Hopp til innhold

Oppgave

Drøfting av polynomfunksjoner

Oppgavene skal løses uten hjelpemidler dersom det ikke står noe annet.

LK20LK06

3.4.10

Finn eventuelle maksimal- og minimalpunkter til en funksjon der den deriverte funksjonen har følgende graf.

Grafen til den deriverte funksjonen minus fire x minus tolv. Skjermdump.
Vis fasit

Den deriverte funksjonen, f', har som eneste nullpunkt  x=-3.

For  x<-3  er f' positiv, som betyr at grafen til f stiger. For  x>-3  er f' negativ, som betyr at grafen til f synker. Det betyr at  x=-3  er maksimalpunkt for funksjonen f. Grafen har ingen andre maksimal- eller minimalpunkter.

3.4.11

En funksjon f har derivertfunksjonen  f'x=2x-2. Finn ved regning når grafen til funksjonen f stiger, og når den synker. Avgjør også om grafen til f har topp- eller bunnpunkt.

Vis fasit

Vi setter  f'x=0.

2x-2 = 02x = 2x = 1

Vi vet da at det bare er for  x=1  at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene , 1 og 1,  og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

f'0=2·0-2=-2<0

f'2=2·2-2=2>0

Vi kan da sette opp fortegnslinja til f'(x).

Fortegnslinje. Illustrasjon.

Vi ser av fortegnslinja at

  • grafen til f synker når  x<1
  • grafen til f stiger når  x>1
  • grafen til f har bunnpunkt når  x=1

3.4.12

Grafen til funksjonen  fx=x3-3x2-9x+10  har derivertfunksjonen  f'x=3x2-6x-9. Finn ved regning når grafen til funksjonen f stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen til f på grunnlag av de opplysningene derivertfunksjonen gir.

Vis fasit

3x2-6x-9 =3x2-2x-3=3(x-3)(x+1) 

Her har vi brukt stirremetoden -3·1=-3  og  (-3)+1=-2.

Det betyr at  f'(x)=0  når  x=-1         x=3

Vi vet da at det bare er i punktene -1, f1 og 3, f3 at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene , -1, -1, 3 og 3,  og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-2 = 3-22-6-2-9=3·4+12-9=15>0f'0 = 302-6·0-9=-9<0f'4 = 342-6·4-9=3·16-24-9=16>0

Vi kan da sette opp fortegnslinja for f'x.

Fortegnslinje. Illustrasjon.

Vi ser av fortegnslinja at

  • grafen til fx stiger når  x<-1  og når  x>3
  • grafen til fx synker når  -1<x<3
  • grafen til fx har toppunkt når  x=-1 . Toppunktet er -1, f-1=-1, 15 fordi

f-1=-13-3-12-9·-1+10=-1-3+9+10=15

  • grafen til fx har bunnpunkt når  x=3 . Bunnpunktet er 3, f3=3, -17 fordi

f3=33-332-9·3+10=27-27+10=-17

Nedenfor har vi tegnet skisse av grafen til f sammen med fortegnslinja for den deriverte. (Her har vi tegnet den reelle grafen.)

Fortegnslinje og graf. Illustrasjon.

3.4.13

En andregradsfunksjon som er grafen til en derivertfunksjon med nullpunkter null og to og negativ mellom nullpunktene. Skjermdump.

Den deriverte funksjonen til en funksjon f har grafen som vist til høyre.

Finn når grafen til funksjonen f stiger, når den synker og eventuelle maksimal- og minimalpunkter på grafen f.

Lag en skisse av grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.

Vis fasit

Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at

  • fx stiger når  x<0  og når  x>2
  • fx synker når  0<x<2
  • fx har maksimalpunkt  x=0
  • fx har minimalpunkt  x=2

Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.

Graf som oppfyller kravene i oppgaven. Skjermdump.

3.4.14

Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f'.

Graf. Illustrasjon.
Vis fasit
Fortegnslinje. Illustrasjon.

3.4.15

For de to funksjonsuttrykkene nedenfor skal du ved regning i CAS finne nullpunktene, summen av nullpunktene og produktet av nullpunktene.

a) fx=x2-7x+12

Vis fasit

Vi løser med CAS i GeoGebra:

f(x):=x2-7x+121f(x):=x2-7x+12 f(x)=02Løs: {x=3, x=4} 3+437 3·4412


Linje 2 gir at nullpunktene er x=3,  x=4.

b) gx=-2x2+2x+4

Vis fasit

Vi løser med CAS i GeoGebra:

g(x):=-2x2+2x+41g(x):=-2x2+2x+4 g(x)=02Løs: {x=-1, x=2} -1+231 -1·24-2


Linje 2 gir at nullpunktene er x=-1, x=2.

c) Gjør det samme med den generelle andregradsfunksjonen

hx=ax2+bx+c

Stemmer resultatet med det du fant for funksjonene fx og gx?

Vis fasit

Vi løser med CAS i GeoGebra:

h(x):=a·x2+b·x+c1h(x):=ax2+bx+c h(x)=02Løs: {x=--4ac+b2-b2a, x=-4ac+b2-b2a} HøyreSide($2, 1)+HøyreSide($2, 2)3-ba HøyreSide($2, 1)·HøyreSide($2, 2)4ca


I linje 3 og 4 er kommandoen HøyreSide brukt for å slippe å skrive svarene i linje 2 på nytt.

For f(x) er -ba=--71=7=3+4.

For g(x) er -ba=-2-2=1=-1+2.

For f(x) er ca=121=12=3·4.

For g(x) er ca=4-2=-2=-1·2.

Resultatene stemmer overens.

3.4.16

Funksjonen fx=13x3+32x2-92 har den deriverte funksjonen f'x=x2+3x.

Drøft monotoniegenskapene til f, og finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Finn nullpunktene til f, og lag en skisse av grafen.

Vis fasit

Vi setter  f'x=0.

x2+3x = 0xx+3 = 0x = 0      x=-3

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene , -3, -3, 0 og 0,  for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-4=-42+3-4=4   Positivtf'-2=-22+3-2=-2   Negativtf'1=12+31=4   Positivt

Det betyr at

  • grafen til f stiger i intervallene , -3 og 0, 
  • grafen til f synker i intervallet -3, 0

fx har toppunkt

-3, f-3=-3, 13-33+32-32-92=-3, -182+272-92=-3, 0

fx har bunnpunkt

0, f0=0, 1303+3202-92=0, -92

Vi har at x=-3 er ett nullpunkt. Vi kan da foreta polynomdivisjonen.

13x3+32x2-92:(x+3)=13x2+12x-32-(13x3+x2)12x2-92-(12x2+32x)-32x-92-(-32x-92)0

Vi setter så  13x2+12x-32=0.

Det gir følgende nye nullpunkter for f:

x=-12±14+4·13·322·13=-12±14+842·13=-12±32·3·223·3·2=-3±94x=32         x=-3

Under ser du en skisse av grafen basert på nullpunktene og topp- og bunnpunktene vi har funnet.

Skisse av grafen basert på nullpunktene og topp- og bunnpunktene vi har funnet. Skjermdump.

3.4.17

Løs oppgavene 3.3.35 og 3.3.36 på siden Modellering med andregradsfunksjoner med CAS.

Tips til 3.3.36 h)

Prøv å løse oppgaven ved å legge inn funksjonen A(x) med konstanten s. Hvordan kan du bruke den deriverte funksjonen til å svare på spørsmålet?

Sist oppdatert 22.03.2018
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon