Drøfting av polynomfunksjoner

CC BY-NC-SA

Bilde: Espen Bratlie

Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.

Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen. En fellesbetegnelse for topp- og bunnpunkter er ekstremalpunkter.

Her kommer en utfordring:

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$

Tegn deretter tangenter til grafen for noen $x$-verdier mellom $-2$ og $3$.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp- eller bunnpunkter.

Her kan du se at

• stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger for stigende $x$-verdier
• stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker for stigende $x$-verdier
• stigningstallet til tangenten er null i topp- og bunnpunkter for stigende $x$-verdier

Siden tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen, betyr dette følgende:

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av $x$ grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av $x$ den synker og når den har topp- eller bunnpunkt ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.

Vi skal finne eventuelle ekstremalpunkter (topp- og bunnpunkter) til en funksjon der den deriverte funksjonen har følgende graf:

Løsning

Den deriverte funksjonen, $f^{\text{'}}$, har nullpunktene $x=-2$ og $x=\frac{1}{3}$.

For $x<-2$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til $f$ stiger. For $-2<x<\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til $f$ synker. Det betyr at funksjonen $f$ har et toppunkt for $$ x=-2$$.

For $-2<x<\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til $f$ synker. For $x>\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til $f$ stiger. Det betyr at funksjonen $f$ har et bunnpunkt for $$ x=\frac{1}{3}$$.

Vi tegner grafen til en funksjon som passer med opplysningene ovenfor:

Drøft monotoniegenskapene til en funksjon der den deriverte funksjonen har grafen under til høyre.

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Funksjonen $f$ har nullpunkt $x=\frac{1}{2}$ og $f\left(2\right)=1$.

Lag en skisse av grafen til $f$.

Løsning

Vi kan sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$:

Vi legger merke til at den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for $x\ne 2$. Det betyr at funksjonen er voksende både før og etter at $x=2$. Grafen til funksjonen $f$ har verken topp- eller bunnpunkt for $x=2$, men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for $x=2$. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Nedenfor har vi tegnet en skisse av grafen til $f$.

Et stasjonært punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt hvis $f^{\text{'}}\left(x\right)$ skifter fortegn i punktet.

Et terrassepunkt er et stasjonært punkt hvor funksjonen ikke endrer seg fra voksende til avtagende eller fra avtagende til voksende. Det vil si at den deriverte ikke skifter fortegn.

På grunnlag av den deriverte funksjonen $f^{\text{'}}\left(x\right)=-2x+4$ skal vi finne når grafen til funksjonen $f$ stiger og når den synker. Vi skal også finne eventuelle topp- eller bunnpunkter. Videre skal vi uten hjelpemidler finne et mulig funksjonsuttrykk for $f$.

Løsning

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}-2x+4& = & 0\\ -2x& =& -4\\ x& =& 2\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige $x$-verdier i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , 2⟩$ og $⟨2, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(0\right)=-2·0+4=4>0\\ \\ f^{\text{'}}\left(3\right)=-2·3+4=-2<0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$:

Vi ser av fortegnslinja at grafen vokser for $x\in \langle \leftarrow , 2\rangle$ , og at grafen synker når $x\in ⟨2, \to ⟩$.

Grafen til $f\left(x\right)$ har derfor et toppunkt når $x=2$.

Vi vet at hvis toppunktet ligger over $x$-aksen, så har grafen to nullpunkter. Grafen er også symmetrisk om symmetrilinja som går gjennom toppunktet. En funksjon med nullpunkter $x=1$ og $x=3$ og med negativ koeffisient foran andregradsleddet, vil derfor oppfylle kravene.

En mulig funksjon er derfor

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& -\left(x-1\right)\left(x-3\right)\\ & =& -\left(x^2-3x-x+3\right)\\ & =& -x^2+4x-3\end{array}$

Toppunktet for denne funksjonen er

$(2, f(2\left)\right)=\left(2, -2^2+4·2-3\right)=\left(2, -4+8-3\right)=(2, 1)$

Vi tegner grafen i GeoGebra og ser at det vi har funnet ut uten hjelpemidler er riktig.

Vi skal drøfte monotoniegenskapene til $f$ uten hjelpemidler og finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^3-\frac{5}{8}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}$

I tillegg skal vi finne nok opplysninger om funksjonen til å tegne en skisse av grafen.

Løsning

Vi deriverer funksjonen.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& -\frac{1}{4}·3·x^{3-1}-\frac{5}{8}·2·x^{2-1}+\frac{1}{2}·1·x^{1-1}+0\\ & =& -\frac{3}{4}{x}^2-\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}\end{array}$$

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}& = & 0\\ x& =& \frac{-\left(-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)\pm \sqrt{{\left(-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-4·\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)·{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{2·\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}\\ x& =& \frac{{\displaystyle \frac{5}{4}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{25}{16}}+{\displaystyle \frac{24}{16}}}}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}\\ x& =& \frac{{\displaystyle \frac{5}{4}\pm \frac{7}{4}}}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}=-\frac{5\pm 7}{6}\\ x& =& \frac{1}{3} \mathrm{eller} x=-2\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩, ⟨-2, \frac{1}{3}⟩$ og $⟨\frac{1}{3}, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-3\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(-3\right)}^2-\frac{5}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{2}=-\frac{27}{4}+\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=-\frac{10}{4}<0\\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(0\right)}^2-\frac{5}{4}\left(0\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(1\right)}^2-\frac{5}{4}\left(1\right)+\frac{1}{2}=-2+\frac{1}{2}<0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• Grafen synker for $$ x\in ⟨\leftarrow , -2⟩$$ og for $$ x\in ⟨\frac{1}{3}, \to ⟩$$.
• Grafen stiger for $x\in ⟨-2, \frac{1}{3}⟩$.

Grafen til $f$ har altså et toppunkt når $x=\frac{1}{3}$ og et bunnpunkt når $x=-2$ .

$\begin{array}{rcl}f\left(-2\right)& = & -\frac{1}{4}{\left(-2\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(-2\right)}^2+\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{8}=\frac{16}{8}-\frac{20}{8}-\frac{8}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{9}{8}\\ & & \\ f\left(\frac{1}{3}\right)& =& -\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{8}=-\frac{1}{2^2·3^{{}^3}}-\frac{5}{2^3·3^2}+\frac{1}{2·3}+\frac{3}{2^3}\\ & & \\ & =& \frac{-2-15+36+81}{2^3·3^3}=\frac{100}{2^3·3^3}=\frac{25}{54}\end{array}$

Toppunktet er $\left(\frac{1}{3} , f\left(\frac{1}{3}\right)\right)=\left(\frac{1}{3} , \frac{25}{54}\right)$.
Bunnpunktet er $\left(-2 , f\left(-2\right)\right)=\left(-2 ,- \frac{9}{8}\right)$.

Det gjenstår nå å finne nullpunktene til $f$ for å ha tilstrekkelig grunnlag for å tegne en skisse av grafen.

Funksjonsuttrykket til $f$ er et tredjegradspolynom. Vi prøver om $x=-1$ kan være et nullpunkt for polynomet:

$f\left(-1\right)=-\frac{1}{4}{\left(-1\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(-1\right)}^2+\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{3}{8}=\frac{2}{8}-\frac{5}{8}-\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{4}{8}\ne 0$

Vi prøver om $x=1$ kan være et nullpunkt for polynomet:

$f\left(1\right)=-\frac{1}{4}{\left(1\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(1\right)}^2+\frac{1}{2}\left(1\right)+\frac{3}{8}=-\frac{2}{8}-\frac{5}{8}+\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=0$

Det betyr $f\left(x\right)$ er delelig med $x-1$.

Vi foretar polynomdivisjonen:

$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}& & -& \frac{1}{4}& x^3& -& \frac{5}{8}& x^2& +& \frac{1}{2}& x& +& \frac{3}{8}& :& (& x& -& 1& )& =& -\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8}& & & & & \\ -& (& -& \frac{1}{4}& x^3& +& \frac{1}{4}& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & -& \frac{7}{8}& x^2& +& \frac{1}{2}& x& +& \frac{3}{8}& & & & & & & & & & & & & \\ & & & -& (& -& \frac{7}{8}& x^2& +& \frac{7}{8}& x& )& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & -& \frac{3}{8}& x& +& \frac{3}{8}& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& (& -& \frac{3}{8}& x& +& \frac{3}{8}& )& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & & \end{array}$

Nå er $f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8}\right)\left(x-1\right)$.

Vi løser så likningen

$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8} & =& 0\\ 2x^2+7x+3 & =& 0\\ x & =& \frac{-7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{-7\pm 5}{4}\\ x & =& -\frac{1}{2} \mathrm{eller} x=-3\end{array}$

Det betyr at $f\left(x\right)$ har nullpunktene $x=-3, x=-\frac{1}{2} \mathrm{og} x=1.$

På grunnlag av de opplysningene vi nå har, kan vi tegne en skisse av grafen. Vi tegner her grafen i GeoGebra:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen

En liten ting til

Dersom en funksjon er avgrenset på et lukket intervall, som for eksempel $$ \left[-2,3\right]$$, regnes ikke endepunktene som ekstremalpunkter.