Avstand og vinkel mellom to linjer i rommet

Hugs at med "avstanden mellom to linjer" meiner vi alltid den kortaste avstanden. Vi lar $P$ vere eit punkt på $m$ og $Q$ vere eit punkt på $n$. Det betyr at

$P=\left(1+2t,t,1-t\right), Q=\left(-s,2+s,1+2s\right)$

Løysing utan hjelpemiddel

Vi finn først $\overrightarrow{PQ}$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[-s-\left(1+2t\right), 2+s-t, 1+2s-\left(1-t\right)\right]\\ & =& \left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ til linja $m$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_m=0$. Det gir oss éi likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]·\left[2,1,-1\right]& = & 0\\ -2s-4t-2+s-t+2-2s-t& =& 0\\ -3s-6t& =& 0\\ 3s& =& -6t\\ s& =& -2t\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,1,2\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_n=0$. Det gir oss ei ny likning med $s$ og $t$, der vi set inn $s=-2t$ til slutt:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]·\left[-1,1,2\right]& = & 0\\ s+2t+1+s-t+2+4s+2t& =& 0\\ 6s+3t+3& =& 0\\ 6·\left(-2t\right)+3t& =& -3\\ -9t& =& -3\\ t& =& \frac{1}{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}s & =& -2t=-2·\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\end{array}$

Vi set desse verdiane inn i utrykket for $\overrightarrow{PQ}$ for å finne koordinatane til den vektoren som står normalt på retningsvektorane til dei to linjene.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]\\ & =& \left[-\left(-\frac{2}{3}\right)-2·\frac{1}{3}-1, -\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+2, 2·\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\\ & =& \left[-1,1,-1\right]\end{array}$

Til slutt finn vi lengda av $\overrightarrow{PQ}$.

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

Avstanden mellom dei to linjene er $\sqrt{3}$.

Kontroll med CAS

Løysing utan hjelpemiddel

Vi bruker skalarproduktet mellom retningsvektorane ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ og ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,1,2\right]$ til å finne vinkelen $w$ mellom linjene. Vi kallar vinkelen mellom retningsvektorane for $u$.

$\begin{array}{rcl}\cos u & =& \frac{{\overrightarrow{v}}_m·{\overrightarrow{v}}_n}{\left|{\overrightarrow{v}}_m\right|·\left|{\overrightarrow{v}}_n\right|}\\ & =& \frac{\left[2,1,-1\right]·\left[-1,1,2\right]}{\sqrt{2^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}·\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+2^2}}\\ & =& \frac{-2+1-2}{\sqrt{6}·\sqrt{6}}\\ & =& \frac{-3}{6}\\ & =& -\frac{1}{2}\\ u & =& \frac{2\pi }{3} \vee \cancel{u=2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}}\end{array}$

Sidan $u>\frac{\pi }{2}$, blir vinkelen $w$ mellom linjene

$w=\pi -u=\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$

Kontroll med CAS

Ein retningsvektor ${\overrightarrow{v}}_x$ for $x$-aksen er ${\overrightarrow{e}}_x=\left[1,0,0\right]$, og origo er eit punkt på aksen. Ei parameterframstilling for $x$-aksen er derfor

$l_x: \left\{\begin{array}{l}x=s\\ y=0\\ z=0\end{array}\right.$

Vi lar $P$ vere eit punkt på $m$ og $Q$ vere eit punkt på $x$-aksen og finn først $\overrightarrow{PQ}$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[s-\left(1+2t\right), 0-t, 0-\left(1-t\right)\right]\\ & =& \left[s-2t-1,-t, t-1\right]\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ til linja $m$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_m=0$. Det gir oss éi likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[s-2t-1, -t, t-1\right]·\left[2,1,-1\right]& = & 0\\ 2s-4t-2-t-t+1& =& 0\\ 2s-6t-1& =& 0\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_x=\left[1,0,0\right]$ til $x$-aksen, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_x=0$. Det gir oss ei ny likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[s-2t-1, -t, t-1\right]·\left[1,0,0\right]& = & 0\\ s-2t-1& =& 0\\ s& =& 2t+1\end{array}$

Vi set uttrykket for $s$ inn i den første likninga:

$\begin{array}{rcl}2\left(2t+1\right)-6t-1 & =& 0\\ 4t+2-6t-1 & =& 0\\ -2t & =& -1\\ t & =& \frac{1}{2}\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}2s-6·\frac{1}{2}-1 & =& 0\\ 2s-3-1 & =& 0\\ 2s & =& 4\\ s & =& 2\end{array}$

Vi set desse verdiane inn i utrykket for $\overrightarrow{PQ}$ for å finne koordinatane til den vektoren som står normalt på retningsvektorane til dei to linjene.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[s-2t-1,-t, t-1\right]\\ & =& \left[2-2·\frac{1}{2}-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1\right]\\ & =& \left[0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right]\end{array}$

Til slutt finn vi lengda av $\overrightarrow{PQ}$.

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Avstanden mellom $m$ og $x$-aksen er $\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Ein retningsvektor ${\overrightarrow{v}}_y$ for $y$-aksen er ${\overrightarrow{e}}_y=\left[0,1,0\right]$, og origo er eit punkt på aksen. Ei parameterframstilling for $y$-aksen er derfor

$l_y: \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=s\\ z=0\end{array}\right.$

Vi lar $P$ vere eit punkt på $n$ og $Q$ vere eit punkt på $y$-aksen og finn først $\overrightarrow{PQ}$. Sidan vi har brukt $s$ som parameter på $l_y$, bruker vi $t$ som parameter på $n$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[0-\left(-t\right), s-\left(2+t\right), 0-\left(1+2t\right)\right]\\ & =& \left[t, s-t-2, -2t-1\right]\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,1,2\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_n=0$. Det gir oss éi likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[t, s-t-2, -2t-1\right]·\left[-1,1,2\right]& = & 0\\ t·\left(-1\right)+\left(s-t-2\right)·1+\left(-2t-1\right)·2& =& 0\\ -t+s-t-2-4t-2& =& 0\\ s-6t-4& =& 0\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_y=\left[0,1,0\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_x=0$. Det gir oss ei ny likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[t, s-t-2, -2t-1\right]·\left[0,1,0\right]& = & 0\\ \left(s-t-2\right)·1& =& 0\\ s-t-2& =& 0\\ s& =& t+2\end{array}$

Vi set uttrykket for $s$ inn i den første likninga:

$\begin{array}{rcl}t+2-6t-4 & =& 0\\ -5t-2 & =& 0\\ -5t & =& 2\\ t & =& -\frac{2}{5}\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}s & =& -\frac{2}{5}+2=-\frac{2}{5}+\frac{10}{5}=\frac{8}{5}\end{array}$

Vi set desse verdiane inn i utrykket for $\overrightarrow{PQ}$ for å finne koordinatane til den vektoren som står normalt på retningsvektorane til dei to linjene.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[t, s-t-2, -2t-1\right]\\ & =& \left[-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}-\left(-\frac{2}{5}\right)-2, -2·\left(-\frac{2}{5}\right)-1\right]\\ & =& \left[-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}+\frac{2}{5}-\frac{10}{5}, \frac{4}{5}-\frac{5}{5}\right]\\ & =& \left[-\frac{2}{5},0,-\frac{1}{5}\right]\end{array}$

Til slutt finn vi lengda av $\overrightarrow{PQ}$.

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2+0^2+{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{5}{25}}=\frac{1}{5}\sqrt{5}$

Avstanden mellom $n$ og $y$-aksen er $\frac{1}{5}\sqrt{5}$.

Vi lar som før $P$ vere eit punkt på $m$ og $Q$ vere eit punkt på $n$.

Avstanden mellom linjene er 0, så linjene skjer kvarandre. Vinkelen mellom linjene er 0,59.

Vi viser dette ved å vise at retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m$ for $m$ er parallell med retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n$ for $n$. Retningsvektorar er

${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$, ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$

Dersom ${\overrightarrow{v}}_m\parallel {\overrightarrow{v}}_n$ må ${\overrightarrow{v}}_m=k·{\overrightarrow{v}}_n$, der $k$ er ein konstant. Dette gir

$\begin{array}{rcl}\left[2,1,-1\right] & =& k\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2 & =& k·\left(-1\right) \wedge 1=k·\left(-\frac{1}{2}\right) \wedge -1=k·\frac{1}{2}\\ k & =& -2 \wedge k=-2 \wedge k=-2\end{array}$

Vi får same verdi for $k$ for alle dei tre koordinatane. Då er vektorane parallelle, og linja $m$ er parallell med linja $n$.

Vi må sjekke om eit punkt på den eine linja òg ligg på den andre.

Vi les av parameterframstillinga til $n$ at punktet $\left(-2,3,1\right)$ ligg på $n$. Så sjekkar vi om punktet ligg på $m$. Når vi har at $x=1+2t$, og set $x=-2$, får vi

$\begin{array}{rcl}1+2t & =& -2\\ 2t & =& -3\\ t & =& -\frac{3}{2}\end{array}$

Så set vi dette resultatet inn i $y$-koordinaten til $m$.

