Metoden med fullstendige kvadrat
Eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere direkte ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.
Til dømes er uttrykka og fullstendige kvadrat fordi
Vi bruker ofte bokstavane a og b både i kvadratsetningane og i den generelle formelen for andregradsuttrykk. Det kan komplisere føringa, så vi vel her å bruke andre bokstavar for å gjere det enkelt. Då får vi kvadratsetningane på denne forma:
Å kjenne igjen eit fullstendig kvadrat
Det er ikkje alltid så lett å sjå med ein gong om eit andregradsuttrykk på forma
Vi ser at andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi set
ogk = x 2 = x .p = 9 = 3 Vi må sjekke om det midtarste leddet kan skrivast som
. I dette tilfellet får vi at2 k p , noko som stemmer med kravet.2 k p = 2 · x · 3 = 6 x Krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, dermed har vi at
x 2 - 6 x + 9 = k - p 2 = x - 3 2
Trinnvis framgangsmåte
Vi skal sjekke om uttrykket
Vi sjekkar om andregradsleddet og konstantleddet er positivt.
Vi set
ogk = a x 2 = a x .p = c Vi sjekkar om førstegradsleddet, bx , kan skrivast som
.2 k p = 2 a · x · c = 2 a c · x Dersom krava i punkta 1 og 3 er oppfylte, har vi eit fullstendig kvadrat, og vi kan skrive uttrykket slik:
a x 2 + b x + c = k + p 2
Det er få andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrat, men det er mogleg å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage eit fullstendig kvadrat av dei to første ledda og så bruke konjugatsetninga. Det er som oftast enklare å bruke andre metodar for å faktorisere andregradsuttrykk, men metoden er likevel viktig som eit grunnlag for å forstå meir om andregradsuttrykk, andregradslikningar og seinare òg likningar for sirklar og kuler.
Vi viser metoden ved å gå gjennom eit døme.
Vi skal faktorisere andregradsuttrykket
Vi legg først konstantleddet litt til side og konsentrerer oss om dei to første ledda i uttrykket,
Vi set
Dette betyr at vi må legge til
Uttrykket
Her får vi
Trinnvis framgangsmåte
Vi skal faktorisere uttrykket
Vi set
.k = a x 2 = a x Så set vi
og reknar ut p.b x = 2 k p = 2 a x · p Vi legg til
for å fullføre kvadratet og trekker fråp 2 igjen.p 2 Vi skriv dei tre første ledda som
og trekker saman konstantledda.k + p 2 Til slutt faktoriserer vi ved hjelp av konjugatsetninga.
🤔 Tenk over: Dersom koeffisienten a til