Sinus, cosinus og tangens

Siden AC som vi skal finne, er motstående katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke sinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på sinus og løser i GeoGebra.

$\sin B=\frac{\mathrm{Motstående} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{AC}{BC}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(32.0°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{18.3}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=9.7\}\end{array}}$

$AC=9,7$

Siden AB som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel B for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

$\cos B=\frac{\mathrm{Hosliggende} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{AB}{BC}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(19.0°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{13.4}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=12.67\}\end{array}}$

$AB=12,7$

Siden AC som vi skal finne, er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte siden BC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel C for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

$\cos C=\frac{AC}{BC}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(47.0°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{18.3}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=12.48\}\end{array}}$

$AC=12,5$

Siden AB som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke sinus til vinkel A for å løse problemet. Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på sinus og løser i GeoGebra.

$\sin A=\frac{BC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(72.0°\right)=\frac{274}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=288.1\}\end{array}}$

$AB=288 \mathrm{m}$

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er motstående katet til den oppgitte vinkelen A. Da kan vi bruke sinus til vinkel A for å finne AC.

Den ukjente siden AB, som er hosliggende katet, kan vi finne på samme måte med tangens til vinkel A (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og tangens og løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{BC}{AC}\\ & & \\ \tan A& =& \frac{BC}{AB}\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(26.6°\right)=\frac{274}{\mathrm{AC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=611.94\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(26.6°\right)=\frac{274}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=547.17\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{C}:=90-26.6\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx \mathrm{C}:=63.4\end{array}} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}AC& = & 612 \mathrm{m}\\ & & \\ AB& =& 547 \mathrm{m}\end{array}$

$\angle C=63,4°$

Den ukjente siden AB som vi skal finne, er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte siden AC er hypotenusen i trekanten. Da kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AB.

Den ukjente siden BC, som er hosliggende katet, kan vi finne tilsvarende med cosinus til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AB).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\sin C& = & \frac{AB}{AC}\\ & & \\ \cos C& =& \frac{BC}{AC}\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(61.5°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{3.5}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=3.08\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(61.5°\right)=\frac{\mathrm{BC}}{3.5}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=1.67\}\end{array}} \end{gathered}$$

$AB = 3,1$

$BC=1,7$

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden AB er motstående katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjente siden BC, som er hosliggende katet, kan vi finne tilsvarende med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\sin C& = & \frac{AB}{AC}\\ & & \\ \tan C& =& \frac{AB}{BC}\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(50.1°\right)=\frac{3.1}{\mathrm{AC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=4.04\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(50.1°\right)=\frac{3.1}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=2.59\}\end{array}} \end{gathered}$$

$AC=4,0$

$BC=2,6$

Den ukjente siden AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte siden BC er hosliggende katet til den oppgitte vinkelen C. Da kan vi bruke cosinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjente siden AB, som er motstående katet, kan vi finne tilsvarende med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetningen når vi har funnet AC).

Vi setter opp likninger ut fra definisjonene på sinus og cosinus og løser i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}\cos C& = & \frac{BC}{AC}\\ & & \\ \tan C& =& \frac{AB}{BC}\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(63.3°\right)=\frac{1.6}{\mathrm{AC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AC}=3.56\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(63.3°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{1.6}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=3.18\}\end{array}} \end{gathered}$$

$AC=3,6$

$AB=3,2$

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A i trekanten.

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{BC}{AB}\\ & & \\ \frac{3}{5}& =& \frac{BC}{5,0}\\ & & \\ BC& =& 3,0\end{array}$

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & A{B}^2-B{C}^2\\ & & \\ & =& 5,0^2-3,0^2\\ & & \\ & =& 25,0-9,0=16,0\\ & & \\ AC& =& 4,0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos A& =& \frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}\\ & & \\ \tan A& =& \frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \cos A=\frac{4}{5}\\ & & \\ \cos B& =& \sin A=\frac{3}{5}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}\end{array}$

Vi bruker definisjonen til cosinus på vinkel B.

$\begin{array}{rcl}\cos B& = & \frac{AB}{BC}\\ & & \\ \frac{2}{5}& =& \frac{2,0}{BC}\\ & & \\ BC& =& 5,0\end{array}$

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & B{C}^2-A{B}^2\\ & & \\ & =& 5,0^2-2,0^2\\ & & \\ & & 25,0-4,0=21,0\\ & & \\ AC& =& \sqrt{21,0}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{5}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{21}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos C& = & \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{21}}{5}\\ & & \\ \sin C& =& \cos B=\frac{2}{5}\\ & & \\ \tan C& =& \frac{AB}{AC}=\frac{2,0}{\sqrt{21,0}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\end{array}$

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A.

$\begin{array}{rcl}\sin A& = & \frac{BC}{AB}\\ & & \\ \frac{1}{5}& =& \frac{BC}{20,0}\\ & & \\ BC& =& 4,0\end{array}$

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & A{B}^2-B{C}^2\\ & & \\ A{C}^2& =& 20,0^2-4,0^2=400-16\\ & & \\ AC& =& \sqrt{384}\\ & & \\ AC& =& \sqrt{4·4·4·6}\\ & & \\ AC& =& 8\sqrt{6}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos A& = & \frac{AC}{AB}=\frac{8\sqrt{6}}{20}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\\ & & \\ \tan A& =& \frac{BC}{AC}=\frac{4}{8\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2·6}=\frac{\sqrt{6}}{12}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos B& = & \sin A=\frac{1}{5}\\ & & \\ \sin B& =& \cos A=\frac{2\sqrt{6}}{5}\\ & & \\ \tan A& =& \frac{AC}{BC}=\frac{8\sqrt{6}}{4}=2\sqrt{6}\end{array}$

Vi finner først BC ved å bruke definisjonen til sinus på vinkel C.

$\begin{array}{rcl}\sin C& =& \frac{AB}{BC}\\ & & \\ \frac{1}{3}& = & \frac{2,0}{BC}\\ & & \\ BC·1& =& 2,0·3\\ & & \\ BC& =& 6,0\end{array}$

Så kan vi bruke Pytagoras' setning til å finne AC.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & B{C}^2-A{B}^2\\ & & \\ & =& 6,0^2-2,0^2=36,0-4,0\\ & & \\ & =& 32,0\\ & & \\ AC& =& \sqrt{32}=\sqrt{16·2}=4\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos C& = & \frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ & & \\ \tan C& =& \frac{AB}{AC}=\frac{2}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\cos B& = & \sin C=\frac{1}{3}\\ & & \\ \sin B& =& \cos C=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\sin C& = & \frac{2,0}{10}=0,2\\ & & \\ \cos C& =& \frac{9,8}{10}=0,98\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{9,8}{2,0}=4,9\\ & & \\ \cos B& =& \sin C=\frac{2,0}{10}=0,2\\ & & \\ \sin B& =& \cos C=\frac{9,8}{10}=0,98\end{array}$

Vi har oppgitt begge vinkelbeina til vinkel A. Siden AB er hosliggende katet, og siden AC er hypotenus i trekanten. Da kan vi bruke cosinus til vinkel A.

Vi setter opp en likning ut fra definisjonen på cosinus og løser i GeoGebra.

$\cos A=\frac{AB}{AC}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{acosd}\left(\frac{9.2}{12.4}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 42.1°\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & C:=90-42.1\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx C:=47.9\end{array}} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}\angle A& = & 42,1°\\ & & \\ \angle C& =& 47,9°\end{array}$

Vi kaller høyden for h. Høyden opp langs veggen blir motstående katet til vinkelen på 72°. Stigen blir hypotenusen. Da kan vi bruke definisjonen av sinus til vinkelen på 72° for å løse oppgaven, som vi løser med GeoGebra.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(72°\right)=\frac{\mathrm{h}}{8.5}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{h}=8.08\}\end{array}}$

$h=8,1 \mathrm{m}$

La avstanden til veggen være x, som blir hosliggende katet til vinkelen på 72°. Da passer det å bruke cosinus, og vi løser oppgaven med GeoGebra.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(72°\right)=\frac{\mathrm{x}}{8.5}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{x}=2.63\}\end{array}}$

$x=2,6 \mathrm{m}$

Vi kaller den andre kateten for k og hypotenusen for h. Når vi kjenner den hosliggende kateten til vinkelen, kan vi bruke tangens for å finne k og cosinus for å finne h. Vi løser oppgaven med GeoGebra.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(27°\right)=\frac{\mathrm{k}}{3.5}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{k}=1.78\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(27°\right)=\frac{3.5}{\mathrm{h}}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{h}=3.93\}\end{array}} \end{gathered}$$

$\begin{array}{lcl}k& = & 1,8 \mathrm{m}\\ & & \\ h& =& 3,9 \mathrm{m}\end{array}$