Fag

Emne

Kurver og flater i rommet

Fagstoff

Video

Kuleflater

Det finst mange typar flater i rommet. Her skal vi sjå på kuleflater. Ei kuleflate er overflata av ei kule, og vi skal utforske korleis vi kan beskrive ho matematisk.

Ei kuleflate i tre dimensjonar kan beskrivast matematisk på fleire måtar, ikkje ulikt slik vi kan beskrive ein sirkel i planet på fleire måtar. Her skal vi jobbe mest med likningsframstilling for kuleflater, men dersom du ønsker ekstra fordjuping, kan du òg jobbe med parameterframstilling av kuleflater lenger ned i artikkelen.

Likningsframstilling for kuleflate

Ei kuleflate er teikna i eit tredimensjonalt koordinatsystem. Kuleflata har sentrum i punktet S med koordinatane x 0, y 0 og z 0. Eit punkt P ligg på kuleflata og har koordinatane x, y og z. Vektoren frå S til P er også teikna inn. Avstanden mellom S og P er r. Illustrasjon.

På figuren har vi teikna ei kule med sentrum i $S$ og radius $r$ . Kuleflata er samlinga av alle punkt $P$ som har avstanden $r$ frå $S$ .

Vi lar $P (x, y, z)$ vere eit punkt på kuleflata.
Då veit vi at $\vec{S P} = r$ .

Dette gir

$\begin{array}{rcl} \vec{S P} & = & r \\ [x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}] & = & r \\ \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}} & = & r \\ {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} & = & r^{2} \end{array}$

Vi har no ei likning for kuleflata.

Dersom origo er sentrum i kula, blir likninga for kuleflata

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$

Når likninga for ei kuleflate er gitt på forma ovanfor, er det lett å finne sentrum og radius i kula.

Døme

Finn sentrum og radius til ei kule når likninga for kuleflata er gitt ved

$(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 5^{2}$

Forklaring

Her finn vi koordinatane til sentrum og radiusen direkte ved å sjå på likninga.

Sentrum i kuleflata er $(2, - 4, 6)$ , og radiusen er $5$ .

Døme

Ofte er ikkje likninga til kuleflata ordna slik at vi kan lese ut sentrum og radius direkte. Likninga nedanfor beskriv òg ei kuleflate:

$x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y + z^{2} = - 1$

For å finne sentrum og radius i denne kula må vi omarbeide uttrykket litt.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi forme om likninga slik at vi kan lese ut koordinatane til sentrum i kula og radiusen til kula?

Forklaring

Vi kan lage fullstendige kvadrat av alle ledda som inneheld $x$ , ledda som inneheld $y$ , og ledda som inneheld $z$ , kvar for seg ved å fullføre kvadrata slik vi gjer når vi jobbar med sirklar i R1. Då skal vi ende opp med ei likning på forma

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$

Vi lagar fullstendige kvadrat av ledda med $x$ , ledda med $y$ og ledda med $z$ kvar for seg. Då gjeld det å hugse korleis vi gjer det! Sjå teorisida "Ein sirkel i planet" dersom du vil ha ein repetisjon.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y + z^{2} & = & - 1 \\ x^{2} + 2 x + 1^{2} - 1^{2} + y^{2} - 6 y + 3^{2} - 3^{2} + z^{2} & = & - 1 \\ \underset{{(x + 1)}^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + 2 x + 1} +} \underset{{(y - 3)}^{2}}{\underset{⏟}{y^{2} - 6 y + 9}} + z^{2} & = & - 1 + 1 + 9 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} & = & 3^{2} \end{array}$

Dette er altså likninga for ei kuleflate med sentrum i $(- 1, 3, 0)$ og med radius $3$ .

Dersom likninga ikkje kan skrivast på forma ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$ , er det ikkje likninga for ei kuleflate.

Parameterframstilling for kuleflate

I eit tredimensjonalt koordinatsystem er det teikna ei kule med sentrum i origo kalla O og radius r. Eit punkt P med koordinatane x, y og z ligg på kuleflata. I tillegg er punkta A med koordinatane x, 0 og 0 og B med koordinatane x, y og 0 teikna inn. Vinkel B O P er kalla u, og vinkel A O B er kalla v. Vinklane O B P og O A B er 90 gradar. Illustrasjon.

Det er fleire måtar å lage ei parameterframstilling av ei kuleflate på. Akkurat som for eit plan treng vi to parametrar for å lage ei parameterframstilling for ei kuleflate. Her vel vi å bruke ei parameterframstilling der dei to parametrane er vinklar. Desse har vi kalla $u$ og $v$ på figuren.

Vi ser på ei kule med radius $r$ plassert med sentrum i origo. Vi lar $P (x, y, z)$ vere eit vilkårleg punkt på kuleflata slik at $|\vec{O P}| = r$ .

Normalen frå $P$ ned til $x y$ -planet treffer $x y$ -planet i punktet $B (x, y, 0)$ . Punktet $B$ får same $x$ - og $y$ -koordinat som punktet $B$ .

$u$ er vinkelen mellom $\vec{O P}$ og $\vec{O B}$ på figuren, og $v$ er vinkelen mellom $\vec{O B}$ og $x$ -aksen ( $\vec{O A}$ ).

