Hopp til innhold
Fagartikkel

Definisjonen av den deriverte

Vi skal nå se hvordan vi kan finne en nøyaktig verdi for den momentane vekstfarten til en funksjon i et punkt.

Vi benytter oss av samme prinsipp som vi brukte for å finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten.

Vi tar utgangspunkt i en tilfeldig funksjon f.
Vi tegner grafen til funksjonen, velger en tilfeldig x-verdi og får et punkt på grafen Ax, fx.

Vi ønsker å finne vekstfarten til funksjonen for akkurat denne x-verdien.

Vi gir x et tillegg Δx og får et nytt punkt på grafen, Bx+Δx, fx+Δx.

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.

Vi regner ut stigningstallet for denne linja:

a=ΔyΔx=fx+Δx-fxx+Δx-x=fx+Δx-fxΔx


Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B.

Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså Δx gå mot null.

Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A.

Stigningstallet (brattheten) til denne tangenten forteller hvor fort kurven vokser akkurat her. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten i punktet x, fx eller den deriverte til f i punktet. Vi skriver f'x og leser «f derivert av x».

Legg merke til at tegnet for den deriverte er en liten apostrof.

Den deriverte

Vi ser på grafen ovenfor.


f'x, som leses "f derivert av f", er den verdien

ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx

nærmer seg mot når Δx går mot null.

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.

Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme.

Den deriverte funksjonen

Definisjonen av den deriverte er en lokal definisjon. Den sier noe om verdien av den deriverte i et punkt, nemlig punktet med førstekoordinaten x. Hvis vi nå betrakter alle verdier av x i definisjonsområdet tilf, får vi en ny funksjon, den deriverte funksjonen f' som til hver verdi av x har y-verdien f'x. Det er denne funksjonen vi kaller den deriverte funksjonen.
Derivere betyr "å utlede eller avlede" og f' er en ny funksjon som vi har utledet fra f .

Hvordan finne verdier for momentan vekstfart (den deriverte) grafisk

Den momentane vekstfarten eller den deriverte av fx=x2+2  når for eksempel x=0,5, er altså det samme som stigningstallet for tangenten til kurven når x=0,5.

Vi kan finne en verdi for denne vekstfarten grafisk ved å tegne grafen til f og tangenten til f når  x=0,5.

Vi ser at tangenten har stigningstallet 1. Den momentane vekstfarten er altså lik 1 når
 x=0,5.
Den deriverte av f(x) når  x=0,5  er 1. Vi skriver

f'0,5=1.

Hvordan regne ut verdier for den deriverte ved å bruke definisjonen

Vi vil nå regne oss fram til den deriverte til  fx=x2+2  når  x=0,5.

Vi husker at definisjonen på den deriverte f'x er den verdien som  ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx  nærmer seg mot når Δx går mot null.

Hvordan finner vi så fx+Δx?
fx+Δx er det uttrykket du får når du bytter ut x med  x+Δx  i funksjonsuttrykket.

Det gir

ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx=x+Δx2+2-x2+2Δx=x2+2·x·Δx+Δx2+2-x2-2Δx=2·x·Δx+Δx2Δx=Δx·2x+ΔxΔx=2x+Δx

(Husk at Δ x er én variabel.)

Når Δx blir mer og mer lik null, så må jo 2x+Δx bli mer og mer lik 2x. Derfor vil  2x+Δx  nærme seg 2x når Δx går mot null.

Vi har nå funnet at når fx=x2+2, så er f'x=2x.

Da kan vi regne ut f'0,5=2·0,5=1.

Den deriverte funksjonen til f, f'x=2x, er en ny funksjon og er definert for alle verdier av x i definisjonsområdet til f .

Vi kan bruke denne funksjonen til å finne den momentane vekstfarten for alle verdier av x i definisjonsområdet til f.

For eksempel er f'4=2·4=8. Den momentane vekstfarten når  x=4  er lik 8.

Video: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0