Bruk definisjonen av den deriverte når du skal derivere følgende funksjonsuttrykk.
a)
Løsning
f'(x)=4
b) f(x)=2x2
Løsning
∆y∆x = f(x+∆x)-f(x)∆x= 2(x+∆x)2-2x2∆x= 2x2+4x∆x+2(∆x)2-2x2∆x= ∆x(4x+2∆x)∆x= ∆x(4x+2∆x)∆x= 4x+2∆x
Nå kan vi la ∆x gå mot 0, og vi får
f'(x)=4x
c) f(x)=1x
Løsning
∆y∆x = f(x+∆x)-f(x)∆x= 1x+∆x-1x∆x= 1·x(x+∆x)·x-1·(x+∆x)x·(x+∆x)∆x= x(x+∆x)x-(x+∆x)x(x+∆x)∆x= x-x-∆x(x+∆x)x∆x= -∆x(x+∆x)x∆x= -∆x(x+∆x)x·1∆x= -∆x(x+∆x)x·∆x= -1x2+x∆x
Nå kan vi la ∆x gå mot 0, og vi får
f'x =-1x2
d) f(x)=7x2+5x
Løsning
∆y∆x= f(x+∆x)-f(x)∆x= 7(x+∆x)2+5(x+∆x)-(7x2+5x)∆x= 7(x2+2x∆x+(∆x)2)+5(x+∆x)-7x2-5x∆x= 7x2+14x∆x+7(∆x)2+5x+5∆x-7x2-5x∆x= ∆x(14x+7∆x+5)∆x= ∆x(14x+7∆x+5)∆x= 14x+7∆x+5
Nå kan vi la ∆x gå mot 0, og vi får
f'x = 14x+5
e) f(x)=2x3-5x2+3x
Løsning
∆y∆x=f(x+∆x)-f(x)∆x=2(x+∆x)3-5(x+∆x)2+3(x+∆x)-(2x3-5x2+3x)∆x=(2x2+2x∆x+∆x2·(x+∆x)∆x +-5x2+2x∆x+∆x2+3x+3∆x-2x3-5x2+3x∆x)=(2(x3+2x2∆x+x(∆x)2+x2∆x+2x(∆x)2+(∆x)3)∆x +-5x2+10x∆x+5(∆x)2+3x+3∆x-(2x3-5x2+3x)∆x)=(2x3+4x2∆x+2x∆x2+2x2∆x+4x∆x2+2∆x3∆x +-5x2-10x∆x-5∆x2+3x+3∆x-2x3+5x2-3x∆x)= ∆x(4x2+2x∆x+2x2+4x∆x+2∆x2-10x-5∆x+3)∆x=4x2+2x∆x+2x2+4x∆x+2∆x2 -10x-5∆x+3=6x2+6x∆x+2∆x2-10x-5∆x+3
Vi lar ∆x gå mot 0 og får
f'x = 6x2-10x+3
Vi ser på funksjonen fx=13x3-2x2+cx
a) Bruk definisjonen av den deriverte, og vis at f'x=x2-4x+c.
Løsning
∆y∆x=f(x+∆x)-f(x)∆x=13(x+∆x)3-2(x+∆x)2+c(x+∆x)-(13x3-2x2+cx)∆x=(13x2+2x∆x+∆x2·(x+∆x)∆x +-2x2+2x∆x+∆x2+cx+c∆x-13x3-2x2+cx∆x)=(13(x3+2x2∆x+x(∆x)2+x2∆x+2x(∆x)2+(∆x)3)∆x +-2x2+4x∆x+2(∆x)2+cx+c∆x-(13x3-2x2+cx)∆x)=(13x3+x2∆x+x∆x2+13∆x3∆x +-2x2-4x∆x-2∆x2+cx+c∆x-13x3+2x2-cx∆x)= ∆x(x2+x∆x+13∆x2-4x-2∆x+c)∆x=x2+x∆x+13∆x2-4x-2∆x+c
Vi lar nå ∆x gå mot null. Definisjonen av den deriverte gir da at
f'x=x2-4x+c
b) For hvilke verdier av c har funksjonen topp- og bunnpunkt?
Løsning
Vi vet at en tredjegradsfunksjon har topp- og bunnpunkt hvis den deriverte har to nullpunkter. Derfor må vi se på for hvilke verdier av c dette skjer. Vi bruker diskriminanten (det vil si uttrykket som står inne i kvadratrottegnet i abc-formelen) og finner de verdiene av c som gjør at denne er større enn 0:
b2-4ac > 0-42-4·1·c > 016-4c > 016 > 4cc < 4
Vi ser at c må være mindre enn 4 hvis den deriverte skal ha to nullpunkter og dermed ha topp- og bunnpunkt.
c) For hvilke verdier av c har funksjonen ingen stasjonære punkt?
Løsning
Vi må igjen se på diskriminanten til den deriverte. En funksjon uten stasjonære punkt har en derivert som aldri blir 0, altså må diskriminanten være mindre enn 0. Vi bruker samme metode som i b) og snur ulikhetstegnet:
b2-4ac < 016-4c < 016 < 4cc > 4
c må være større enn 4 for at funksjonen ikke skal ha noen stasjonære punkt.
d) For hvor mange verdier av c har funksjonen kun ett stasjonært punkt?
Løsning
Et stasjonært punkt har en tredjegradsfunksjon dersom den deriverte bare har ett nullpunkt, og de to foregående oppgavene viser oss at det må være hvis c er nøyaktig 4. Da kjenner vi igjen den deriverte som et fullstendig kvadrat.