Oppgåve

Parameterframstillingar for linjer og kurver i rommet

Her kan du gjere deg meir kjend med parameterframstillingar for linjer og kurver. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument

Oppgåve 1

Finn ei parameterframstilling for linjene nedanfor.

a) Linja $l$ går gjennom punktet $(- 4, 0, 2)$ , og ein retningsvektor for linja er $[- 30, 3, 7]$ .

Løysing

$l : \{\begin{cases} x = - 4 - 30 t \\ y = 3 t \\ z = 2 + 7 t \end{cases}$

b) Linja $m$ går gjennom punktet $(2, 3, 0)$ , og vektoren $[- 1, 3, 6]$ er parallell med linja.

Løysing

Vektoren er ein retningsvektor for linja sidan han er parallell med linja. Då blir ei parameterframstilling for linja $m$

$m : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + 3 t \\ z = 6 t \end{cases}$

c) Linja $n$ går gjennom punkta $(7, - 2, \frac{1}{2})$ og $(9, 8, 7)$ .

Løysing

Ein retningsvektor for $n$ er

$[9 - 7, 8 - (- 2), 7 - \frac{1}{2}] = [2, 10, \frac{13}{2}]$

Ei parameterframstilling for $n$ er då

$n : \{\begin{cases} x = 7 + t \\ y = - 2 + 10 t \\ z = \frac{1}{2} + \frac{13}{2} t \end{cases}$

d) $x$ -aksen

Løysing

$x$ -aksen går gjennom origo. Ein retningsvektor for $x$ -aksen er ${\vec{e}}_{x} = [1, 0, 0]$ . Ei parameterframstilling $x_{a}$ for $x$ -aksen er derfor

$x_{a} : \{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$

e) Linja $o$ ligg i $x y$ -planet, går gjennom punktet $(1, 2, 0)$ og dannar vinkelen $\frac{π}{4}$ med $y$ -aksen.

Løysing

Her treng vi ikkje tenke i tre dimensjonar sidan linja ligg i $x y$ -planet. Når vinkelen med $y$ -aksen er $\frac{π}{4}$ , betyr det at stigningstalet til linja anten er $1$ eller $- 1$ . Det vil derfor vere to moglege linjer som oppfyller desse krava, sjå figuren nedanfor.

Todimensjonalt koordinatsystem der punktet A med koordinatane 1, 2 og 0 er teikna. Ei linje gjennom A og punktet med koordinatane 0, 3 og 0 er teikna. Ei linje gjennom A og punktet med koordinatane 0, 1 og 0 er også teikna inn. Vinkelen mellom kvar av linjene og y-aksen er pi fjerdedelar. Illustrasjon.

Ein retningsvektor for linja som går på skrå opp til høgre, kan vi finne ved å tenke at når vi går éi eining i positiv $x$ -retning, aukar $y$ -verdien med 1. Dette svarer til vektoren $[1, 1, 0]$ sidan både $x$ - og $y$ -koordinaten aukar med 1. Vektoren vil vere ein retningsvektor for linja, og ei parameterframstilling for denne linja er derfor

$l_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{cases}$

Tilsvarande betraktning med den andre linja gir oss retningsvektoren $[1, - 1, 0]$ . Ei parameterframstilling for denne linja er derfor

$l_{2} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 0 \end{cases}$

f) Linja $p$ gitt ved $y = - 3 x + 2$

Løysing

Linja $p$ teiknar vi vanlegvis i eit todimensjonalt koordinatsystem, det vil seie i $x y$ -planet, som betyr at $z = 0$ . Vi får frå konstantleddet at linja går gjennom punktet $(0, 2, 0)$ . At stigningstalet er $- 3$ , betyr at når vi går éi eining i positiv $x$ -retning, går vi tre einingar i negativ $y$ -retning. Det betyr at ein retningsvektor for linja er $[1, - 3, 0]$ . Ei parameterframstilling for linja $p$ er

$p : \{\begin{cases} x = t \\ y = 2 - 3 t \\ z = 0 \end{cases}$

Oppgåve 2

a) Ei linje $l$ går gjennom punktet $P (2, 0, - 3)$ . Vektoren $[- 1, 4, 2]$ er parallell med linja. Set opp ei parameterframstilling for linja.

Løysing

Vi har eit punkt på linja og ein retningsvektor for linja. Då kan vi setje opp parameterframstillinga

$l : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 4 t \\ z = - 3 + 2 t \end{cases}$

b) Vis at linja $l$ òg går gjennom punktet $Q (1, 4, - 1)$ .

Løysing

Vi ser på $x$ -koordinaten først og reknar ut kva parameteren $t$ er når $x = 1$ . Deretter testar vi at denne $t$ -verdien gir riktig $y$ - og $z$ -koordinat.

$1 = 2 - t \Leftrightarrow t = 2 - 1 = 1$

$\begin{array}{rcl} y & = & 4 t = 4 \cdot 1 = 4 \\ z & = & - 3 + 2 t = - 3 + 2 \cdot 1 = - 1 \end{array}$

Vi får riktig $y$ - og $z$ -koordinat, så linja $l$ går òg gjennom punktet $Q (1, 4 - 1)$ .

c) Teikn linja og dei to punkta med ein grafteiknar.

Løysing

Vi skriv

Kurve(2-t,4t,-3+2t,t,-2,5)

inn i algebrafeltet. Då får vi figuren nedanfor. Vi har valt å la $t$ gå frå $- 2$ til 5.

Tredimensjonalt koordinatsystem der linja med parameterframstilling x er lik 2 minus t, y er lik 4 t og z er lik minus 3 pluss 2 t er teikna. 2 punkt P og Q ligg begge på linja. P har koordinatane 2, 0 og minus 3, mens Q har koordinatane 1, 4 og minus 1. Illustrasjon.

Oppgåve 3

a) Ei linje $l$ går gjennom punktet $S (2, 4, 4)$ . Vektoren $[1, 2, 2]$ er parallell med linja. Set opp ei parameterframstilling for linja.

Løysing

$l : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 4 + 2 t \\ z = 4 + 2 t \end{cases}$

b) Vis at linja $l$ går gjennom origo.

Løysing

Vi set $x$ -koordinaten lik 0.

$0 = 2 + t \Leftrightarrow t = - 2$

Vi set inn denne $t$ -verdien i $y$ - og $z$ -koordinatane.

$y = z = 4 + 2 \cdot (- 2) = 4 - 4 = 0$

Linja $l$ går gjennom origo.

c) Finn ei enklare parameterframstilling for linja $l$ .

Løysing

Vi kan lage ei enklare parameterframstilling med utgangspunkt i punktet origo. Parameterframstillinga for linja $l$ blir då

$l : \{\begin{cases} x = t \\ y = 2 t \\ z = 2 t \end{cases}$

d) Finn ei parameterframstilling for linja ved å bruke ein annan retningsvektor enn $[1, 2, 2]$ .

Løysing

Vi kan til dømes multiplisere vektoren $[1, 2, 2]$ med $- \frac{1}{2}$ . Resultatet vil fortsatt vere ein retningsvektor for linja sidan $k \cdot [1, 2, 2]$ er parallell med $[1, 2, 2]$ . Vi får

$- \frac{1}{2} \cdot [1, 2, 2] = [- \frac{1}{2}, - 1, - 1]$

Ei anna parameterframstilling for linja $l$ blir

$l : \{\begin{cases} x = - \frac{t}{2} \\ y = - t \\ z = - t \end{cases}$

e) Teikn linja $l$ og punktet $S$ .

Løysing

Tredimensjonalt koordinatsystem der linja med parameterframstilling x er lik t, y er lik 2 t og z er lik 2 t er teikna. Punktet S ligg på linja og har koordinatane 2, 4 og 4. Illustrasjon.

