Rasjonale funksjoner og vertikale asymptoter

Det er en rasjonal funksjon, siden telleren og nevneren er polynomer. En rasjonal funksjon er ikke definert når nevneren er lik $$ 0$$, og funksjonen til $$ f$$ er ikke definert for de $$ x$$-verdiene som gjør at nevneren blir $$ 0.$$

$$ \begin{array}{|cccccccccccc|}\hline x& 0& 1& 2& 3& 3,5& 3,99& 4& 4,01& 5& 6& 7\\ f\left(x\right)& -1& -2& -4& -10& -22& -1198& & 1202& 14& 8& 6\\ \hline\end{array}$$

Når $$ x$$-verdier nærmer seg 4 fra den negative sida av $$ x$$-aksen, slik som når $$ x$$ er lik 3,99 i verditabellen, minker verdien til $$ f\left(x\right)$$ mye. Grafen avtar raskt. Når $$ x$$-verdier nærmer seg $$ 4$$ fra den positive sida av $$ x$$-aksen, slik som når $$ x$$ er lik $$ 4,01$$ i verditabellen, stiger verdien til $$ f\left(x\right)$$ mye. Grafen vokser raskt.

Det er ikke mulig å finne en $$ f\left(x\right)$$-verdi for $$ x$$ er lik $$ 4$$, siden nevneren blir $$ 0.$$ Grafen eksisterer ikke for $$ x=4$$.

Vi setter nevneren lik $$ 0$$ for å finne den vertikale asymptoten:

$$ \begin{array}{rcl}x-4 & =& 0\\ x & =& 4\end{array}$$

Vi har funnet en vertikal asymptote for $$ x=4.$$

Vi tegner grafen til $$ f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x-4}$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Vi velger kommandoen Asymptote(<Funksjon>) og skriver $$ f$$ for "funksjon". Da finner vi den vertikale asymptoten, ei rød stiplet linje, for $$ x=4.$$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Linja $$ y=2$$, den røde stiplede linja, er en horisontal asymptote for $$ f$$. Den viser hvilken verdi grafen nærmer seg når $$ x$$ vokser mot $$ \pm \infty .$$

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm 2}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm 2}{\lim }\frac{3x+6}{x^2-4} = \underset{x\to \pm 2}{\lim }\frac{3\left(\cancel{x+2}\right)}{\left(\cancel{x+2}\right)(x-2)}\\ & =& \underset{x\to \pm 2}{\lim }\frac{3}{\left(x-2\right)} \end{array}$$

$$ \underset{x\to +2}{\lim }\frac{3}{(x-2)}=\frac{3}{\left(2-2\right)}=\frac{3}{0}=+\infty $$

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to -2}{\lim }\frac{3}{\left(x-2\right)}& =& \frac{3}{-2-2} ==- \frac{3}{4} \end{array}$$

Vi bruker CAS i GeoGebra. Vi velger kommandoen Grenseverdi ( <Uttrykk> , <Verdi> ) og får:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Funksjonen eksisterer ikke for når $$ x=2$$, mens den får verdien $$ f\left(x\right)=-\frac{3}{4}$$ når $$ x=-2.$$ Funksjonen har ingen asymptote i $$ x=-2$$, siden vi kan forkorte uttrykket og få $$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{3x+6}{x^2-4}\\ & =& \frac{3\left(\cancel{x+2}\right)}{\left(\cancel{x+2}\right)(x-2)}\\ & =& \frac{3}{x-2}\end{array}$$

Vi setter nevneren lik $$ 0.$$

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4 & =& 0\\ x^2 & =& 4\\ x & =& 2 \vee x =-2\end{array}$$

Vi undersøker om $$ x=2$$ er en vertikal asymptote.

Så setter vi $$ x=2$$ inn i telleren: $$ 3·2+6=12.$$

Telleren er et tall forskjellig fra null, og nevneren er null for  $$ x=2$$, så $$ x=2$$ er en vertikal asymptote.

Vi setter $$ x=-2$$ inn i telleren: $$ 3·(-2)+6=0.$$

Både telleren og nevneren er null for $$ x=-2$$ . Det gir et $$ \frac{0}{0}$$-uttrykk. Funksjonen kan da ha en grenseverdi når $$ x$$ nærmer seg $$ -2$$. Grenseverdien fant vi i a). Grenseverdien for $$ x=-2$$ er $$ -\frac{3}{4}.$$ Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $$ x=-2$$.

Den vertikale asymptoten til $$ f$$ lager ei rett linje som grafen til $$ f$$ bare kan nærme seg, men ikke krysse.

Grafen til $$ f\left(x\right)=\frac{3x+6}{x^2-4}$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for $$ x$$-verdier som gir $$ 0$$ i nevneren. Vi setter nevneren lik $$ 0$$:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2+4 & =& 0\\ x^2 & =& -4\end{array}$$

Det er ingen $$ x$$-verdier som gir $$ 0$$ i nevneren.

