Drøfting av polynomfunksjoner

Den deriverte funksjonen, $f^{\text{'}}$, har som eneste nullpunkt $x=-3$.

For $x<-3$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til f stiger. For $x>-3$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til f synker. Det betyr at funksjonen har et toppunkt for $x=-3$. Grafen har ingen andre ekstremalpunkter.

Vi finner stasjonære punkter der den deriverte er lik 0. Vi ser at den deriverte er 0 i punktet $\left(-1,0\right)$ og i $\left(3,0\right)$.

Vi observerer at den deriverte er negativ på begge sider av det første nullpunktet. Det betyr at g har et terrassepunkt i dette punktet.

I det andre punktet går den deriverte fra å være negativ til å bli positiv. Det betyr at vi har et bunnpunkt for g i dette punktet.

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}2x-2 & =& 0\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$

Vi vet da at det bare er for $x=1$ at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$f^{\text{'}}\left(0\right)=2·0-2=-2<0$

$f^{\text{'}}\left(2\right)=2·2-2=2>0$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen til f synker når $x<1$
• grafen til f stiger når $x>1$
• grafen til f har bunnpunkt når $x=1$

Vi deriverer funksjonen.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^{3-1}-3·2x^{2-1}-9·x^{1-1}+0=3x^2-6x-9$

Vi faktoriserer den deriverte.

$3x^2-6x-9 =3\left(x^2-2x-3\right)=3(x-3)(x+1)$

Her har vi brukt stirremetoden $\left(\left(-3\right)·1=-3 \mathrm{og} (-3)+1=-2\right)$.

Det betyr at $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ når $x=-1 \vee x=3$.

Vi vet da at det bare er i punktene $\left(-1, f\left(1\right)\right)$ og $\left(3, f\left(3\right)\right)$ at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 3⟩$ og $⟨3, \to ⟩$ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-2\right) & =& 3{\left(-2\right)}^2-6\left(-2\right)-9=3·4+12-9=15>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& 3{\left(0\right)}^2-6·0-9=-9<0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(4\right) & =& 3{\left(4\right)}^2-6·4-9=3·16-24-9=16>0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja for $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• grafen til $f\left(x\right)$ stiger når $x<-1$, og når $x>3$
• grafen til $f\left(x\right)$ synker når $-1<x<3$
• grafen til $f\left(x\right)$ har toppunkt når $x=-1$, toppunktet er $\left(-1, f\left(-1\right)\right)=\left(-1, 15\right)$ fordi
  
  $\begin{array}{rcl}f\left(-1\right) & =& {\left(-1\right)}^3-3{\left(-1\right)}^2-9·\left(-1\right)+10\\ & =& -1-3+9+10\\ & =& 15\end{array}$
• grafen til $f\left(x\right)$ har bunnpunkt når $x=3$, bunnpunktet er $\left(3, f\left(3\right)\right)=\left(3, -17\right)$ fordi
  
  $\begin{array}{rcl}f\left(3\right) & =& {\left(3\right)}^3-3{\left(3\right)}^2-9·3+10\\ & =& 27-27-27+10\\ & =& -17\end{array}$

Nedenfor har vi tegnet en skisse av grafen til f sammen med fortegnslinja for den deriverte (her har vi tegnet den reelle grafen).

Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at

• $f\left(x\right)$ stiger når $x<0$, og når $x>2$
• $f\left(x\right)$ synker når $0<x<2$
• $f\left(x\right)$ har et toppunkt for $x=0$
• $f\left(x\right)$ har et bunnpunkt for $x=2$

Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon som oppfyller kravene i oppgaven.

Vi deriverer funksjonen.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}·3x^2+\frac{3}{2}·2x=x^2+3x$

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+3x & =& 0\\ x\left(x+3\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x=-3\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene $\langle \leftarrow , -3\rangle , ⟨-3, 0⟩$ og $⟨0, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-4\right) & =& {\left(-4\right)}^2+3\left(-4\right)=4 > 0\\ f^{\text{'}}\left(-2\right) & =& {\left(-2\right)}^2+3\left(-2\right)=-2 <0\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& {\left(1\right)}^2+3\left(1\right)=4 >0\\ & & \end{array}$

Det betyr at

• grafen til f stiger i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩$ og $⟨0, \to ⟩$
• grafen til f synker i intervallet $⟨-3, 0⟩$

Vi regner ut toppunktet til $f\left(x\right)$:

