Fag

Emne

Kurver og flater i rommet

Fagstoff

Interaktivt innhald

Video

Plan i rommet

I tillegg til linjer og kurver skal vi mellom anna studere plan. Korleis beskriv vi eit plan matematisk?

Definisjon av plan. Normalvektor

Eit plan er ei plan flate i rommet. Ein definisjon på eit plan er at når ei rett linje går gjennom to punkt i eit plan, vil alle punkt på linja ligge i planet.

Ein annan måte å definere eit plan på er at vektorar i alle punkt i planet som står normalt på planet, vil vere parallelle. Vektorane $\vec{m}$ og $\vec{n}$ på figuren nedanfor er to slike vektorar. Vi kallar ein slik vektor for ein normalvektor til planet.

Ei plan flate med to punkt i flata. Frå kvart punkt er det reist to vektorar m og n som står normalt på flata. Dei to vektorane er parallelle. Illustrasjon.

Dersom vi har to rette, ikkje-parallelle linjer som ligg i planet, vil vektorproduktet til retningsvektorane til linjene vere ein normalvektor til planet.

Koordinatplana

Tidlegare har vi snakka om dei tre koordinatplana: $x y$ -planet, $x z$ -planet og $y z$ -planet.

🤔 Tenk over: Kva kan du seie om eit punkt i $x y$ -planet?

I eit tredimensjonalt koordinatsystem er eit punkt med koordinatane 3, 2 og 0 teikna inn. Punktet ligg i xy-planet. Illustrasjon. — xy-planet med punktet (3,2,0) som ligg i planet

Punkt i xy-planet

Eit punkt i $x y$ -planet vil ha koordinatane $(a, b, 0)$ der $a$ og $b$ er fritt valde konstantar. Med andre ord: Det vi veit om punktet, er at $z = 0$ .

🤔 Tenk over: Kva kan du seie om vektorar som er parallelle med eller står normalt på $x y$ -planet?

Vektorar og xy-planet

Ein vektor som er parallell med $x y$ -planet kan ha mange ulike retningar. Men det er berre to moglege retningar ein vektor kan ha slik at han står normalt på $x y$ -planet: positiv og negativ $z$ -retning.

Generelle plan

Nedanfor har vi teikna eit vilkårleg plan i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Punktet $A (1, 1, 2)$ ligg i planet. Du kan dra i figuren for å rotere koordinatsystemet.

Last ned simuleringa her dersom ho ikkje blir vist.(GGB)

Plan gitt ved punkt og normalvektor. Likninga for eit plan

Som med koordinatplana er det mange retningar ein vektor kan ha som er parallelle med planet, men berre to retningar som står normalt på planet. Vi kan bruke det siste til å komme fram til likninga for planet.

Tredimensjonalt koordinatsystem der eit plan alfa er teikna inn. I planet alfa er det teikna inn to punkt: P med koordinatane x, y og z og Q med koordinatane x 0, y 0 og z 0. Frå punktet Q er det teikna ein vektor med koordinatane a, b og c som står normalt på vektoren mellom P og Q. Illustrasjon.

La $α$ vere eit plan i rommet. La vidare $Q (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ vere eit fast punkt i planet og $\vec{n} = [a, b, c]$ ein normalvektor til planet, det vil seie ein vektor som står normalt på planet.

For eit vilkårleg punkt $P (x, y, z)$ som ligg i planet, gjeld at $\vec{Q P} ⊥ \vec{n}$ . Det gir oss

$\begin{array}{rcl} \vec{Q P} \cdot \vec{n} & = & 0 \\ [x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}] \cdot [a, b, c] & = & 0 \\ a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \end{array}$

Vi har fått ei likning som beskriv planet $α$ . Alle punkt $(x, y, z)$ som tilfredsstiller likninga, ligg i planet.

🤔 Tenk over: Kva treng vi ut frå dette for å kunne komme fram til likninga for eit plan (planlikninga)?

Likninga for eit plan

Vi treng

eit punkt i planet
ein normalvektor til planet

Vi kan multiplisere ut parentesane og samle dei konstante ledda i likninga i éin konstant. Då får vi likninga for planet gitt på den mest vanlege forma:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ a x - a x_{0} + b y - b y_{0} + c z - c z_{0} & = & 0 \\ a x + b y + c z - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0} & = & 0 \\ a x + b y + c z + d & = & 0 \end{array} \end{array}$

Her har vi sett $d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$ .

Døme

La $\vec{n} = [2, 3, 4]$ vere ein normalvektor til planet $β$ . Punktet $Q (1, 2, 3)$ ligg i planet. La $P (x, y, z)$ vere eit vilkårleg punkt i planet. Finn likninga for planet $β$ .

Vi set tala direkte inn i likninga for eit plan:

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 2 (x - 1) + 3 (y - 2) + 4 (z - 3) & = & 0 \\ 2 x - 2 + 3 y - 6 + 4 z - 12 & = & 0 \\ 2 x + 3 y + 4 z - 20 & = & 0 \end{array}$

Legg merke til at vi kan lese av koordinatane til normalvektoren $\vec{n} = [2, 3, 4]$ ved å lese av tala framfor $x$ , $y$ og $z$ i likninga for $β$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem der planet beta er teikna. Punkta P med koordinatane x, y og z og Q med koordinatane 1, 2 og 3 er teikna inn. Punkta ligg i planet beta. Vektoren n med koordinatane 2, 3 og 4 er teikna inn og har startpunkt i punktet Q. Vektoren P Q står normalt på vektoren n. Illustrasjon.

Plan gitt ved tre punkt

🤔 Tenk over: Vi har at to punkt definerer ei linje. Kor mange punkt trengst for å definere eit plan, og kvifor?

Forklaring

Dersom vi har tre punkt som ikkje ligg på ei linje, kan vi alltid finne eit plan som går gjennom punkta. Det er fordi at av dei tre punkta kan vi lage to ikkje-parallelle linjer som ligg i planet, og vektorproduktet mellom retningsvektorane til desse vil vere ein normalvektor til planet. Sjå definisjonen øvst på sida.

Dersom vi har fire eller fleire punkt, er det ikkje sikkert at alle punkta ligg i same plan.

Døme

Vi skal finne likninga for eit plan $α$ som går gjennom punkta

$A (4, 0, 0), B (2, 3, 0)$ og $C (0, 0, 2)$

Utan hjelpemiddel må vi først finne ein normalvektor for planet.

Sidan $A B$ og $A C$ ligg i planet og $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er retningsvektorar for linjene gjennom $A$ og $B$ og gjennom $A$ og $C$ , vil $\vec{A B} \times \vec{A C}$ vere ein normalvektor for planet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [2 - 4, 3 - 0, 0 - 0] \\ = & [- 2, 3, 0] \\ \vec{A C} & = & [0 - 4, 0 - 0, 2 - 0] \\ = & [- 4, 0, 2] \end{array}$

Så må vi rekne ut vektorproduktet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} \times \vec{A C} & = & [- 2, 3, 0] \times [- 4, 0, 2] \\ = & [3 \cdot 2 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 4) - 2 \cdot (- 2), (- 2) \cdot 0 - (- 4) \cdot 3] \\ = & [6, 4, 12] \\ = & 2 [3, 2, 6] \end{array}$

$[6, 4, 12]$ og $[3, 2, 6]$ er begge normalvektorar for planet $α$ . Då bruker vi den kortaste til å lage planlikninga.

Vi bruker så at likninga for eit plan kan skrivast som

$a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) = 0$

Som punktet $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ kan vi bruke eit av dei tre punkta $A, B$ eller $C$ . Vi vel her å bruke punktet $A (4, 0, 0)$ og får

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 3 (x - 4) + 2 (y - 0) + 6 (z - 0) & = & 0 \\ 3 x + 2 y + 6 z - 12 & = & 0 \end{array}$

Her er det bra å ha for vane å kontrollere at alle dei tre punkta passar i planlikninga. Det er ikkje mykje arbeid og vil avsløre om noko har blitt feil.

Til dømes ser vi at $B (2, 3, 0)$ passar i planlikninga fordi

$3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 6 \cdot 0 - 12 = 6 + 6 - 12 = 0$

Parameterframstilling for plan

Det er mest vanleg å beskrive eit plan med ei likning slik vi har gjort over, men vi kan òg lage ei parameterframstilling for planet.

