Den deriverte funksjonen, $$f^{\text{'}}$$, har som eneste nullpunkt $$x=-3$$.

For $$x<-3$$ er $$f^{\text{'}}$$ positiv, som betyr at grafen til $$f$$ stiger. For $$x>-3$$ er $$f^{\text{'}}$$ negativ, som betyr at grafen til $$f$$ synker. Det betyr at $$x=-3$$ er maksimalpunkt for funksjonen $$f$$. Grafen har ingen andre maksimal- eller minimalpunkter.

Vi setter $$f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$$\begin{array}{rcl}2x-2 & =& 0\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$$

Vi vet da at det bare er for $$x=1$$ at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene $$⟨\leftarrow , 1⟩$$ og $$⟨1, \to ⟩$$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$$f^{\text{'}}\left(0\right)=2·0-2=-2<0$$

$$f^{\text{'}}\left(2\right)=2·2-2=2>0$$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $$f^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen til $$f$$ synker når $$x<1$$
• grafen til $$f$$ stiger når $$x>1$$
• grafen til $$f$$ har bunnpunkt når $$x=1$$

$$3x^2-6x-9 =3\left(x^2-2x-3\right)=3(x-3)(x+1)$$

Her har vi brukt stirremetoden $$\left(\left(-3\right)·1=-3 \mathrm{og} (-3)+1=-2\right)$$.

Det betyr at $$f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$ når $$x=-1 \vee x=3$$

Vi vet da at det bare er i punktene $$\left(-1, f\left(1\right)\right)$$ og $$\left(3, f\left(3\right)\right)$$ at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene $$⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 3⟩$$ og $$⟨3, \to ⟩$$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-2\right) & =& 3{\left(-2\right)}^2-6\left(-2\right)-9=3·4+12-9=15>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& 3{\left(0\right)}^2-6·0-9=-9<0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(4\right) & =& 3{\left(4\right)}^2-6·4-9=3·16-24-9=16>0\end{array}$$

Vi kan da sette opp fortegnslinja for $$f^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen til $$f\left(x\right)$$ stiger når $$x<-1$$ og når $$x>3$$
• grafen til $$f\left(x\right)$$ synker når $$-1<x<3$$
• grafen til $$f\left(x\right)$$ har toppunkt når $$x=-1$$ . Toppunktet er $$\left(-1, f\left(-1\right)\right)=\left(-1, 15\right)$$ fordi

$$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-3{\left(-1\right)}^2-9·\left(-1\right)+10=-1-3+9+10=15$$

• grafen til $$f\left(x\right)$$ har bunnpunkt når $$x=3$$ . Bunnpunktet er $$\left(3, f\left(3\right)\right)=\left(3, -17\right)$$ fordi

$$f\left(3\right)={\left(3\right)}^3-3{\left(3\right)}^2-9·3+10=27-27+10=-17$$

Nedenfor har vi tegnet skisse av grafen til $$f$$ sammen med fortegnslinja for den deriverte. (Her har vi tegnet den reelle grafen.)

Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at

• $$f\left(x\right)$$ stiger når $$x<0$$ og når $$x>2$$
• $$f\left(x\right)$$ synker når $$0<x<2$$
• $$f\left(x\right)$$ har maksimalpunkt $$x=0$$
• $$f\left(x\right)$$ har minimalpunkt $$x=2$$

Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.

Vi løser med CAS i GeoGebra:

$$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right):={\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+12\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right):={\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+12\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{\mathrm{x}=3, \mathrm{x}=4\}\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3+4\\ \overline{)3}& & \\ & & \to 7\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 3·4\\ \overline{)4}& & \\ & & \to 12\end{array}}$$

Linje 2 gir at nullpunktene er $$x=3, x=4$$.

Vi løser med CAS i GeoGebra:

$$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right):=-2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+4\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right):=-2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+4\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{\mathrm{x}=-1, \mathrm{x}=2\}\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & -1+2\\ \overline{)3}& & \\ & & \to 1\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & -1·2\\ \overline{)4}& & \\ & & \to -2\end{array}}$$

Linje 2 gir at nullpunktene er $$x=-1, x=2$$.

Vi løser med CAS i GeoGebra:

$$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right):=\mathrm{a}·{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}·\mathrm{x}+\mathrm{c}\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right):={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{\mathrm{x}=\frac{-\sqrt{-4\mathrm{ac}+{\mathrm{b}}^2}-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}, \mathrm{x}=\frac{\sqrt{-4\mathrm{ac}+{\mathrm{b}}^2}-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\}\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{HøyreSide}(\$2, 1)+\mathrm{HøyreSide}(\$2, 2)\\ \overline{)3}& & \\ & & \to -\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\end{array}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{HøyreSide}(\$2, 1)·\mathrm{HøyreSide}(\$2, 2)\\ \overline{)4}& & \\ & & \to \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\end{array}}$$

I linje 3 og 4 er kommandoen HøyreSide brukt for å slippe å skrive svarene i linje 2 på nytt.

For $$f\left(x\right)$$ er $$-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7=3+4$$.

For $$g\left(x\right)$$ er $$-\frac{b}{a}=-\frac{2}{-2}=1=-1+2$$.

For $$f\left(x\right)$$ er $$\frac{c}{a}=\frac{12}{1}=12=3·4$$.

For $$g\left(x\right)$$ er $$\frac{c}{a}=\frac{4}{-2}=-2=-1·2$$.

Resultatene stemmer overens.

Vi setter $$f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+3x & =& 0\\ x\left(x+3\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x=-3\end{array}$$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene $$\langle \leftarrow , -3\rangle , ⟨-3, 0⟩$$ og $$⟨0, \to ⟩$$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(-4\right)={\left(-4\right)}^2+3\left(-4\right)=4 \text{Positivt} \\ {f}^{\text{'}}\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2+3\left(-2\right)=-2 \text{Negativt} \\ {f}^{\text{'}}\left(1\right)={\left(1\right)}^2+3\left(1\right)=4 \text{Positivt} \end{gathered}$$

Det betyr at

• grafen til $$f$$ stiger i intervallene $$⟨\leftarrow , -3⟩$$ og $$⟨0, \to ⟩$$
• grafen til $$f$$ synker i intervallet $$⟨-3, 0⟩$$

$$f\left(x\right)$$ har toppunkt

$$\begin{gathered} \left(-3, f\left(-3\right)\right)=\left(-3, \frac{1}{3}{\left(-3\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(-3\right)}^2-\frac{9}{2}\right) \\ =\left(-3, -\frac{18}{2}+\frac{27}{2}-\frac{9}{2}\right)=\left(-3, 0\right) \end{gathered}$$

$$f\left(x\right)$$ har bunnpunkt

$$\left(0, f\left(0\right)\right)=\left(0, \frac{1}{3}{\left(0\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(0\right)}^2-\frac{9}{2}\right)=\left(0, -\frac{9}{2}\right)$$

Vi har at $$x=-3$$ er ett nullpunkt. Vi kan da foreta polynomdivisjonen.

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}& & & \frac{1}{3}& x^3& +& \frac{3}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& :& & (& x& +& 3& )& =& \frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}& & & & & \\ & -& (& \frac{1}{3}& x^3& +& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & \frac{1}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & -& (& \frac{1}{2}& x^2& +& \frac{3}{2}x& )& & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& (& -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2})& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

Vi setter så $$\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$$.

Det gir følgende nye nullpunkter for$$f$$:

$$\begin{gathered} x=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+4·{\displaystyle \frac{1}{3}}·{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{8}{4}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\right)·3·2}{{\displaystyle \frac{2}{3}·3·2}}=\frac{-3\pm 9}{{\displaystyle 4}} \\ x=\frac{3}{2} \vee x=-3 \end{gathered}$$

Under ser du en skisse av grafen basert på nullpunktene og topp- og bunnpunktene vi har funnet.

Prøv å løse oppgaven ved å legge inn funksjonen $$A\left(x\right)$$ med konstanten $$s$$. Hvordan kan du bruke den deriverte funksjonen til å svare på spørsmålet?