$\begin{array}{rcl}\left(-3, f\left(-3\right)\right) & =& \left(-3, \frac{1}{3}{\left(-3\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(-3\right)}^2-\frac{9}{2}\right)\\ & =& \left(-3, -\frac{18}{2}+\frac{27}{2}-\frac{9}{2}\right)\\ & =& \left(-3, 0\right)\end{array}$

Vi regner ut bunnpunktet til $f\left(x\right)$:

$\left(0, f\left(0\right)\right)=\left(0, \frac{1}{3}{\left(0\right)}^3+\frac{3}{2}{\left(0\right)}^2-\frac{9}{2}\right)=\left(0, -\frac{9}{2}\right)$

Vi har at $x=-3$ er ett nullpunkt. Vi kan da utføre polynomdivisjonen.

$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}& & & \frac{1}{3}& x^3& +& \frac{3}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& :& & (& x& +& 3& )& =& \frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}& & & & & \\ & -& (& \frac{1}{3}& x^3& +& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & \frac{1}{2}& x^2& & & -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & -& (& \frac{1}{2}& x^2& +& \frac{3}{2}x& )& & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2}& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& (& -& \frac{3}{2}x& -& \frac{9}{2})& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

Vi setter så $\frac{1}{3}{x}^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$ og finner eventuelle nye nullpunkter:

$\begin{array}{rcl}x & =& \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+4·{\displaystyle \frac{1}{3}}·{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{8}{4}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\right)·3·2}{{\displaystyle \frac{2}{3}·3·2}}=\frac{-3\pm 9}{{\displaystyle 4}}\\ x & =& \frac{3}{2} \vee x=-3\end{array}$

Vi legger merke til at den ene løsningen på likningen er lik den x-verdien vi allerede visste at var et nullpunkt. Grafen har dermed kun to nullpunkter.

Under ser du en skisse av grafen basert på nullpunktene og topp- og bunnpunktene vi har funnet.

Vi fant at det ene ekstremalpunktet til funksjonen også var et nullpunkt, noe som innebærer at tredjegradsfunksjonen bare krysser x-aksen i ett punkt i tillegg til dette toppunktet. Et punkt som er både nullpunkt og ekstremalpunkt er det vi kaller for et dobbelt nullpunkt.

I polynomfunksjoner av høyere grad kan vi få nullpunkter som er tredoble, firedoble og så videre. Ved regning viser det seg i hvor mange ganger den samme løsningen dukker opp. Slike punkter er ikke nødvendigvis ekstremalpunkter!

Vi har generelt fra nullpunktsmetoden for faktorisering at

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$

der $x_1,x_2,x_3$ er nullpunktene til funksjonen. Dette gir oss følgende faktorisering:

$\begin{array}{rcl}\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{9}{2} & =& \frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-\left(-3\right)\right)\\ & =& \frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+3\right)\left(x+3\right)\end{array}$

Fra linje 2 får vi at funksjonen har nullpunktene $x=1$ og $x=3$.

Siden koeffisienten foran andregradsleddet er negativt, vet vi at andregradsfunksjonen har et toppunkt, og fra linje 4 får vi at toppunktet har koordinatene $\left(2,1\right)$.

Grafen til funksjonen stiger når $x<2$, og synker når $x>2$.

Fra linje 2 får vi at funksjonen har nullpunktene $x=-1$ og $x=3$.

Siden koeffisienten foran andregradsleddet er positivt, vet vi at andregradsfunksjonen har et bunnpunkt, og fra linje 4 får vi at punktet har koordinatene $\left(2,1\right)$.

Grafen til funksjonen synker når $x<1$, og stiger når $x>1$.

Fra linje 2 får vi at funksjonen har nullpunktene $x=-2,08, x=0,46$ og $x=3,12$.

Fra linje 4 får vi at grafen til funksjonen stiger når $x<-1$, og $x>2$ og synker når $-1<x<2$. Grafen til funksjonen har derfor et toppunkt for $x=-1$ og et bunnpunkt for $x=2$.

I linje 5 har vi regnet ut funksjonsverdiene til de to ekstremalpunktene. Toppunktet har koordinatene $\left(-1,\frac{13}{6}\right)$, og bunnpunktet har koordinatene $\left(2,-\frac{7}{3}\right)$.

Fra linje 2 får vi at funksjonen har nullpunktet $x=1$.

Fra linje 4 får vi at grafen til funksjonen stiger når $x<2$ og $x>2$. Grafen synker ikke noen steder. Det stasjonære punktet $\left(2,1\right)$ er derfor et terrassepunkt.