Eit plan alfa er danna av punkta A, B, C og P. P har koordinatane x, y og z. Punktet O ligg i origo og har koordinatane 0,0 og 0. Følgande vektorar er teikna inn: A B, A C, A P, O A og O P. Illustrasjon.

La $A, B$ og $C$ vere tre punkt som ikkje ligg på den same rette linja i eit plan $α$ . La $P$ vere eit vilkårleg punkt i planet. Sjå figuren.

Vi lagar oss vektorane $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

🤔 Tenk over: Kan vi uttrykke $\vec{A P}$ ved hjelp av vektorane $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ og to parametrar $s$ og $t$ ?

Forklaring

Svaret er ja. $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er parallelle med planet, og ein lineær kombinasjon $s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C}$ vil derfor gi ein vektor $\vec{A P}$ som òg er parallell med planet. Vi kan dermed bestemme kvar $P$ skal ligge ved å justere på $s$ og $t$ .

Vi kan no finne eit uttrykk for $\vec{O P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ = & \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C} \end{array}$

Dette er veldig likt tilsvarande vektorlikning for ei linje. Likninga uttrykker at vi frå punktet $A$ kan nå eit kva som helst punkt $P$ i planet ved å gå $s$ steg i retninga til $\vec{A B}$ og $t$ steg i retninga til $\vec{A C}$ . Likninga beskriv derfor planet $α$ . Dersom vi set $A = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), \vec{A B} = [a_{1}, b_{1}, c_{1}], \vec{A C} = [a_{2}, b_{2}, c_{2}]$ og $\vec{O P} = [x, y, z]$ , kan vi skrive parameterframstillinga for planet $α$ som

$α : {\begin{array}{rcl} x & = & x_{0} + s a_{1} + t a_{2} \\ y & = & y_{0} + s b_{1} + t b_{2} \\ z & = & z_{0} + s c_{1} + t c_{2} \end{array}$

ved å dele vektorlikninga opp i tre likningar, éi for kvar koordinat.

Døme

Vi skal utan hjelpemiddel finne ei parameterframstilling for eit plan $α$ som går gjennom punkta

$A (4, 0, 0), B (2, 3, 0)$ og $C (0, 0, 2)$

Dette er det same planet som vi finn likninga til lenger oppe på sida, der vi har at

$\vec{A B} = [- 2, 3, 0], \vec{A C} = [- 4, 0, 2]$

No kan vi anten gå vegen om vektorfunksjonen for planet eller gå rett på parameterframstillinga. Vi viser begge framgangsmåtane. Vektorfunksjonen for planet $α$ blir

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C} \\ = & [4, 0, 0] + s [- 2, 3, 0] + t [- 4, 0, 2] \\ = & [4 - 2 s - 4 t, 0 + 3 s + 0, 0 + 0 + 2 t] \\ = & [4 - 2 s - 4 t, 3 s, 2 t] \end{array}$

Når vi har vektorfunksjonen, har vi samtidig parameterframstillinga, akkurat som for ei linje. Alternativt kan vi finne parameterframstillinga ved å setje rett inn i den generelle parameterframstillinga over.

$α : {\begin{array}{rcl} x & = & x_{0} + s a_{1} + t a_{2} \\ y & = & y_{0} + s b_{1} + t b_{2} \\ z & = & z_{0} + s c_{1} + t c_{2} \end{array} = {\begin{array}{rcl} x & = & 4 + s \cdot (- 2) + t \cdot (- 4) \\ y & = & 0 + s \cdot 3 + t \cdot 0 \\ z & = & 0 + s \cdot 0 + t \cdot 2 \end{array} = {\begin{array}{rcl} x & = & 4 - 2 s - 4 t \\ y & = & 3 s \\ z & = & 2 t \end{array}$

🤔 Tenk over: Kan vi finne to vektorar som er parallelle med planet direkte ut ifrå parameterframstillinga?

Forklaring

Ja. På tilsvarande måte som vi kan lese ein retningsvektor for ei linje direkte ut frå parameterframstillinga for linja, kan vi lese ut to vektorar som er parallelle med planet ved å sjå på koeffisientane framfor $s$ -ledda og framfor $t$ -ledda.

Koeffisientane framfor $s$ -ledda gir vektoren $[- 2, 3, 0]$ . Koeffisientane framfor $t$ -ledda gir vektoren $[- 4, 0, 2]$ . Dette er vektorane $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ som vi starta med.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi finne likninga for eit plan ut ifrå ei parameterframstilling for planet?

Forklaring

Finn to vektorar som er parallelle med planet ved å lese direkte av parameterframstillinga.
Finn ein normalvektor til planet ved å rekne ut vektorproduktet mellom dei to vektorane.
Finn eit punkt i planet ved å velje $s = 0$ og $t = 0$ i parameterframstillinga.
Set koordinatane til normalvektoren og punktet inn i den generelle planlikninga.

Prøv denne framgangsmåten og sjå om du kjem fram til rett likning for planet $α$ !

Teikne plan med GeoGebra

Plan ut ifrå planlikning

Dersom vi skriv ei planlikning inn i algebra- eller CAS-feltet, vil GeoGebra teikne planet. Vi skriv

α:3x+2y+6z-12=0

for å teikne planet $α$ i dømet over ut ifrå planlikninga.

Plan ut ifrå parameterframstilling

Vi kan skrive inn ein vektorfunksjon for planet $α$ i dømet som ein funksjon av både $s$ og $t$ . I CAS skriv vi

α(s,t):=(4-2s-4t,3s,2t)

Plan ut ifrå punkt og normalvektor

Vi skriv først inn punktet og kallar det til dømes A. Så skriv vi inn normalvektoren og kallar han til dømes n. Kommandoen for å teikne planet $α$ i dømet over blir

α:Normalplan(A,n)

Plan ut ifrå tre punkt

Dersom vi går ut ifrå tre punkt, skriv vi først inn punkta og bruker kommandoen

α:Plan(A,B,C)

dersom punkta heiter $A, B$ og $C$ .

Vi kan òg bruke verktøyknappen for eit plan ut ifrå tre punkt.

Tredimensjonalt koordinatsystem der det er teikna tre punkt. Det er A med koordinatane 4, 0 og 0, B med koordinatane 2, 3 og 0 og C med koordinatane 0, 0 og 2. Eit plan alfa går gjennom dei tre punkta. Illustrasjon.

Ver merksam på at det finst ein kommando Plan(punkt,vektor,vektor) der planet blir laga ut frå eit punkt i planet og to vektorar som er parallelle med planet. Denne kommandoen fungerer berre i algebrafeltet. I CAS feiltolkar GeoGebra vektorane som punkt, og vi får eit heilt anna plan enn det vi ber om.

Oppsummering

$a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) = 0$

er den generelle likninga for eit plan $α$ som går gjennom punktet $Q (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ og har normalvektor $\vec{n} = [a, b, c]$ .

Når vi multipliserer ut parentesane, får vi ei likning gitt på forma

$a x + b y + c z + d = 0$

der

$d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$

Har vi gitt tre punkt $A, B$ og $C$ som ikkje ligg på den same rette linja, vil $\vec{A B} \times \vec{A C}$ vere ein normalvektor til planet gjennom dei tre punkta.

Ein vektorfunksjon for planet $α$ gjennom punkta $A, B$ og $C$ vil vere på forma

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ = & \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C} \end{array}$

der $s$ og $t$ er to vilkårlege parametrar.

Dersom vi set $A = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), \vec{A B} = [a_{1}, b_{1}, c_{1}], \vec{A C} = [a_{2}, b_{2}, c_{2}]$ og $\vec{O P} = [x, y, z]$ , kan vi skrive parameterframstillinga for planet $α$ som

$α : {\begin{array}{rcl} x & = & x_{0} + s a_{1} + t a_{2} \\ y & = & y_{0} + s b_{1} + t b_{2} \\ z & = & z_{0} + s c_{1} + t c_{2} \end{array}$

Video om plan gitt ved punkt og normalvektor

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om plan gitt ved tre punkt

Legg merke til at i videoen blir kryssproduktet rekna ut på ein litt annan måte enn det vi bruker å gjere.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om parameterframstilling for eit plan

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video som viser døme på ei parameterframstilling for eit plan

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0