Oppgavene skal løses uten hjelpemidler dersom det ikke står noe annet.
3.4.10
Finn eventuelle ekstremalpunkter (topp- og bunnpunkter) til en funksjon der den deriverte funksjonen har følgende graf.
Løsning
Den deriverte funksjonen, , har som eneste nullpunkt .
For er positiv, som betyr at grafen til stiger. For er negativ, som betyr at grafen til synker. Det betyr at funksjonen har et toppunkt for . Grafen har ingen andre ekstremalpunkter.
3.4.11
En funksjon f har derivertfunksjonen f'x=2x-2. Finn uten hjelpemidler når grafen til funksjonen f stiger, og når den synker. Avgjør også om grafen til f har topp- eller bunnpunkt.
Løsning
Vi setter f'x=0.
2x-2=02x=2x=1
Vi vet da at det bare er for x=1 at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene ⟨←,1⟩ og ⟨1,→⟩ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
f'0=2·0-2=-2<0
f'2=2·2-2=2>0
Vi kan da sette opp fortegnslinja til f'(x).
Vi ser av fortegnslinja at
grafen til f synker når x<1
grafen til f stiger når x>1
grafen til f har bunnpunkt når x=1
3.4.12
Funksjonen f er gitt ved
fx=x3-3x2-9x+10
Finn uten hjelpemidler når grafen til funksjonen f stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen til f på grunnlag av de opplysningene derivertfunksjonen gir.
Løsning
Vi deriverer funksjonen.
f'x=3x3-1-3·2x2-1-9·x1-1+0=3x2-6x-9
Vi faktoriserer den deriverte.
3x2-6x-9=3x2-2x-3=3(x-3)(x+1)
Her har vi brukt stirremetoden -3·1=-3og(-3)+1=-2.
Det betyr at f'(x)=0 når x=-1∨x=3
Vi vet da at det bare er i punktene -1,f1 og 3,f3 at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene ⟨←,-1⟩,⟨-1,3⟩ og ⟨3,→⟩ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
grafen til fx har toppunkt når x=-1 . Toppunktet er -1,f-1=-1,15 fordi
f-1=-13-3-12-9·-1+10=-1-3+9+10=15
grafen til fx har bunnpunkt når x=3 . Bunnpunktet er 3,f3=3,-17 fordi
f3=33-332-9·3+10=27-27+10=-17
Nedenfor har vi tegnet skisse av grafen til f sammen med fortegnslinja for den deriverte. (Her har vi tegnet den reelle grafen.)
3.4.13
Den deriverte funksjonen til en funksjon f har grafen som vist til høyre.
Finn når grafen til funksjonen f stiger, når den synker og eventuelle ekstremalpunkter på grafen til f.
Lag en skisse av grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.
Løsning
Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at
fx stiger når x<0 og når x>2
fx synker når 0<x<2
fx har et toppunkt forx=0
fx har et bunnpunkt forx=2
Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.
3.4.14
Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f'.
Løsning
3.4.15
Funksjonen f er gitt ved
fx=13x3+32x2-92
Drøft monotoniegenskapene til f, og finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Finn nullpunktene til f, og lag en skisse av grafen.
Løsning
Vi deriverer funksjonen.
f'x=13·3x2+32·2x=x2+3x
Vi setter f'x=0.
x2+3x=0xx+3=0x=0∨x=-3
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene 〈←,-3〉,⟨-3,0⟩ og ⟨0,→⟩ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.