Parameterframstillingar for linjer og kurver i rommet

Parameterframstilling for ei rett linje

Rett linje i tre dimensjonar

Den interaktive figuren nedanfor viser ei rett linje i eit tredimensjonalt koordinatsystem. Det er to punkt $A$ og $B$ på linja. Du kan dra i biletet for å sjå linja frå forskjellige kantar.

• Last ned figuren her dersom han ikkje blir vist.(GGB)

Posisjonsvektoren for eit punkt på linja

Vi ønsker å beskrive denne linja matematisk. I to dimensjonar kan vi beskrive ei rett linje med éi likning: formelen $y=ax+b$ der $a$ og $b$ er konstantar. Det går ikkje an å setje opp éi tilsvarande likning for ei linje i tre dimensjonar.

Vi kan bruke vektorar til å beskrive linja matematisk. Gitt to punkt $A$ og $B$. La $P$ vere eit vilkårleg punkt på linja gjennom $A$ og $B$. Då vil det alltid finnast ein skalar $t$ slik at

$\overrightarrow{AP}=t·\overrightarrow{AB}$

Vi kan få punktet $P$ til å flytte seg kvar som helst på linja ved å velje rett verdi for $t$. Posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$ til punktet $P$ kan vi skrive ved hjelp av posisjonsvektoren $\overrightarrow{OA}$ til punktet $A$ som

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & =& \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\end{array}$

Når vi endrar verdien på $t$ gradvis, vil $P$ flytte seg langs linja. Då har vi funne den matematiske beskrivinga av linja som vi var på jakt etter. Vi kallar $\overrightarrow{OP}$ for posisjonsvektoren som beskriv linja gjennom $A$ og $B$.

Tenk over

Finst det berre éin unik posisjonsvektor som beskriv linja gjennom $A$ og $B$?

Retningsvektor

Legg merke til at $\overrightarrow{AB}$ er ein vektor som er parallell med linja gjennom $A$ og $B$. Vi seier derfor at $\overrightarrow{AB}$ er ein retningsvektor for linja. Vi kan bruke kva som helst vektor som er parallell med linja som retningsvektor for linja.

Døme

Ei linje $l$ går gjennom punkta $A\left(3, 4, 2\right)$ og $B\left(5, 8, 10\right)$.

Ein posisjonsvektor $\overrightarrow{OP}$ for linja $l$ er

$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[5-3, 8-4, 10-2\right]\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[2, 4, 8\right]\\ & =& \left[3+2t, 4+4t, 2+8t\right]\end{array}\end{array}$

Parameterframstilling

I staden for å beskrive linja ved hjelp av vektorar kan vi bruke ei parameterframstilling av linja. Den tilsvarande parameterframstillinga for linja over blir

$x=3+2t, y=4+4t, z=2+8t$

Dette inneheld den same informasjonen om linja som posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$, men er skrive på ein annan måte utan vektornotasjon. Parameterframstillinga av linja kan òg skrivast slik:

$l:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=4+4t\\ z=2+8t\end{array}\right.$

Tenk over

Kan du tenke deg kvifor parameterframstillinga i dømet over gir ei rett linje?

Parameterframstilling ut frå punkt og retningsvektor

I staden for å kjenne to punkt på ei linje er det nok å kjenne eitt punkt $A\left(x_0,y_0,z_0\right)$ på linja og ein retningsvektor $\overrightarrow{v_l}=\left[a,b,c\right]$ for linja.

Ein posisjonsvektor for denne linja blir

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{v_l}\\ & =& \left[x_0, y_0, z_0\right]+t·\left[a, b, c\right]\\ & =& \left[x_0+at, y_0+bt, z_0+ct\right]\end{array}$

Den tilsvarande parameterframstillinga for linja blir

$x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$

eller

$l:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$

Test deg sjølv

Ei rett linje $l$ går gjennom punktet $\left(-2,5,1\right)$. Vektoren $\left[3,2,-4\right]$ er parallell med linja.

Kan du skrive opp ei parameterframstilling for linja?

Døme

Ei rett linje $l$ er gitt ved parameterframstillinga

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3t\\ z=1-t\end{array}\right.$

Vi skal finne ein retningsvektor til linja $l$ og eit punkt på linja.

For å finne retningsvektoren må vi lese av koeffisientane $a, b$ og $c$ framfor $t$-ledda. Vi får at retningsvektoren er $\left[2,3,-1\right]$.

Eit punkt på linja finn vi enklast ved å lese av $x_0,y_0$ og $z_0$ i parameterframstillinga. Eit punkt på linja blir derfor $\left(-1,0,1\right)$.

Vi kan òg finne eit punkt på linja ved å setje ein bestemd $t$-verdi inn i parameterframstillinga. Ved å velje $t=1$ får vi punktet

$\left(-1+2·1,3·1,1-1\right)=\left(1,3,0\right)$

Tenk over

Når vi finn punktet på linja ved å lese av $x_0,y_0$ og $z_0$ , har vi eigentleg valt ein bestemd $t$-verdi. Kva for ein?

Grafisk framstilling av linjer

GeoGebra

Det er vanskeleg å lage skisser for hand av rette linjer i tre dimensjonar. I GeoGebra får vi teikna linja i dømet over ved å bruke kommandoen "Kurve". Vi vel å kalle kurva $r$ og teikne ho for $t\in \left[0,5\right]$. I algebrafeltet kan vi då skrive

r=Kurve(-1+2t,3t,1-t,t,0,5)

I kommandoen skriv vi først inn vektorkoordinatane, så må vi skrive at det er $t$ som er parameteren. Til slutt skriv vi inn grensene for $t$, som er 0 og 5. Det er verdt å nemne at vi må ha med desse grensene når vi bruker kommandoen "Kurve". Dersom den aktuelle oppgåva eller situasjonen ikkje gir ei avgrensing, må vi derfor velje ei.

For å teikne punktet på linja der $t=0$ kan vi skrive

A=r(0)

Kurver i rommet

Dersom ei eller fleire av likningane i ei parameterframstilling ikkje er av første grad, vil generelt ikkje parameterframstillinga gi ei rett linje, men ei kurve som bøyer seg.

Døme

Vi har gitt parameterframstillinga

$k:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+2\\ z=t^2-1\end{array}\right.$

På biletet har vi brukt parameterframstillinga og kommandoen "Kurve" til å teikne ei kurve for $t\in \left[0,3\right]$. Som biletet viser, får vi ikkje ei rett linje, men ei parabelforma kurve.

Prøv sjølv

Bruk parameterframstillinga

$x=2\sin t, y=2\cos t, z=0.2t$

til å teikne ei kurve for $t\in \left[0,6\pi \right]$. Kva får du?

Video om parameterframstilling for ei rett linje