No må vi finne vinklane $u$ og $v$ uttrykt ved dei andre storleikane i figuren. Det får vi ved å ta sinus og cosinus til vinklane. Sidan punkta på figuren dannar to rettvinkla trekantar, får vi

$\begin{array}{lcl} \sin u = \frac{|\vec{B P}|}{|\vec{O P}|} = \frac{z}{r} & \Rightarrow & z = r \cdot \sin u \\ \cos u = \frac{|\vec{O B}|}{|\vec{O P}|} = \frac{|\vec{O B}|}{r} & \Rightarrow & O B = r \cdot \cos u \\ \cos v = \frac{|\vec{O A}|}{|\vec{O B}|} = \frac{x}{r \cdot \cos u} & \Rightarrow & x = r \cdot \cos u \cdot \cos v \\ \sin v = \frac{|\vec{A B}|}{|\vec{O B}|} = \frac{y}{r \cdot \cos u} & \Rightarrow & y = r \cdot \cos u \cdot \sin v \end{array}$

Det vilkårlege punktet $P$ er då beskrive ved parametrane $u$ og $v$ . Ei kuleflate $k$ med sentrum origo og med radius $r$ har derfor parameterframstillinga

$k : \{\begin{cases} \begin{array}{l} x = r \cdot \cos u \cdot \cos v \\ y = r \cdot \cos u \cdot \sin v \\ z = r \cdot \sin u \end{array} \end{cases}$

Den tilsvarande vektorfunksjonen for kuleflata blir

$\vec{O P} = [r \cdot \cos u \cdot \cos v, r \cdot \cos u \cdot \sin v, r \cdot \sin u]$

🤔 Tenk over: Kva er definisjonsområdet til $u$ og $v$ ?

Forklaring

$v$ må gå ein heil runde for å dekke heile kula, som betyr at

$v \in [0, 2 π 〉$

Grensene for $u$ får vi når $P$ er i punktet $(0, 0, r)$ (øvst på kuleflata) og i punktet $(0, 0, - r)$ (nedst på kuleflata). Vi har definert $u$ som vinkelen mellom $\vec{O P}$ og $\vec{O B}$ , som er parallell med $x y$ -planet. Det betyr at i det første tilfellet har vi $u = \frac{π}{2}$ , og i det andre tilfellet er $u = - \frac{π}{2}$ . Vi får

$u \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

🤔 Tenk over: Kva skjer med parameterframstillinga dersom vi flyttar sentrum av kula til punktet $S (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ?

Forklaring

Punktet $P$ blir forskyvt frå $(x, y, z)$ til $(x_{0} + x, y_{0} + y, z_{0} + z)$ . $x$ -koordinaten får med andre ord eit tillegg $x_{0}$ , og det blir tilsvarande tillegg til $y$ - og $z$ -koordinatane. Parameterframstillinga for ei kuleflate $k$ med sentrum i $S (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ blir derfor

$k : \{\begin{cases} \begin{array}{l} x = x_{0} + r \cdot \cos u \cdot \cos v \\ y = y_{0} + r \cdot \cos u \cdot \sin v \\ z = z_{0} + r \cdot \sin u \end{array} \end{cases}$

Intervalla for $u$ og $v$ er uforandra.

Døme

Ei kuleflate med radius lik $5$ og sentrum i origo har vektorfunksjonen

$\vec{O P} = [5 \cos u \cdot \cos v, 5 \cos u \cdot \sin v, 5 \sin u]$

Vi kan flytte sentrum i kula til punktet $(0, 0, 20)$ ved å auke $z$ -koordinaten til vektorfunksjonen med 20:

$\vec{O P} = [5 \cos u \cdot \cos v, 5 \cos u \cdot \sin v, 20 + 5 \sin u]$

Teikne kule med GeoGebra

Vi får teikna kula i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra ved å skrive inn likninga eller vektorfunksjonen for kuleflata i algebrafeltet eller i CAS-feltet. Vektorfunksjonen i det siste dømet over kan vi skrive inn i CAS-feltet som

r(u,v):=(5·cos(u)·cos(v),5·cos(u)·sin(v),20+5·sin(u))

Vi kan òg bruke kommandoen "Kule(Punkt, Radius)" dersom vi kjenner sentrum og radiusen i kula. Ein annan variant av kommandoen er "Kule(Punkt, Punkt)" der det første punktet er sentrum i kula og det andre punktet ligg på kuleflata.

Oppsummering

Generelt er ei kuleflate med radius $r$ og sentrum i $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ gitt ved likninga

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$

Ei parameterframstilling for kuleflata er

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = x_{0} + r \cos u \cos v \\ y = y_{0} + r \cos u \sin v \\ z = z_{0} + r \sin u \end{array} \end{cases}$

der $u \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ og $v \in [0, 2 π ⟩$

Den tilsvarande vektorfunksjonen er $\vec{O P} = [x_{0} + r \cos u \cos v, y_{0} + r \cos u \sin v, z_{0} + r \sin u]$

Video om likningsframstilling av ei kuleflate

Likningsframstilling av ei kuleflate. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0