi ser at vi har eit fullstendig kvadrat:
16x2+24x+9=4x+32
e) x2-23x+19
Løysing
k = x2=xp = 19 = 1323x = 2·13·x=2kp
Vi ser at x2-23x+19=x-132, og dermed har vi eit fullstendig kvadrat.
f) x2-5x+25
Løysing
k = x2=xp = 25=255x = 2·52·x≠2kp
Vi ser at det midtarste leddet ikkje følger mønsteret, og vi har ikkje eit fullstendig kvadrat.
Finn talet du må legge til uttrykka for å få fullstendige kvadrat.
a) x2+4x
Løysing
Vi har at k=x2=x og at 2ab=4x. Vi reknar ut p:
2kp = 4x2xp = 4x |:2xp = 2
Vi får at vi må legge til p2=22=4.
Det fullstendige kvadratet blir x2+4x+4=x+22.
b) x2-10x
Løysing
2kp = 10x2xp = 10x |:2xp = 5
Vi ser at vi må legge til p2=52=25.
Det fullstendige kvadratet blir x2-10x+25.
c) 16x2+8x
Løysing
k = 16x2=4x2kp = 2·4x·p=8xp8x = 8xp⇒p=1
Vi ser at vi må legge til p2=11=1.
Det fullstendige kvadratet blir 16x2+8x+1.
Faktoriser uttrykka ved hjelp av konjugatsetninga.
a) (x+1)2-4
Løysing
(x+1)2-4 = x+12-22= x+1+2x+1-2= x+3x-1
b) x-52-81
Løysing
x-52-81 = x-52-92= x-5-9x-5+9= x-14x+4
c) x-0,52-2,25
Løysing
x-0,52-2,25 = x-0,52-1,52= x-0,5+1,5x-0,5-1,5= x+1x-2
d) x+132-169
Løysing
x+132-169 = x+132-132= x+13+13x+13-13= x+26x+0= xx+26
Faktoriser uttrykka ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrat.
a) x2-2x-3
Løysing
x2-2x-3 = x2-2·1x+12-12-3= x2-2·1·1x+12-4= x-12-22= x-1+2x-1-2= x+1x-3
b) x2-6x+5
Løysing
x2-6x+5 = x2-2·3·x+32-32+5= x2-2·3·x+32-4= x-32-22= x-3+2x-3-2= x-1x-5
c) x2-14x+48
Løysing
x2-14x+48 = x2-2·7·x+72-72+48 = x2-2·7·x+72-1= x-72-12= x-7+1x-7-1= x-6x-8
d) x2-8x-9
Løysing
x2-8x-9 = x2-2·4·x+42-42-9= x2-2·4·x+42-25= x-42-52= x-4+5x-4-5= x+1x-9
e) 4x2+4x-15
Løysing
Sidan vi har ein koeffisient framfor andregradsleddet, kan det vere lurt å vere litt grundigare når vi svarer på oppgåva:
k = 4x2=2x2kp = 2·2x·p = 4xp ⇒p=1
4x2+4x-15 = 2x2+2·1·2x+12-12-15= 2x2+2·1·2x+12-16= 2x+12-42= 2x+1+42x+1-4= 2x+52x-3
f) x2-x-0,75
Løysing
x2-x-0,75 = x2-2·12·x+122-122-34= x2-2·12·x+122-14-34= x-122-1= x-12+1x-12-1= x+12x-32 = x+0,5x-1,5
g) 2x2-8x-42
Løysing
Her har vi ein koeffisient i andregradsleddet, men vi ser at 2 er felles faktor i alle ledd, så vi kan faktorisere han ut først:
2x2-8x-42 = 2x2-4x-21= 2x2-2·2·x+22-22-21= 2x-22-25= 2x-2+5x-2-5= 2x+3x-7
Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.