$y=t=-\frac{3}{2}$

Vi får at $t=-\frac{3}{2}$ ikkje gir $y=3$. Derfor ligg ikkje punktet $\left(-2,3,1\right)$ på $m$, berre på $n$. Då er ikkje linjene samanfallande.

Legg merke til at dersom vi hadde fått $y=3$, måtte vi ha sjekka $z$-koordinaten for å sjå om han blir 1 når $t=-\frac{3}{2}$.

Vi lar $P$ vere eit punkt på $m$ og $Q$ vere eit punkt på $n$.

Løysing utan hjelpemiddel

Vi finn først $\overrightarrow{PQ}$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[-2-s-\left(1+2t\right), 3-\frac{s}{2}-t, 1+\frac{s}{2}-\left(-t\right)\right]\\ & =& \left[-s-2t-3, -\frac{s}{2}-t+3, \frac{s}{2}+t+1\right]\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ til linja $m$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_m=0$. Det gir oss éi likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-3, -\frac{s}{2}-t+3, \frac{s}{2}+t+1\right]·\left[2,1,-1\right]& = & 0\\ -2s-4t-6-\frac{s}{2}-t+3-\frac{s}{2}-t-1& =& 0\\ -3s-6t-4& =& 0\\ -3s& =& 6t+4\\ s& =& -2t-\frac{4}{3}\end{array}$

Så krev vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_n=0$. Det gir oss ei ny likning med $s$ og $t$, der vi set inn $s=-2t-\frac{4}{3}$ til slutt:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-3, -\frac{s}{2}-t+3, \frac{s}{2}+t+1\right]·\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]& = & 0\\ s+2t+3+\frac{s}{4}+\frac{t}{2}-\frac{3}{2}+\frac{s}{4}+\frac{t}{2}+\frac{1}{2}& =& 0\\ \frac{3s}{2}+3t+2& =& 0\\ \frac{3}{2}·\left(-2t-\frac{4}{3}\right)+3t+2& =& 0\\ -3t-2+3t+2& =& 0\\ 0t& =& 0\end{array}$

Likningssettet har uendeleg mange løysingar. Årsaka til dette er at dei to retningsvektorane er parallelle. Då blir den eine likninga lik ein konstant multiplisert med den andre, og vi har i prinsippet berre éi likning med to ukjende. Dermed kan ikkje denne framgangsmåten brukast for å finne avstanden mellom to parallelle linjer.

Vel eit punkt på éi av linjene.

Vi vel eitt punkt på éi av linjene og finn avstanden frå punktet til den andre linja. Vi vel

$A=n\left(0\right)=\left(-2,3,1\right)$

Avstanden mellom linjene er $\frac{7}{3}\sqrt{3}$.

Først vel vi oss eit vilkårleg punkt B på m (linje 7). Så lagar vi oss ein vektor frå B til eit ukjent punkt C. Deretter krev vi at skalarproduktet mellom $\overrightarrow{BC}$ og retningsvektoren til m er 0 (linje 10), og at lengda av $\overrightarrow{BC}$ er 3 (linje 11). Då har vi to likningar og tre ukjende.

Det er uendeleg mange punkt som tilfredsstiller dei to likningane. Sidan vi berre skal finne ei eller anna linje som oppfyller krava i oppgåva, kan vi velje til dømes $x=0$. Vi vel den første løysinga i linje 13 og får at punktet med koordinatane $\left(0,\sqrt{3}+1,\sqrt{3}-1\right)$ ligg i avstand 3 frå linja m. Sidan linja o har same retningsvektor som m, blir ei parameterframstilling for o

$o: \left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=\sqrt{3}+1+t\\ z=\sqrt{3}-1-t\end{array}\right.$

Vi startar med å sjekke om linjene står vinkelrett på kvarandre ved å sjekke om skalarproduktet mellom retningsvektorane er 0. Så sjekkar vi om linjene er parallelle og i tilfelle om dei er samanfallande.

Linje 3 gir at linjene ikkje står normalt på kvarandre sidan skalarproduktet mellom retningsvektorane ikkje er 0. Linje 4 gir at linjene er parallelle sidan det finst ein $k$ som er slik at ${\overrightarrow{v}}_m=k·{\overrightarrow{v}}_n$. Vi vel eit punkt $A$ på $n$ ved å setje $s=0$. I linje 6 sjekkar vi om $A$ òg ligg på $m$ ved å sjå om det finst ein $t$ som gir oss $A$. Det er det, dermed er dei to linjene samanfallande.

Det er lurt å først køyre desse enkle testane på om linjene står vinkelrett på kvarandre, er parallelle eller samanfallande, for då kan vi kanskje sleppe å bruke desse meir kompliserte metodane for å finne avstanden og vinkelen mellom to linjer. I dette tilfellet slepp vi det.