Rasjonale funksjoner og asymptoter

$$ \begin{array}{|cccccccccccc|}\hline x& 0& 1& 1,5& 1,9& 1,99& 2,01& 2,1& 2,5& 3& 4& 5\\ f\left(x\right)& \frac{1}{2}& 0& -1& -9& -99& 101& 11& 3& 2& \frac{3}{2}& \frac{4}{3}\\ \hline\end{array}$$

Når $$ x$$-verdien nærmer seg $$ 2$$ fra venstre, går funksjonsverdien mot minus uendelig.

Når $$ x$$ nærmer seg $$ 2$$ fra høyre, går funksjonsverdien mot pluss uendelig.

Grafen til funksjonen $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Linja  $$ x=2$$  kalles vertikal asymptote.

$$ \begin{array}{|cccccccccc|}\hline x& -1000& -100& -10& -1& 0,5& 1& 10& 100& 1000\\ f\left(x\right)& 1& 1,01& 1,1& 2& -1& 0& 0,9& 0,99& 1\\ \hline\end{array}$$

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når $$ x$$-verdien nærmer seg $$ -\infty $$.

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når $$ x$$-verdien nærmer seg $$ \infty $$.

Grafen til funksjonen $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Linja  $$ y=1$$  kalles horisontal asymptote.

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $$ x=2$$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=2$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0}{1-0}=0\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm \infty $$, vil grafen til $$ f$$ nærme seg $$ x$$-aksen. Linja  $$ y=0$$  er en horisontal asymptote for $$ f$$.

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $$ x=2$$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=2$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}=\frac{1-0}{1-0}=1\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm \infty $$, vil grafen til $$ f$$ nærme seg linja  $$ y=1$$.

Linja  $$ y=1$$  er en horisontal asymptote for $$ f$$.

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $$ x=2$$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=2$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{x^2+4}{x-2}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{x^2}-\frac{2}{x^2}}}\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1+0}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-0}\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{0}\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm \infty $$, vil nevneren gå mot 0. Telleren blir et tall forskjellig fra 0. Grenseverdien eksisterer ikke. Det er dermed ingen horisontal asymptote.

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $$ x=0$$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=0$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x-1}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}=\frac{3-0}{1}=3\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm \infty $$, vil grafen til f nærme seg linja  $$ y=3$$.

Linja  $$ y=3$$  er en horisontal asymptote for $$ f$$.

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

$$ f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2-2}$$

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2 & =& 0\\ x^2 & =& 2\\ x & =& \pm \sqrt{2}\end{array}$$

Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først  $$ x=\sqrt{2}$$. Når  $$ x=\sqrt{2}$$, blir telleren  $$ 2·(\sqrt{2}{)}^2=4$$. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ f\left(x\right)=\pm \infty $$  når  $$ x\to \sqrt{2}$$. Linja  $$ x=\sqrt{2}$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Vi undersøker så for  $$ x=-\sqrt{2}$$. Når  $$ \mathrm{x}=-\sqrt{2}$$, blir telleren  $$ 2·{\left(-\sqrt{2}\right)}^2=4.$$ Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ f\left(x\right)\to \pm \infty $$ når $$ x\to -\sqrt{2}$$. Linja  $$ x=-\sqrt{2}$$  er en vertikal asymptote for $$ f.$$

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2-2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}\\ & =& \frac{2}{1-0}=\frac{3}{1}=2\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm $$ uendelig, vil grafen til $$ f$$ nærme seg linja  $$ y = 2.$$

Linja  $$ y = 2$$  er en horisontal asymptote for $$ f$$.

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

$$ f\left(x\right)=\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x}$$

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 2\end{array}$$

Det er to mulige asymptoter. Vi undersøker først  $$ x=0$$. Når  $$ x=0$$, blir telleren  $$ 0^2-2·0+4=4$$.

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=0$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Vi undersøker så for  $$ x=2$$.

Når  $$ x=2$$, blir telleren  $$ 2^2-2·2+4=4.$$

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=2$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm $$ uendelig, vil grafen til $$ f$$ nærme seg linja  $$ y=1.$$

Linja  $$ y=1$$  er en horisontal asymptote for $$ f$$.

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

$$ f\left(x\right)=\frac{x^3-9}{x^3}$$

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $$ x=0.$$ Telleren blir ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=0$$  er en vertikal asymptote for $$ f$$.

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim f\left(x\right)}& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3-9}{x^3}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}-{\displaystyle \frac{9}{x^3}}}{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}}=\frac{1-0}{1}=1\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm $$ uendelig, vil grafen til $$ f$$ nærme seg linja  $$ y=1$$.

Linja  $$ y=1$$  er en horisontal asymptote for $$ f$$.

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg

fx=x-2x2-2x

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 2\end{array}$$

Her er det to mulige asymptoter. Vi undersøker først  $$ x=0$$. Når  $$ x=0$$, blir telleren  $$ 0-2=-2.$$ Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$$ \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty $$

Linja  $$ x=0$$  er en vertikal asymptote for $$ f.$$

Vi undersøker så for  $$ x=2.$$ Siden nevneren er 0, er ikke brøken definert.

Vi kan finne grenseverdien ved å forkorte.

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}& =& \underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}\frac{x-2}{x^2-2x}\\ & =& \underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}\frac{\cancel{x-2}}{x\left(\cancel{x-2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\end{array}$$

Horisontal asymptote:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0-0}{1-0}=0\end{array}$$

Når $$ x$$ går mot $$ \pm $$ uendelig, vil grafen til $$ f$$ nærme seg linja til  $$ y=0.$$ Linja  $$ y=0$$  er en horisontal asymptote for $$ f.$$

Grafen til $$ f$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Viveca Thindberg