Definisjonsområdet for $$ f$$ er $$ D_f=ℝ$$. Funksjonen har ingen vertikale asymptoter, siden den er definert for alle verdier av $$ x.$$

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for $$ x$$-verdier som gir $$ 0$$ i nevneren. Vi setter nevneren lik $$ 0$$:

$$\begin{gathered} x^2-4 = 0 \\ {x}^{2 }= 4 \\ x = 2 \vee x = -2 \\ \end{gathered}$$

Vi sjekker om telleren blir $$ 0$$ for $$ x=2$$: $$ 2+1=3.$$

Vi sjekker om telleren blir $$ 0$$ for $$ x=-2$$: $$ -2+1=-1.$$

Både $$ x=2$$ og $$ x=-2$$ er asymptoter for $$ f\left(x\right).$$ Definisjonsområdet for $$ g$$ er $$ D_g=ℝ\backslash \left\{-2, 2 \right\}$$.

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:
$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x & =& 0\\ x(x-1) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 1\end{array}$$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $$ x=0$$: $$ 4·0^2=0$$. Det gir et $$ \frac{0}{0}$$-uttrykk. Funksjonen kan da ha en grenseverdi når $$ x$$ nærmer seg null.

Grenseverdien finner vi slik:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^2}{x^2-x} & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^{\cancel{2}}}{\cancel{x}(x-1)}\\ & =& \frac{4·0}{0-1} = \frac{0}{-1} = 0\end{array}$$

Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $$ x=0$$.

Vi sjekker om telleren blir $$ 0$$ for $$ x=1$$: $$ 4·1^2=4$$. Telleren er et tall forskjellig fra null, og nevneren er null for $$ x=1$$, så  $$ x=1$$ er en vertikal asymptote. Definisjonsområdet for $$ h$$ er $$ D_h=ℝ\backslash \left\{1 \right\}$$.

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for $$ x$$-verdier som gir $$ 0$$ i nevneren. Vi setter nevneren lik $$ 0$$: $$ \begin{array}{rcl}{x}^2+5x+6 & =& 0\\ (x+2)·(x+3) & =& 0\\ x& = & -2 \vee x = -3\end{array}$$.

Vi sjekker om telleren blir $$ 0$$ for $$ x=-2$$: $$ (-2{)}^2-(-2) = 4+2 = 6$$.

Vi sjekker om telleren blir $$ 0$$ for $$ x=-3$$: $$ (-3{)}^2-2=9-2=7$$.

Både $$ x=-2$$ og $$ x=-3$$ er asymptoter for $$ i\left(x\right)$$. Definisjonsområdet for $$ i$$ er $$ D_i=ℝ\backslash \left\{ -2, -3 \right\}.$$

Vi setter nevneren lik $$ 0$$:

$$ \begin{array}{rcl}x-1 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$$

Vi sjekker om telleren blir $$ 0$$ for $$ x=1:$$ $$ 1+3=4$$. $$ x=1$$ er en vertikal asymptote for $$ f.$$ Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for $$ x=1$$, og at grafen ikke kan krysse linja $$ x=1.$$ Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $$ x=1$$ fra

venstre side: $$ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty $$

høyre side: $$ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\infty $$

Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Vi setter nevneren lik 0:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-9 & =& 0\\ x^2 & =& 9\\ x & =& \pm 3\end{array}$$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $$ x=3$$: $$ 3^2-4=5$$.

Vi sjekker om telleren blir 0 for $$ x=-3$$: $$ (-3{)}^2-4=5$$.

Både $$ x=-3$$ og $$ x=3$$ er vertikale asymptoter for $$ g$$. Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for $$ x=-3$$ og $$ x=3$$, og at grafen ikke kan krysse linjene som er asymptoter.

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $$ x=-3$$ fra

venstre side: $$ \underset{x\to -3^{-}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty $$

høyre side: $$ \underset{x\to -3^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty $$

Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $$ x=3$$ fra

venstre side: $$ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty $$

høyre side: $$ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty $$

Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Vi setter nevneren lik 0:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-5x-6 & =& 0\\ (x-6)(x+1) & =& 0\\ x& =& 6 \vee x=-1\end{array}$$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $$ x=6$$: $$ 6^2-3 = 36-3 = 33$$ $$ x=6$$ er en vertikal asymptote for $$ h\left(x\right).$$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $$ x=-1$$: $$ {\left(-1\right)}^2-3 = 1-3 = -2$$ $$ x=-1$$ er en vertikal asymptote for $$ h\left(x\right)$$.

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $$ x=6$$ fra

venstre side: $$ \underset{x\to 6^{-}}{\lim }h\left(x\right)=-\infty $$

høyre side: $$ \underset{x\to 6^{+}}{\lim }h\left(x\right)=+\infty $$

Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $$ x=-1$$ fra

venstre side: $$ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }h\left(x\right)=-\infty $$

høyre side: $$ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }h\left(x\right)=+\infty $$

Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Vi setter nevneren lik 0:

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2& =& 4\\ x & =& \pm 2\end{array}$$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $$ x=2$$ : $$ 2+2=4$$ $$ x=2$$ er en vertikal asymptote for $$ i\left(x\right)$$.

Vi sjekker om telleren blir 0 for $$ x=-2$$: $$ -2+2=0$$ $$ x=-2$$ er ikke en vertikal asymptote for $$ i\left(x\right)$$.

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $$ x=2$$ fra

venstre side: $$ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }i\left(x\right)=-\infty $$

høyre side: $$ \underset{x\to 2^{+}}{\lim }i\left(x\right)=\infty $$

Så tegner vi grafen med GeoGebra og finner asymptotene:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg