Rasjonale funksjoner, horisontal asymptote og asymptotefunksjon

Horisontale asymptoter kan vi finne ved å la $x$ gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall.

For funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2} $$ har vi at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1$

Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen $$ f$$ er $$ y=1$$. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med funksjonen.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi kan finne asymptotene med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Merk at her antar vi at funksjonen $$ f$$ er skrevet inn på forhånd. Hvis ikke, må vi enten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller sette inn selve funksjonsuttrykket mellom parentesene i kommandoen. Trykk på den hvite sirkelen ved ett-tallet i CAS-vinduet for å få tegnet asymptotene i grafikkfeltet.

Tips: Når du skal tegne grafen til en rasjonal funksjon for hånd, er det lurt å finne asymptotene først.

For funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{3x^2}{x^2-x} $$ har vi at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^2}{x^2-x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3}{1-\frac{1}{x}}=\frac{3}{1-0}=3$

Når $x$ går mot pluss eller minus uendelig, vil grafen nærme seg linja $$ y=3$$.

Linja $$ y=3 $$ er derfor en horisontal asymptote for funksjonen $$ f$$. Nedenfor har vi tegnet både den horisontale og den vertikale asymptoten sammen med funksjonen. Merk at funksjonen ikke eksisterer for $$ x=0$$. Derfor har vi markert dette på grafen.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Oppgave 1

Finn asymptotene til funksjonen $$ f$$ med CAS.

Ikke alle rasjonale funksjoner har en horisontal asymptote. I dette eksempelet skal du utforske det selv – med litt hjelp.

Oppgave 2

Finn asymptotene til funksjonen $$ f\left(x\right)=\frac{x^2}{x-1}$$.

Løsning

Nedenfor har vi funnet asymptotene med CAS i GeoGebra.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Her får vi at $$ x=1 $$ er den vertikale asymptoten til funksjonen $$ f$$, men $$ y=x+1 $$ er ikke den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigningstall lik 1. Derfor kaller vi dette en asymptotefunksjon til funksjonen $$ f$$.

Oppgave 3

Tegn grafen til funksjonen $$ f$$ sammen med asymptotene.

Løsning

Dersom du fant asymptotene på måten som ble beskrevet i løsningen på den forrige oppgaven, er funksjonen allerede tegnet i grafikkfeltet i GeoGebra. Hvis du trykker på den hvite sirkelen rett under to-tallet i linje 2 i CAS-feltet, blir også asymptotene tegnet.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi ser at funksjonen kryper inntil asymptotefunksjonen $$ y=x+1 $$ når $$ x\to \pm \infty $$.

Oppgave 4

Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen $$ f\left(x\right)$$ kan skrives som

$$ f\left(x\right)=x+1+\frac{1}{x-1}$$

Løsning

$$ \begin{array}{ccccccccccc}& & x^2& :& (& x& ⎯& 1& )& = & x+1+\frac{1}{x-1} \\ ⎯& (& x^2& ⎯& x& )& & & & & \\ & & & & x& & & & & & \\ & & -& (& x& ⎯& 1& )& & & \\ & & & & & & 1& & & & \end{array}$$

Polynomdivisjonen går ikke opp. Vi får en rest lik 1. Denne resten skal også deles på $$ x-1$$. Derfor må vi legge til brøken $$ \frac{1}{x-1}$$.

Vi kan også polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problemer med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Legg merke til at divisjonsresten kommer etter kommaet i svaret.

Oppgave 5

Bruk resultatet i oppgave 4 til å forklare hvorfor

$$ f\left(x\right)\to x+1 $$ når $$ x\to \pm \infty $$

Oppgave 6

I eksempel 1 og 2 finner vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien

$$ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$$

Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i eksempel 3?

Oppgave 7

Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien i den forrige oppgaven hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt en horisontal asymptote."