Hopp til innhold
Oppgave

Noen derivasjonsregler

Øv på å bruke derivasjonsregler her.

3.4.3

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f'x når

a) fx=34

Løsning

fx er en konstant, som gir

f'x=0

b) fx=π-2

Løsning

f'x=0 (Husk at π er en konstant!)

c) fx=10π 

Løsning

f'x=0

d) Vis ved å bruke regelen for derivasjon av en potensfunksjon at den deriverte av fx=a der a er en konstant, er 0.

Løsning

Vi skriver fx=a=a·x0 siden x0=1 for alle verdier av x0. Da får vi

f'x=a·0·x0-1=0

3.4.4

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f'x når

a) fx=3x-2

Løsning

f'x=3

b) fx=-2x+34

Løsning

f'x=-2

c) fx=5x-π

Løsning

f'x=5

3.4.5

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f'x når

a) fx=x5

Løsning

f'x=5x5-1=5x4

b) fx=x7

Løsning

f'x=7x7-1=7x6

c) fx=3x6

Løsning

f'x=3·6x6-1=3·6x5=18x5

3.4.6

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f'x når

a) fx=x3-2x2+1

Løsning

Vi deriverer ledd for ledd.

f'x=3x3-1-2·2x2-1+0=3x2-4x

b) ft=4t2-3t-7

Løsning

f't=4·2t2-1-3-0=8t-3

c) fx=2x3-5x2+4x-9

Løsning

f'x=2·3x3-1-5·2x2-1+4-0=6x2-10x+4

3.4.7

Bruk regnereglene for derivasjon og finn f'x når

a) fx=2x-3-5x-2+4x-9

Løsning

f'x = 2·-3x-3-1-5·-2x-2-1+4-0= -6x-4+10x-3+4

b) fx=x32-x12+4x-9

Løsning

f'x = 32x32-1-12x12-1+4-0= 32x32-22-12x12-22+4= 32x12-12x-12+4

c) fx=2x32-10x12+4x-9

Løsning

f'x=2·32x32-1-10·12x12-1+4-0=3x12-5x-12+4

d) Vis at fx=xf'x=12x

Løsning

Vi skriver fx som en potensfunksjon.

fx=x=x12

f'x=x12-1=12·x-12=12·1x12=12x

e) Vis at

fx=gx+hx+ix    f'x=g'x+h'x+i'x

ved å bruke regelen for derivasjon av en funksjon som består av to ledd.

Løsning

Vi setter px=hx+ix. Da får vi at

fx=gx+px    f'x=g'x+p'x

Videre får vi at

px=hx+ix    p'x=h'x+i'x

Setter vi inn for p'x i likningen for f'x, får vi

f'x=g'x+h'x+i'x

som var det vi skulle vise.

3.4.8

Deriver uttrykkene.

a) 2x3-5x2+4x-9

Løsning

2x3-5x2+4x-9'=6x2-10x+4

b) t3-t2+4t-9

Løsning

t3-t2+4t-9'=3t2-2t+4

c) 2x5-10x3+19x-100π

Løsning

2x5-10x3+19x-100π'=10x4-30x2+19

3.4.9

Deriver uttrykkene med hensyn på t.

a) 2tx

Løsning

2tx'=2x

Husk at x her er en konstant når vi skal derivere med hensyn på t.

b) 2tx

Løsning

2tx'=2·x·tx-1

c) abtcx+2bx3

Løsning

abtcx+2bx3'=ab·cx·tcx-1

Det andre leddet i uttrykket inneholder ikke variabelen t og er derfor et konstandledd når vi deriverer med hensyn på t.