Skjering og vinkel mellom linje og plan

Skjering med $xy$-planet ($z=0$):

$\begin{array}{rcl}z & =& 0\\ 6t & =& 0\\ t & =& 0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}x & =& 2-t=2-0=2\\ y & =& 3+3t=3+3·0=3\end{array}$

Skjeringspunktet mellom $m$ og $xy$-planet er $\left(2,3,0\right)$.

Skjering med $xz$-planet ($y=0$):

$\begin{array}{rcl}y & =& 0\\ 3+3t & =& 0\\ 3t & =& -3\\ t & =& -1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}x & =& 2-t=2-\left(-1\right)=3\\ z & =& 6t=6·\left(-1\right)=-6\end{array}$

Skjeringspunktet mellom $m$ og $xz$-planet er $\left(3,0,-6\right)$.

Skjering med $yz$-planet ($x=0$):

$\begin{array}{rcl}x & =& 0\\ 2-t & =& 0\\ t & =& 2\end{array}$

$\begin{array}{rcl}y & =& 3+3t=3+3·2=3+6=9\\ z & =& 6t=6·2=12\end{array}$

Skjeringspunktet mellom $m$ og $yz$-planet er $\left(0,9,12\right)$.

Vi får dei same svara som i oppgåve a).

Ein normalvektor til $xy$-planet er $\overrightarrow{n}={\overrightarrow{e}}_z=\left[0,0,1\right]$. Ein retningsvektor for $m$ er $\overrightarrow{v}=\left[-1,3,6\right]$, som vi les direkte frå parameterframstillinga. Vi løyser oppgåva med CAS.

Vinkelen mellom $m$ og $xy$-planet er 1,09.

Vi set parameterframstillinga for $l$ inn i planlikninga for $\alpha$.

$\begin{array}{rcl}2x-2y+z-2 & =& 0\\ 2\left(1-t\right)-2·0+1+t-2 & =& 0\\ 2-2t+t-1 & =& 0\\ -t+1 & =& 0\\ t & =& 1\end{array}$

Så set vi løysinga inn i parameterframstillinga for $l$. Skjeringspunktet mellom $l$ og $\alpha$ er

$\left(1-1,0,1+1\right)=\left(0,0,2\right)$

Vi får det same svaret som i oppgåve a).

Ein normalvektor til $\alpha$ er $\overrightarrow{n}=\left[2,-2,1\right]$, og ein retningsvektor for $l$ er $\overrightarrow{v}=\left[-1,0,1\right]$, som vi les direkte frå parameterframstillinga. Vi løyser oppgåva med CAS.

Vinkelen mellom $l$ og $\alpha$ er 0,24.

Vi set parameterframstillinga for $l$ inn i planlikninga for $\alpha$.

$\begin{array}{rcl}2x-2y+z-2 & =& 0\\ 2\left(t-1\right)-2·t+3-2 & =& 0\\ 2t-2-2t+3-2 & =& 0\\ 0t-1 & =& 0\\ 0t & =& 1\end{array}$

Likninga har inga løysing. Det betyr at linja er parallell med, og ikkje samanfallande med, planet. Det finst ingen skjeringspunkt.

Vi får det same med CAS, det vil si inga løysing.

Vi set parameterframstillinga for $m$ inn i planlikninga for $\alpha$.

$\begin{array}{rcl}2x-2y+z-2 & =& 0\\ 2\left(1-t\right)-2·\left(-1-t\right)+\left(-2\right)-2 & =& 0\\ 2-2t+2+2t-2-2 & =& 0\\ 0t & =& 0\end{array}$

Likninga har uendeleg mange løysingar. Det betyr at det er uendeleg mange skjeringspunkt mellom linja og planet, som igjen betyr at linja ligg i planet.

Vi får det same med CAS, det vil seie uendeleg mange løysingar.

Skjering med $xy$-planet vil seie at $z=0$. Vi får

$\begin{array}{rcl}z & =& 0\\ 2\sin t & =& 0\\ t & =& n·\pi , n\in \mathrm{\mathbb{N}}\end{array}$

Vi får uendeleg mange skjeringspunkt mellom kurva $k$ og $xy$-planet. Skjeringspunkta blir

$\left(-3+\frac{1}{2}·n·\pi ,2+n·\pi ,0\right)=\left(-3+\frac{n}{2}\pi ,2+n·\pi ,0\right)$

Vi kan bestemme parameteren $t$ når vi veit at $x=3$.

$\begin{array}{rcl}x & =& 3\\ 2+t & =& 3\\ t & =& 3-2\\ t & =& 1\end{array}$

I skjeringspunktet må $z=0$. Det gir

$\begin{array}{rcl}z & =& 0\\ -1+s·1 & =& 0\\ s & =& 1\end{array}$

Linja $l$ skjer $xy$-planet for $x=3$ når $s=1$.

I oppgåve a) fekk vi at vilkåret er oppfylt for $s=1$. Då blir parameterframstillinga til $l$

$l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3-t\\ z=-1+t\end{array}\right.$

Ein retningsvektor for $l$ er då $\overrightarrow{v}=\left[1,-1,1\right]$. Ein normalvektor til $xy$-planet er $\overrightarrow{n}=\left[0,0,1\right]$. Med CAS får vi

Vinkelen mellom $l$ og $xy$-planet er 0,62.

Ein algoritme for programmet kan sjå slik ut:

• Legg koordinatane til retningsvektoren til linja i ei liste.

• Legg koordinatane til normalvektoren til planet i ei liste.

• Rekn ut vinkelen mellom $\overrightarrow{v}$ og $\overrightarrow{n}$ ved hjelp av formelen $\cos u=\frac{\overrightarrow{n}·\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{n}\right|·\left|\overrightarrow{v}\right|}$.

Tips til programmet:

• Bruk kommandoen "numpy.arccos()" til å rekne ut vinkelen.

• Bruk kommandoen "numpy.dot()" til å rekne ut skalarproduktet mellom $\overrightarrow{v}$ og $\overrightarrow{n}$.

• Regn ut lengda av vektorane ved å ta kvadratrota av skalarproduktet av vektorane med seg sjølv.

Programmet kan sjå slik ut:

1import numpy as np
2      # legg koordinatane til vektorane i listene n og v
3n = (2,-2,1)
4v = (-1,0,1)
5      # reknar ut skalarproduktet mellom n og v
6n_prikk_v = np.dot(n,v)
7      #reknar ut lengda av n og lengda av v
8abs_n = np.sqrt(np.dot(n,n))
9abs_v = np.sqrt(np.dot(v,v))
10
11u = np.arccos(n_prikk_v/abs_n/abs_v)
12
13print(f"Vinkelen mellom planet og linja er {abs(np.pi/2 - u):.2f}.")