Oppgåve 4

a) Finn ei parameterframstilling for linja $m$ som går gjennom $A (- 3, 2, 2)$ og $B (2, - 3, - 2)$ .

Løysing

Ein retningsvektor for $m$ vil vere

$\vec{A B} = [2 - (- 3), - 3 - 2, - 2 - 2] = [5, - 5, - 4]$

Ei parameterframstilling for $m$ blir derfor

$m : \{\begin{cases} x = - 3 + 5 t \\ y = 2 - 5 t \\ z = 2 - 4 t \end{cases}$

b) Teikn linja og dei to punkta.

Løysing

Tredimensjonalt koordinatsystem der linja med parameterframstilling x er lik minus 3 pluss 5 t, y er lik 2 minus 5 t og z er lik 2 minus 4 t er teikna. 2 punkt A og B ligg begge på linja. A har koordinatane minus 3, 2 og 2, mens B har koordinatane 2, minus 3 og minus 2. Illustrasjon.

Oppgåve 5

Ei linje er beskrive med likninga

$\vec{O P} = [- 2, 0, - 3] + t \cdot [1, 1, 2]$

Skriv opp ei parameterframstilling for linja.

Løysing

Vektoren $[- 2, 0, - 3]$ er posisjonsvektoren til punktet $(- 2, 0, - 3)$ , som ligg på linja. Vektoren $[1, 1, 2]$ er retningsvektor for linja. Ei parameterframstilling for linja er derfor

$m : {\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = - 3 + 2 t \end{cases}$

Oppgåve 6

Gitt ei linje $m$ på parameterform

$m : {\begin{matrix} x = 3 + 2 t \\ y = 4 + 4 t \\ z = 2 + 8 t \end{matrix}$

Finn eit uttrykk for $t$ for kvar av koordinatane. Bruk dette til å forklare kvifor vi ikkje kan beskrive linja $m$ med éi likning slik vi kan med linjer i to dimensjonar.

Løysing

Vi løyser kvar av koordinatlikningane med omsyn på $t$ .

$\begin{array}{rcl} x & = & 3 + 2 t \Rightarrow t = \frac{x - 3}{2} \\ y & = & 4 + 4 t \Rightarrow t = \frac{y - 4}{4} \\ z & = & 2 + 8 t \Rightarrow t = \frac{z - 2}{8} \end{array}$

Dette gir

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z - 2}{8}$

Vi får ikkje ei likningsframstilling som består av éi likning. Vi får i staden to (tre) likningar som vi til saman kan sjå på som ei likningsframstilling for linja. Det er derfor oftast hensiktsmessig å beskrive linjer i rommet på parameterform.

Oppgåve 7

a) Teikn kurva

$k : {\begin{cases} x = - 3 + \frac{1}{2} t \\ y = 2 + t \\ z = 2 \sin t \end{cases}, t \in [- 2 π, 4 π]$

Løysing

Tredimensjonalt koordinatsystem der det er teikna ei kurve med parameterframstilling x er lik minus 3 pluss ein halv t, y er lik 2 pluss t og z er lik 2 sinus til t for t-verdiar mellom minus 2 pi og 4 pi. Illustrasjon.

b) Skjer kurva $y$ -aksen?

Løysing

For at kurva skal skjere $y$ -aksen, må vi krevje at $x = 0$ og $z = 0$ . Den første likninga gir

$\begin{array}{rcl} - 3 + \frac{1}{2} t & = & 0 \\ \frac{1}{2} t & = & 3 \\ t & = & 6 \end{array}$

$z$ -koordinaten må vere lik 0 for same $t$ -verdi.

$2 \cdot \sin 6 \neq 0$

Kurven skjer derfor ikkje $y$ -aksen.

c) Endre på parameterframstillinga slik at du får bølgemønsteret til å gå på skrå oppover frå $x y$ -planet.

Løysing

Det er $z$ -koordinaten som styrer korleis kurva beveger seg i høgda dersom vi assosierer positiv $z$ -retning som oppover. Dersom vi lar $z$ -koordinaten få eit lineært tillegg $t$ , vil bølgemønsteret gå lineært oppover.

Oppgåve 8

a) Vis ved å finne lengda av posisjonsvektoren $\vec{O P}$ der $P$ er eit punkt på kurva at kurva $k$ gitt ved parameterframstillinga

$k : {\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \cos t \\ z = 2 \sin t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$

er ein sirkel med sentrum i origo.

Løysing

Ein sirkel med sentrum i origo vil ha ein posisjonsvektor som har konstant lengde uansett verdi på $t$ .

$\vec{O P} = [0, 2 \cos t, 2 \sin t]$

$\begin{array}{rcl} |\vec{O P}| & = & \sqrt{0^{2} + {(2 \cos t)}^{2} + {(2 \sin t)}^{2}} \\ = & \sqrt{4 \cos^{2} t + 4 \sin^{2} t} \\ = & \sqrt{4 (\cos^{2} t + \sin^{2} t)} \\ = & 2 \end{array}$

b) Ei kurve $m$ er gitt ved parameterframstillinga

$m : {\begin{cases} x = 0 \\ y = a \cos t \\ z = 2 \sin t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$

Kva verdiar kan $a$ ha for at kurva skal vere ein sirkel med sentrum i origo?

Løysing

Vi bruker den same tenkemåten som i oppgåve a).

$\vec{O P} = [0, a \cos t, 2 \sin t]$

$\begin{array}{rcl} |\vec{O P}| & = & \sqrt{0^{2} + {(a \cos t)}^{2} + {(2 \sin t)}^{2}} \\ = & \sqrt{a^{2} \cos^{2} t + 4 \sin^{2} t} \\ = & \sqrt{a^{2} \cos^{2} t + 4 (1 - \cos^{2} t)} \\ = & \sqrt{a^{2} \cos^{2} t + 4 - 4 \cos^{2} t} \\ = & \sqrt{(a^{2} - 4) \cos^{2} t + 4} \end{array}$

Dersom $|\vec{O P}|$ skal vere konstant, må vi krevje at

$\begin{array}{rcl} a^{2} - 4 & = & 0 \\ a^{2} & = & 4 \\ a & = & - 2 \lor a = 2 \end{array}$

Kurva $m$ er ein sirkel dersom $a = - 2 \lor a = 2$ .

Oppgåve 9

Nedanfor er parameterframstillinga til mange fine kurver skriven opp. Teikn kurvene. Drei på koordinatsystemet og sjå kurvene frå fleire synsvinklar. Kva for ei av kurvene synest du er finast? (Oppgåva er mest for moro skyld.)

a) Vivianis kurve $k : {\begin{cases} x = 0 \\ y = 3 \cos t \\ z = 2 \sin t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$

(Dette er den same kurva som i 8 b) med $a = 3$ .)

b) Polynomisk knute $k : {\begin{cases} x = t^{3} - 3 t + 3 \\ y = t^{4} - 4 t^{2} + 3 \\ z = \frac{1}{5} t^{5} - 2 t + 3 \end{cases}, t \in [- 5, 5]$

c) Trigonometrisk knute $k : {\begin{cases} x = \cos 2 t \cdot (3 + \cos 3 t) \\ y = \sin 2 t \cdot (3 + \cos 3 t) \\ z = \sin 3 t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$

d) Ein annan trigonometrisk knute: Auk alle koeffisientane framfor $t$ i den førre oppgåva med 1.

e) Ein tredje trigonometrisk knute

$k : {\begin{cases} x = \cos 2 t \cdot (1 + 0.6 (\cos 5 t + 0.75 \cos 10 t)) \\ y = \sin 2 t \cdot (1 + 0.6 (\cos 5 t + 0.75 \cos 10 t)) \\ z = 0.35 \sin 5 t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Kurver og flater i rommet