Grenseverdier til polynomer og rasjonale uttrykk

$$ \underset{x\to 2}{\lim }(x^3-x^2+2)=2^3-2^2+2=6$$

Løsning med CAS i GeoGebra:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

$$ \underset{x\to 2}{\lim }(x^3-x^2-8)=2^3-2^2-8=-4$$

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2}{x}=\frac{2+2}{2}=2$$

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x}=\frac{2-2}{2}=\frac{0}{2}=0$$

Telleren blir $$ 2$$ siden $$ 0+2=2$$.

Nevneren blir $$ 0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{2}{0}.$$

Vi kan ikke dele på $$ 0$$, og derfor eksisterer ikke grenseverdien.

Løsning med CAS i GeoGebra:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

$$ $$Telleren blir $$ 4$$ siden $$ 2+2=4$$.

Nevneren blir $$ 0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{4}{0}.$$

Vi kan ikke dele på $$ 0$$, og derfor eksisterer ikke grenseverdien.

$$ \underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-2}=\frac{3^2-9}{3-2}=\frac{0}{1}=0$$

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ 2-2=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ (2·2)-4=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å forkorte uttrykket:

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\cancel{x-2}}{(x+2)\cancel{(x-2)}}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$$

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ 3·3-9=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 3^2-9=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å forkorte uttrykket:

$$ \underset{x\to 3}{\lim }\frac{3x-9}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3\cancel{(x-3)}}{(x+3)\cancel{(x-3)}}=\frac{3}{3+3}=\frac{1}{2}$$

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ 2·2-4=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ (2·2{)}^2-8·2=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å forkorte uttrykket:

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x-4}{(2x{)}^2-8x}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x-4}{2x(2x-4)}=\frac{1}{2·2}=\frac{1}{4}$$

Telleren blir $$ -3$$ siden $$ 3·1-6=-3$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 2·1^2-2·1=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{-3}{0}$$, og grenseverdien eksisterer ikke.

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ 3·0=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 2·0-6·0=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{2x^2-6x}& =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\cancel{x}}{2\cancel{x}(x-3)}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{3}{2(x-3)}& =& \frac{3}{2(-3)}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Joachim har satt inn 4 for x i telleren og nevneren. Deretter har han regnet ut at nevneren blir 0 og konkludert at man ikke kan dele på 0. Det virker ikke som om han ha sett eller kjenner til at når vi får 0 i både telleren og nevneren, bør vi prøve å faktorisere og forkorte uttrykket. Vi får et såkalt $$ \frac{0}{0}$$-uttrykk.

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ (4·4)-(5·4)+4=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 4-4=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Når vi får et $$ \frac{0}{0}$$-uttrykk, sjekker vi om det er mulig å forkorte uttrykket. Vi ser at man kan faktorisere telleren og forkorte brøken med $$ x-4$$.

$$ \underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-5x+4}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\cancel{(x-4)}(x-1)}{\cancel{(x-4)}}=\frac{4-1}{1}=3$$

Sara fikk en regnefeil da hun faktoriserte telleren.

$$ x^2+x-6=(x-2)(x+3)$$, mens Sara skrev $$ x^2+x-6=(x-2)(x-3)$$

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x+3)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}}=\frac{(2+3)·1}{1}=5$$

Mads har gått rett på faktorisering av nevneren. Han faktoriserer $$ x-4$$ som om det sto $$ x^2-4.$$ Da blir nevneren ikke riktig, og det fører til feil svar.

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ \sqrt{4}-2=2-2=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 4-4=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å forkorte uttrykket:

$$ \underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\cancel{\sqrt{x}-2}}{(\sqrt{x}+2\cancel{\left)\right(\sqrt{x}-2)}}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$$

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ \sqrt{9}-3=3-3=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 9-9=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å faktorisere og forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 9}{\lim }\frac{\sqrt{x}-3}{x-9} & =& \underset{x\to 9}{\lim }\frac{\cancel{\sqrt{x}-3}}{(\sqrt{x}+3)\cancel{(\sqrt{x}-3)}}\\ & =& \underset{x\to 9}{\lim }\frac{1}{(\sqrt{x}+3)}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}\end{array}$$

Det er også mulig å løse oppgaven slik:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 9}{\lim }\frac{\sqrt{x}-3}{x-9} & =& \underset{x\to 9}{\lim }\frac{(\sqrt{x}-3)·(\sqrt{x}+3)}{(x-9)·(\sqrt{x}+3)}\\ & =& \underset{x\to 9}{\lim }\frac{\cancel{x-9}}{\cancel{(x-9)}·(\sqrt{x}+3)}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{1}{6}\end{array}$$

Løsning med CAS i GeoGebra:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ \sqrt{16}-4=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 16-16=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å faktorisere og forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 16}{\lim }\frac{\sqrt{x}-4}{x-16} & =& \underset{x\to 16}{\lim }\frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}{(x-16)(\sqrt{x}+4)}= \underset{x\to 16}{\lim }\frac{\cancel{x-16}}{\cancel{(x-16)}(\sqrt{x}+4)}\\ \underset{x\to 16}{\lim }\frac{1}{(\sqrt{x}+4)} & =& \frac{1}{\sqrt{16}+4}=\frac{1}{8}\end{array}$$

Det er også mulig å løse oppgaven slik:

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to 16}{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{\sqrt{x}-4}{x-16} \end{array}& =& \begin{array}{rcl}& & \underset{x\to 16}{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{\cancel{(\sqrt{x}-4)}}{(\sqrt{x}+4)·\cancel{(\sqrt{x}-4)}}\end{array}\\ \begin{array}{rcl}& & \end{array} & =& \begin{array}{rcl}& & \underset{x\to 16}{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{(\sqrt{x}+4)}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}= \begin{array}{rcl}& & \frac{1}{\sqrt{16}+4}\end{array} = \begin{array}{rcl}& & \frac{1}{8}\end{array}\end{array}$$

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ \sqrt{4-4}=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 4^2-16=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å faktorisere og forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{l}\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x-4}}{x^2-16} = \underset{x\to 4}{\lim }\frac{\sqrt{x-4}}{(x+4)(x-4)}\end{array}$$

Vi multipliserer telleren og nevneren med $$ \sqrt{x-4}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x-4}\right)·\sqrt{x-4}}{(x+4)(x-4)·\sqrt{x-4}} & =& \underset{x\to 4}{\lim }\frac{{\displaystyle x-4}}{{\displaystyle (x+4)(x-4)·\sqrt{x-4}}}\\ \underset{x\to 4}{\lim }\frac{{\displaystyle \cancel{x-4}}}{{\displaystyle (x+4)\cancel{(x-4)}·\sqrt{x-4}}} & =& \frac{1}{(4+4)·\sqrt{0}}\end{array}$$

Grenseverdien eksisterer ikke.

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ 2\sqrt{2·2}-4=4-4=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 2-2=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å faktorisere og forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2\sqrt{2x}-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2(\sqrt{2x}-2)}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\end{array}$$

$$ 2=\sqrt{2}·\sqrt{2}$$ og $$ \sqrt{2x}=\sqrt{2}·\sqrt{x}$$

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2·\sqrt{2}·(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})} & =& \underset{x\to 2}{\lim }\frac{2·\sqrt{2}·\cancel{(\sqrt{x}-\sqrt{2})}}{\cancel{(\sqrt{x}-\sqrt{2})}(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\\ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{2·\sqrt{2}}{(\sqrt{x}+\sqrt{2})} & =& \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1\end{array}$$

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ \sqrt{1+3}-2=\sqrt{4}-2=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ 1-1=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å faktorisere og forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} & =& \underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{x+3}-2)·\left(\sqrt{x+3}+2\right)}{(x-1)·(\sqrt{x+3}+2)} =\underset{x\to 1}{ \lim }\frac{x+3-4}{(x-1)·(\sqrt{x+3}+2)}\\ & =& \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}·(\sqrt{x+3}+2)} = \underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(\sqrt{x+3}+2)}\\ & =& \frac{1}{(\sqrt{1+3}+2)} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}\end{array}$$

Telleren blir $$ 0$$ siden $$ x=0$$.

Nevneren blir $$ 0$$ siden $$ \sqrt{1+2·0}-1=\sqrt{1}-1=0$$.

Uttrykket blir $$ \frac{0}{0}.$$

Vi sjekker om det er mulig å faktorisere og forkorte uttrykket:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x·(\sqrt{1+2x}+1)}{(\sqrt{1+2x}-1)(\sqrt{1+2x}+1)} & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x·(\sqrt{1+2x}+1)}{1+2x-1}\\ & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cancel{x}·(\sqrt{1+2x}+1)}{2\cancel{x}}\\ & =& \frac{\sqrt{1}{\displaystyle +}{\displaystyle 1}}{2}=\frac{2}{2}=1\end{array}$$