Hopp til innhold
Fagartikkel

Noen derivasjonsregler

Med utgangspunkt i definisjonen av den deriverte funksjonen går det an å lage regler for hvordan vi skal derivere bestemte typer funksjoner – derivasjonsregler. Vi ser her på noen eksempler.

Bakgrunn

Det å derivere en funksjon fx ved hjelp av definisjonen av den deriverte funksjonen f'x kan være mye arbeid. Det ser vi for eksempel i oppgave 3.4.20 e) på oppgavesiden "Definisjonen av den deriverte". Derfor lager vi oss derivasjonsregler som vi kan bruke i stedet for definisjonen.

Eksempelfunksjon

Vi skal finne den deriverte til funksjonen f gitt ved

fx=2x3-x2+3x-4

Hva slags derivasjonsregler trenger vi dersom vi skal slippe å bruke definisjonen på den deriverte på denne funksjonen?

I utgangspunktet trenger vi en derivasjonsregel for polynomfunksjoner, siden fx er en polynomfunksjon. Vi trenger egentlig to regler til slike funksjoner.

  • Vi må vite hvordan vi deriverer en funksjon av typen a·xn der a er en vilkårlig konstant og n er et positivt, helt tall.

  • Siden funksjonen inneholder flere ledd, må vi vite hvordan vi deriverer funksjoner som består av flere ledd, det vil si funksjoner som fx=gx+hx.

Derivasjon av polynomfunksjoner

Derivasjonsregel

Vi ønsker å finne f'x når fx=a·xn der a er en vilkårlig konstant. I første omgang antar vi at n er et positivt, helt tall. Vi bruker det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, yx, som er lik f'x når x0.

yx = fx+x-fxx= ax+xn-axnx= a·x+x·x+x·...·x+xn faktorer-xnx

Vi får n faktorer av typen x+x. Det er en stor jobb å multiplisere ut en stor potens av et slikt uttrykk, og heldigvis trenger vi ikke det. Vi trenger bare å se på noen få av de leddene vi får når potensen multipliseres ut.

Vi starter med det vi får ved å multiplisere alle x fra hver av de n faktorene. Dette gir leddet xn. Det er det eneste leddet vi får av typen xn når vi multipliserer ut potensen. Så ser vi på det leddet vi får når vi multipliserer x fra den første faktoren med x fra de n-1 andre faktorene. Da får vi leddet

x·xn-1

Blir det flere ledd av typen x·xn-1? Svaret på det er ja. Hvis vi multipliserer x fra den andre faktoren med x fra den første faktoren og xfra de n-2 andre faktorene, får vi

x·x·xn-2=x·xn-1

🤔 Tenk over: Hvor mange ledd av typen x·xn-1 blir det totalt?

Antall ledd

Vi får ett ledd for hver faktor, det vil si totalt n ledd.

Når vi slår sammen disse n leddene, får vi

n·x·xn-1

Alle andre ledd vi får når vi multipliserer ut parentesene, vil inneholde faktoren x minimum to ganger, det vil si at de inneholder faktoren x2. Det betyr at resten av leddene kan skrives som

x2...

der den andre parentesen inneholder ledd med potenser av x og x med ulike kombinasjoner av eksponenter.

Nå kan vi gå tilbake til utregningen av yx.

yx = a·xn+n·x·xn-1+x2...-xnx= a·xn·xn-1+x·...x= an·xn-1+x·...

Vi får forkortet bort x. Nå kan vi la x gå mot 0 slik vi må gjøre for å finne den deriverte funksjonen. Da forsvinner det andre leddet i parentesen, og vi får

f'x=a·nxn-1

Det går an å vise at denne regelen gjelder for alle n, ikke bare for de naturlige tallene. Dette kommer vi tilbake til i fagene R1 og S1.

Eksempel

Vi skal derivere fx=3x2. Det betyr at a=3 og n=1. Da får vi at

f'x=3·2x2-1=6x1=6x

Derivasjon av funksjoner med to ledd

Vi ønsker å finne ut hvordan vi deriverer funksjoner som består av to ledd. Vi setter

fx=gx+hx

Så bruker vi igjen det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, yx, og ser hva vi får.

yx = fx+x-fxx= gx+x+hx+x-gx+hxx= gx+x-gx+hx+x-hxx= gx+x-gxx+hx+x-hxx

Når vi nå lar x gå mot 0, går det første leddet mot den deriverte av funksjonen g, det vil si g'x, mens det andre leddet går mot h'x. Vi får derfor at

f'x=g'x+h'x

Konklusjonen blir at dersom en funksjon er en sum av to delfunksjoner blir den deriverte lik summen av den deriverte av hver delfunksjon. Kort sagt: Vi deriverer ledd for ledd. Denne framgangsmåten gjelder også når f'x består av tre eller flere ledd, og du får studert dette nærmere i en av oppgavene.

Derivasjon av en konstant

Hva gjør vi hvis funksjonen inneholder et konstantledd slik som eksempelfunksjonen øverst på siden? Vi vet at den deriverte av en konstant er 0 fordi grafen til en konstant funksjon er ei vannrett linje, som har stigningstall 0.

Vi kan vise dette ved å bruke uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart igjen. Vi setter fx=a. Da får vi

yx = fx+x-fxx= a-ax= 0

Her slipper vi å la x gå mot null siden den ble borte. Vi får at

f'x=0

Tilbake til eksempelfunksjonen

Nå kan vi prøve å derivere eksempelfunksjonen f fra øverst på siden.

fx=2x3-x2+3x-4

Vi deriverer ledd for ledd:

f'x = 2·3·x3-1-2·x2-1+3·x1-1+0= 6x2-2x+3

Oppsummering

Du lærer flere derivasjonsregler i fagene R1 og S1. Her er derivasjonsreglene vi har gått gjennom på denne siden.

Den deriverte av en potensfunksjon

fx=a·xn    f'x=a·nxn-1

der a og n er en vilkårlig konstanter.

Den deriverte av en sum av funksjoner

fx=gx+hx + ...    f'x=g'x+h'x + ...

Den deriverte av en konstant

fx=a    f'x=0

der a er en vilkårlig konstant.