Det å derivere en funksjon ved hjelp av definisjonen av den deriverte funksjonen f'x kan være mye arbeid. Det ser vi for eksempel i oppgave 3.4.20 e) på oppgavesiden "Definisjonen av den deriverte". Derfor lager vi oss derivasjonsregler som vi kan bruke i stedet for definisjonen.
Vi skal finne den deriverte til funksjonen f gitt ved
fx=2x3-x2+3x-4
Hva slags derivasjonsregler trenger vi dersom vi skal slippe å bruke definisjonen på den deriverte på denne funksjonen?
I utgangspunktet trenger vi en derivasjonsregel for polynomfunksjoner, siden fx er en polynomfunksjon. Vi trenger egentlig to regler til slike funksjoner.
Vi må vite hvordan vi deriverer en funksjon av typen a·xn der a er en vilkårlig konstant og n er et positivt, helt tall.
Siden funksjonen inneholder flere ledd, må vi vite hvordan vi deriverer funksjoner som består av flere ledd, det vil si funksjoner som fx=gx+hx.
Derivasjonsregel
Vi ønsker å finne f'x når fx=a·xn der a er en vilkårlig konstant. I første omgang antar vi at n er et positivt, helt tall. Vi bruker det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, ∆y∆x, som er lik f'x når ∆x→0.
∆y∆x = fx+∆x-fx∆x= ax+∆xn-axn∆x= a·x+∆x·x+∆x·...·x+∆x⏞n faktorer-xn∆x
Vi får n faktorer av typen x+∆x. Det er en stor jobb å multiplisere ut en stor potens av et slikt uttrykk, og heldigvis trenger vi ikke det. Vi trenger bare å se på noen få av de leddene vi får når potensen multipliseres ut.
Vi starter med det vi får ved å multiplisere alle x fra hver av de n faktorene. Dette gir leddet xn. Det er det eneste leddet vi får av typen xn når vi multipliserer ut potensen. Så ser vi på det leddet vi får når vi multipliserer ∆x fra den første faktoren med x fra de n-1 andre faktorene. Da får vi leddet
∆x·xn-1
Blir det flere ledd av typen ∆x·xn-1? Svaret på det er ja. Hvis vi multipliserer ∆x fra den andre faktoren med x fra den første faktoren og xfra de n-2 andre faktorene, får vi
∆x·x·xn-2=∆x·xn-1
🤔 Tenk over: Hvor mange ledd av typen ∆x·xn-1 blir det totalt?
Antall ledd
Vi får ett ledd for hver faktor, det vil si totalt n ledd.
Når vi slår sammen disse n leddene, får vi
n·∆x·xn-1
Alle andre ledd vi får når vi multipliserer ut parentesene, vil inneholde faktoren ∆x minimum to ganger, det vil si at de inneholder faktoren ∆x2. Det betyr at resten av leddene kan skrives som
∆x2...
der den andre parentesen inneholder ledd med potenser av x og ∆x med ulike kombinasjoner av eksponenter.
Nå kan vi gå tilbake til utregningen av ∆y∆x.
∆y∆x = a·xn+n·∆x·xn-1+∆x2...-xn∆x= a·∆xn·xn-1+∆x·...∆x= an·xn-1+∆x·...
Vi får forkortet bort ∆x. Nå kan vi la ∆x gå mot 0 slik vi må gjøre for å finne den deriverte funksjonen. Da forsvinner det andre leddet i parentesen, og vi får
f'x=a·nxn-1
Det går an å vise at denne regelen gjelder for alle n∈ℝ, ikke bare for de naturlige tallene. Dette kommer vi tilbake til i fagene R1 og S1.
Eksempel
Vi skal derivere fx=3x2. Det betyr at a=3 og n=1. Da får vi at
f'x=3·2x2-1=6x1=6x
Vi ønsker å finne ut hvordan vi deriverer funksjoner som består av to ledd. Vi setter
fx=gx+hx
Så bruker vi igjen det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, ∆y∆x, og ser hva vi får.
∆y∆x = fx+∆x-fx∆x= gx+∆x+hx+∆x-gx+hx∆x= gx+∆x-gx+hx+∆x-hx∆x= gx+∆x-gx∆x+hx+∆x-hx∆x
Når vi nå lar ∆x gå mot 0, går det første leddet mot den deriverte av funksjonen g, det vil si g'x, mens det andre leddet går mot h'x. Vi får derfor at
f'x=g'x+h'x
Konklusjonen blir at dersom en funksjon er en sum av to delfunksjoner blir den deriverte lik summen av den deriverte av hver delfunksjon. Kort sagt: Vi deriverer ledd for ledd. Denne framgangsmåten gjelder også når f'x består av tre eller flere ledd, og du får studert dette nærmere i en av oppgavene.
Hva gjør vi hvis funksjonen inneholder et konstantledd slik som eksempelfunksjonen øverst på siden? Vi vet at den deriverte av en konstant er 0 fordi grafen til en konstant funksjon er ei vannrett linje, som har stigningstall 0.
Vi kan vise dette ved å bruke uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart igjen. Vi setter fx=a. Da får vi
∆y∆x = fx+∆x-fx∆x= a-a∆x= 0
Her slipper vi å la ∆x gå mot null siden den ble borte. Vi får at
f'x=0
Nå kan vi prøve å derivere eksempelfunksjonen f fra øverst på siden.
fx=2x3-x2+3x-4
Vi deriverer ledd for ledd:
f'x = 2·3·x3-1-2·x2-1+3·x1-1+0= 6x2-2x+3
Oppsummering
Du lærer flere derivasjonsregler i fagene R1 og S1. Her er derivasjonsreglene vi har gått gjennom på denne siden.
Den deriverte av en potensfunksjon
fx=a·xn ⇒ f'x=a·nxn-1
der a og n er en vilkårlig konstanter.
Den deriverte av en sum av funksjoner
fx=gx+hx + ... ⇒ f'x=g'x+h'x + ...
Den deriverte av en konstant
fx=a ⇒ f'x=0
der a er en vilkårlig konstant.