Vi må løse likningen $g\left(-\frac{1}{2}\right)=0$.

For hånd får vi

$\begin{array}{rcl}2{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+3b·\left(-\frac{1}{2}\right)-2 & =& 0\\ 2·\frac{1}{4}-\frac{3}{2}b+1 & =& 0\\ -\frac{3}{2}b & =& \frac{3}{2}\\ b & =& -1\end{array}$

Løsning med CAS:

Den deriverte funksjonen må være null når $x=\frac{1}{2}$. Vi må derfor løse likningen $g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=0$.

For hånd får vi

$\begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·2x+3b=4x+3b\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right) & =& 0\\ 4·\frac{1}{2}+3b & =& 0\\ 3b & =& -2\\ b & =& -\frac{2}{3}\end{array}$

Løsning med CAS:

Vi finner de stasjonære punktene til funksjonen med CAS.

Vi får at grafen generelt har to stasjonære punkter, som må være et toppunkt og et bunnpunkt siden grafen kommer fra minus uendelig og går til uendelig. Grafen til en tredjegradfunksjon kan ikke ha ekstremalpunkter i tillegg til et terrassepunkt. Vi må derfor finne de verdiene av a som gjør at det bare er én løsning i linje 2. Det får vi til dersom rotuttrykket er null, for da gir begge uttrykkene løsningen $x=-a$. I linje 3 får vi derfor at grafen til f har et terrassepunkt når

$a=-3 \vee a=3$

Vanligvis skriver vi en generell andregradsfunksjon som

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Vi bruker regnereglene for derivasjon:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=2ax+b$

Her viser vi et forslag der vi henter inn informasjon om funksjonen fra brukeren og skriver ut funksjonen og den deriverte.

Vi må hente inn de tre variablene a, b og c og lage en utskrift av både selve funksjonen og den deriverte.

1a = float(input("Hva er a i andregradsfunksjonen din?"))
2b = float(input("Hva er b i andregradsfunksjonen din?"))
3c = float(input("Hva er c i andregradsfunksjonen din?"))
4
5print(f'Funksjonen er gitt ved f(x) = {a}x^2 + {b}x + {c}.')
6print(f'Den deriverte er gitt ved f´(x) = {2*a}x + {b}.')

Her fortsetter vi programmet fra c).

1def f(x):
2    return a*x**2 + b*x + c
3
4#vi finner nullpunktene ved å lage ei løkke og gå gjennom funksjonen
5
6if b**2 - 4*a*c >= 0:                 #vi tar forbehold om at funksjonen faktisk har nullpunkt
7    x = -5                            #velger et startpunkt for leting etter nullpunkt
8    while x < 5:                      #setter igang ei løkke og velger et sluttpunkt for leting
9        if abs(f(x)) < 0.001:         #velger å sammenlikne med et tall nær null fordi datamaskiner bruker totallssystemet
10            
11            print(f'Funksjonen har et nullpunkt for x = {x:.1f}.')
12        x = x + 0.01 
13else:
14    print("Funksjonen har ingen nullpunkter.")
15
16print(f'Grafen til f skjærer andreaksen i punktet (0,{c}).')

Hvis du har glemt hvordan du tegner grafar i Python, finner du det på teorisiden "Funksjoner med digitale hjelpemidler".

En tredjegradsfunksjon har alltid minst ett nullpunkt, i motsetning til en andregradsfunksjon som kan ha ingen.

En tredjegradsfunksjon har ikke nødvendigvis noen stasjonære punkter fordi den deriverte ikke alltid har nullpunkt. Hvis den har stasjonære punkt, kan den ha inntil to. Dermed må vi også passe på at vi finner begge to hvis den har det.

Forslag til program:

1def f(x):
2    return (3*x -2)/(2*x + 5)
3
4x = -5                            
5while abs(f(x)) > 0.01:           
6    x = x + 0.001
7
8print(f'Funksjonen har et nullpunkt for x = {x:.1f}.')
9
10print(f'Funksjonen skjærer andreaksen i punktet (0, {f(0):.1f}).')
11
12print(f'Den horisontale asymptoten finner vi på y = {f(1000000):.1f}.')
13
14x = -5                            
15while abs(2*x + 5) > 0.01:           
16    x = x + 0.001
17print(f'Den vertikale asymptoten finner vi på x = {x:.1f}.')