Hopp til innhold

Oppgave

Definisjonen av den deriverte

Deriver funksjonsuttrykkene ved å bruke definisjonen av den deriverte.

LK20

3.4.20

Bruk definisjonen av den deriverte når du skal derivere følgende funksjonsuttrykk.

a) f(x)=4x

Vis fasit

yx = f(x+x)-f(x)x= 4(x+x)-4xx= 4x+4x-4xx=4xx=4

f'(x)=4

b) f(x)=2x2

Vis fasit

yx = f(x+x)-f(x)x= 2(x+x)2-2x2x= 2x2+4xx+2(x)2-2x2x= x(4x+2x)x= x(4x+2x)x= 4x+2x 

Nå kan vi la x gå mot 0, og vi får

f'(x)=4x

c) f(x)=1x

Vis fasit

yx = f(x+x)-f(x)x= 1x+x-1xx= 1·x(x+x)·x-1·(x+x)x·(x+x)x= x(x+x)x-(x+x)x(x+x)x= x-x-x(x+x)xx= -x(x+x)xx= -x(x+x)x·1x= -x(x+x)x·x= -1x2+xx

Nå kan vi la x gå mot 0, og vi får

f'x =-1x2

d) f(x)=7x2+5x

Vis fasit

yx= f(x+x)-f(x)x= 7(x+x)2+5(x+x)-(7x2+5x)x= 7(x2+2xx+(x)2)+5(x+x)-7x2-5xx= 7x2+14xx+7(x)2+5x+5x-7x2-5xx= x(14x+7x+5)x= x(14x+7x+5)x=  14x+7x+5

Nå kan vi la x gå mot 0, og vi får

f'x = 14x+5

e) f(x)=2x3-5x2+3x

Vis fasit

yx=f(x+x)-f(x)x=2(x+x)3-5(x+x)2+3(x+x)-(2x3-5x2+3x)x=(2x2+2xx+x2·(x+x)x   +-5x2+2xx+x2+3x+3x-2x3-5x2+3xx)=(2(x3+2x2x+x(x)2+x2x+2x(x)2+(x)3)x   +-5x2+10xx+5(x)2+3x+3x-(2x3-5x2+3x)x)=(2x3+4x2x+2xx2+2x2x+4xx2+2x3x   +-5x2-10xx-5x2+3x+3x-2x3+5x2-3xx)= x(4x2+2xx+2x2+4xx+2x2-10x-5x+3)x=4x2+2xx+2x2+4xx+2x2   -10x-5x+3=6x2+6xx+2x2-10x-5x+3Vi lar x gå mot 0 og får

f'x = 6x2-10x+3

3.4.21

Vi ser på funksjonen fx=13x3-2x2+cx

a) Bruk definisjonen av den deriverte, og vis at f'x=x2-4x+c.

Vis fasit

yx=f(x+x)-f(x)x=13(x+x)3-2(x+x)2+c(x+x)-(13x3-2x2+cx)x=(13x2+2xx+x2·(x+x)x   +-2x2+2xx+x2+cx+cx-13x3-2x2+cxx)=(13(x3+2x2x+x(x)2+x2x+2x(x)2+(x)3)x   +-2x2+4xx+2(x)2+cx+cx-(13x3-2x2+cx)x)=(13x3+x2x+xx2+13x3x   +-2x2-4xx-2x2+cx+cx-13x3+2x2-cxx)= x(x2+xx+13x2-4x-2x+c)x=x2+xx+13x2-4x-2x+c

Vi lar nå x gå mot null. Definisjonen av den deriverte gir da at

f'x=x2-4x+c

b) For hvilke verdier av c har funksjonen topp- og bunnpunkt?

Vis fasit

Vi vet at en tredjegradsfunksjon har topp- og bunnpunkt hvis den deriverte har to nullpunkter. Derfor må vi se på for hvilke verdier av c dette skjer. Vi bruker diskriminanten (det vil si uttrykket som står inne i kvadratrottegnet i abc-formelen) og finner de verdiene av c som gjør at denne er større enn 0:

b2-4ac > 0-42-4·1·c > 016-4c > 016 > 4cc < 4

Vi ser at c må være mindre enn 4 hvis den deriverte skal ha to nullpunkter og dermed ha topp- og bunnpunkt.


c) For hvilke verdier av c har funksjonen ingen stasjonære punkt?

Vis fasit

Vi må igjen se på diskriminanten til den deriverte. En funksjon uten stasjonære punkt har en derivert som aldri blir 0, altså må diskriminanten være mindre enn 0. Vi bruker samme metode som i b og snur ulikhetstegnet:

b2-4ac < 016-4c < 016 < 4cc > 4

c må være større enn 4 for at funksjonen ikke skal ha noen stasjonære punkt.

d) For hvor mange verdier av c har funksjonen kun ett stasjonært punkt?

Vis fasit

Et stasjonært punkt har en tredjegradsfunksjon dersom den deriverte bare har ett nullpunkt, og de to foregående oppgavene viser oss at det må være hvis c er nøyaktig 4. Da kjenner vi igjen den deriverte som et fullstendig kvadrat.


Sist oppdatert 16.06.2020
Skrevet av Viveca Thindberg og Tove Annette Holter

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon